SPSS学习系列23.协方差分析

SPSS学习系列23.-协方差分析LTknknknˆknknknˆ2knknkn（1）计算总离差平方和时，记(xx)(yy)xy j jij1(xx)2xx jij1总离差平方和：Tyy

(yy)2ji1j1最终要检验分组自变量对因变量有无显著作用原假设H无显0著作用。假设检验是在H为真条件下进行，可认为t=0，则0 iyu(xx)j Tj j按最小二乘法原理线性回归可得到β的估计值xyTxx记修正的总离差平方和（残差平方和）为T，则yy(adj)TTˆ2TTxy，自由度为n-2y yy Tx yyxx注：ˆ2T为回归平方和，若ˆ0（回归线为水平线协Txx T变量x对y无作用，用方差分析就可以解决了。（2）计算组内离差平方和时，记(xx)(yy)xy j i j iij1(xx)2xx j iij1组内总离差平方和：Ey

(yy)2j ii1j1ˆ2ˆˆˆˆˆˆFˆˆ ˆ根据协方差ˆ2ˆˆˆˆˆˆFˆˆ ˆ需要检验这一点，得到组内回归系数β的估计值ww

记修正的组内总离差平方和（组内残差平方和）为E,则yy(adj)EE2EE，自由度为n-k-1y w 其中，ˆ2E为组内回归平方和，当ˆw 1

时，组内总离差平k方和认为完全是由随机因素引起的E就是随机为误差这里的yy(adj) w是,,的加权平均值。1 k（3）计算分组变量离差平方和B，它反映的是各个水平之yy(adj)间的差异。By

Ty y

T2T T y即，分组变量离差=总离差-协变量离差-随机误差。于是，就可以进行组间无差异检验了：B/k1Ey/nky3.因此，在做协方差分析前，需要依次做两个假设检验：（1）协变量对因变量的影响对与各组来说都是相同的，即各组回归系数相等： ;1wk w步骤：①先按回归系数相等和不相等分别表示模型utx)j i wj jutx)j i ij jkkSˆwkkSˆwF = EE2Ey w，E

SE2E1 i1iE.i1②计算F值F

/k1y/12k1若F值小于临界值F，则说明各组回归系数无显著差异（相等。α（2）这些相等的回归系数0.w即采用一元线性回归的显著性检验，回归平方和自由度 2E/1和/E/(nk)yE2/E(EE2/E)/(nk) 4.协方差分析的步骤

E2(nk)EEE2 （1）检验数据是否满足假设条件：正态分布性、方差齐性、线性相关性、平行性；（2）检验效应因子的显著性；（3）估计校正的组均值；（4）检验校正的组均值之间的差异。（二）实例研究分别接受了3种不同的教学方法的3组学生在数学成绩上是否有显著差异。数据文件入下：先不考虑数学入学成绩，只以“教学方法”为分组变量“后测成绩”为因变量进行单因素方差分析，得到结果：描述后测成绩N 均值 标准差 标准误 均值的95置信区间 极小值 极大值下限 上限标准方法 46 62.62 8.149 1.202 60.20 65.04 45 78新方法 49 70.99 9.504 1.358 68.26 73.72 50 92总数 95 66.94 9.777 1.003 64.95 68.93 45 92单因素方差分析后测成绩平方和 df 均方 F 显著性组间 1662.284 1组内 7323.837 93

1662.28421.108 .00078.751总数 8986.121 94P值<0.001,结果表明，两种教学方法有非常显著的差异。前测成绩与教学方法（即组别，是控制变量）不存在交互影响。因此，将后测成绩作为因变量教学方法作为控制变量前测成绩作为协变量进行协方差分析。1.平行性假定检验协方差分析的假定①各组协变量与因变量的关系是线性的②各组残差正态；③各组回归斜率相等（各组回归线平行。注意协方差分析一般还要求各分组间协变量的观察值范围不宜相差太大。本例先观察前测成绩与后测成绩的回归线是否平（即协变量前测成绩对因变量后测成绩的影响在分别采用两种教学方法的班级是否相同。【图形】——【旧对话框】——【散点/点状，打开“散点图/点图”窗口，选择“简单分布，点【定义】打开“简单散点图”窗口；将“后测成绩”选入【Y轴“前测成绩”选入【X轴“教学方法”选入【面板依据：行；点【确定】得到散点图结果，双击散点图打开“图表编辑器，点“添加合计拟合线”按钮，再关闭“图表编辑器：可见两组的直线趋势的斜率比较接（平行基本符合协方差假定。2.组内回归斜率相同检验（1【分析】——【一般线性模型】——【单变量，打开“单固定因子“前测成绩”选入【协变量；（2）点【模型】打开“模型”子窗口，要进行回归斜率相同的检验，故【指定模型】选“设定；将【因子与协变量】框中的“教学方法“前测成绩”先分别选中、再同时选中选入【模型】框；点【继续；a注“教学方法*前测成绩进行交互效应分析即检验回归线斜a率相等的假设。点【确定】得到主体间效应的检验因变量:后测成绩源 II型平方和 df 均方 F Sig.校正模型 2764.872 3 921.62413.481 .000截距 10155.687 1 10155.68148.550.000教学方法 67.542 1 67.542 .988 .323前测成绩 1069.407 1 1069.40715.643 .000教学方法*前测成绩 16.641 1 16.641 .243 .623误差 6221.249 91 68.365总计 434637.50095校正的总计 8986.121 94a.方=.整R方=.85“教学方法*前测成绩”交互作用检验的P值=0.623>0.05，接受符合协方差分析的假定。3.协方差分析（1）同2.的（1；（2）点【模型，打开“模型”子窗口【指定模型】选“全因子；注【全因子】表示模型包含全部因素变量和协变量的主效应、因素变量间的交互效应但不包括与协变量的交互效应本例中只有1个因素变量和1个协变量没有交互效应计算结果只会有主效应。（3【选项打“选项子窗口“教学方法选【显示均值框将输出不同教学方法的后测成绩调整（考虑了协变量效应之后）的边缘平均值；勾选“比较主效应【置信区间调节】选“LSD（无，表示对“教学方法”各组的后测成绩平均值进行组间比较；a【输出选项勾“描述统计（误差方差齐性检验“残a差图；点【继续；点【确定】得到描述性统计量因变量:后测成绩教学方法 均值 标准偏差 N标准方法 62.62 8.149 46新方法 70.99 9.504 49总计 66.94 9.777 95误差方差等同性的Leve因变量:后测成绩F df1 df2 Sig..652 1 93 .422检验零假设，即在所有组中因变量的误差方差均相等。a设计:截距+前测成绩+教学方法各组因变量误差的方差齐性检验值=0.422>0.05,故接受原假设即各组因变量误差的方差相同这说明下面的方差分析结果是有a效的。a主体间效应的检验因变量:后测成绩源 II型平方和 df 均方 F Sig.校正模型 2748.231 2 1374.11520.266 .000截距 10584.208 1 10584.208156.102 .000前测成绩 1085.947 1教学方法 316.273 1

1085.94716.016 .000316.2734.665 .033误差 6237.890 92 67.803总计 434637.500 95校正的总计 8986.121 94a.方=.整R方=.91考虑了协变量“前测成绩”之后的方差分析结果，前测成绩的P值<0.001,说明“前测成绩”对“后测成绩产生了显著影响；“教学方法”的值=0.033<0.05,说明“教学方法”对“后测成绩”也产生了显著的影响。注1如果有多个教学方法的分组要进一步判断各分组的差异，可查看后面结果中的“成对比较”结果。注2：与不考虑协变量的单因素方差分析模型做对比：单因素方差分析后测成绩平方和 df 均方 F 显著性组间 1662.284 1组内 7323.837 93

1662.28421.108 .00078.751总数 8986.121 94发现教学方法的显著性比原来小了；需要总方差都是8986.121，单因素方差分析模型的组间差异解释了1662.284,而考虑了协变量的协方差分析模型解释的方差增大到2748.231这说明协方差分析模型能更准确地检验因素变量对因变量的作用。aabaab**教学方估计因变量:后测成绩教学方法 均值 标准误差 95置信区间下限 上限标准方法 64.735新方法 69.004

1.324 62.10567.3651.277 66.46971.540a模型中出现的协变量在下列值处进行评估:前测成绩=57.92.给出了去除协变“前测成绩的影响之后两种教学方法的平均成绩分别为：64.735和69.004成对比较因变量:后测成绩(I教学方法 (J教学方法 均值差值(I-J)标准误差 Sig. 差分的95置信区间b下限 上限标准方法 新方法新方法 标准方法

-4.269 1.977 .0334.269 1.977 .033

-8.195 -.343.343 8.195基于估算边际均值*均值差值在.0级别上较显著。b对多个比较的调整：最不显著差