极限计算求解1

正在撰写论文，有些内容不便发表）极限计算求解关键词：极限数，代数法，计算结构（函数类），极限计算1引言高等数学分为微积分计算，原理与证明两大部分。微积分计算［1］包括极限（包括级数），微分（包括常微分方程），积分（包括场论）三大类：微积分原理包括极限的内涵，导数定义的应用，定积分的理解，微积分基本公式，变上限积分，中值定理，方向导数扩展，线面积分常识［2，3］等，为证明类的习题提供上下文（不是最终语言）。因此计算与原理证明在应用上关系系数小，能各自发展。极限是微积分计算的基础，是高等数学区别初等数学的本质。两个原因：这两个原因的解决，本文发现了可行的计算方法。对原因1：；对原因2：函数极限计算结构。使用函数极限计算结构，使极限计算式化简，注意：求极限的函数是一个整体，不要被从左到右的分配律束缚，只是作为计算使用。2极限数代入法定义极限数说明：（1）极限过程有7个。（2）极限数limf二a是一个整体。{}T{}（3）极限数只有0，1两个值。可认为与逻辑真值有关，在代数式范围，极限数0可表示空代数式（对极限计算取0），极限数1可表示实代数式（对极限计算取1，有效代数式计算）。实际上极限数表示数量，因此简单地认为与逻辑相关并不确切。{极限数0，极限数1}对应不同的极限计算式集合或者空间。2.1n到正无穷极限过程［4］数列的自变量用无穷大，但是无穷大没有极限，所以使用无穷大的倒数1作为通项。然n而用n作为函数的自变量，例如根式函数，贝I」可以得到间接的无限分割的极限过程。8是不能单独使用的量.nTS工{0,1,...,n8}，nt8工（n=k），n不是集合的元素变量，而用来表示一个极限动态过程nt8°limn=8是一个确定结果，尽管8不是一个确定量（看n似有矛盾的说法）。8符号只能出现在极限计算式。8可以看作+8的省略表示，实际上8={+8,—8}°表1.18的计算法贝（2010.9~10间应要求写出，实际在研究生数学考试中没有必要研究）极限式确定量极限式非确定型a+8t88—8k8T8(8+8T8) (08=0)0-88kT8相对低阶无穷量或有限量80，08，18说明：（1）式子左边的0是无穷小，式子右边的0是数0，数乘0例外°（2）极限数代入法从参考资料⑶（P123）中得到启示，f（x）是连续函数，有limf（x）=f（x）=f（limx）0

1.基本幕分式形式收敛数列（1=0不正确）g1an二nlima—0n nn说明：当n增加到g时,。*具有极限0o序列｛—说明：当n增加到g时,n字不能省略。极限数lim—=0ntn计算意义：nT+g，使丄具有数值0。在求极限计算中，极限数lim丄=0可以同常数0n nn样使用。不强调—在整个过程的取值序列，而是把极限过程+g当成一个数（在集合基数中n则有可能另当别论2010.11.19），一个不可测的，范围模糊不确定的数，用这个数作为自变量，得到某一个映射下的函数值，即：通过+g极限过程，将连续函数序列离散化成一个类似数是不正确的。在物理意义下，nT+g并不存在，因为在一定时间范围内任何物理量都是有限的。推广线性形：（1）方向变化（初等式—0=0）；（2）乘以系数（k0=0）；3子序列的组合（0+0=0）说明:这里的0是极限数0.2扩展的基本幕形式收敛数列^—（f（n）tg）f（n）11从nT+gT—g—a—从nT+gT—g—a—nnnlimann—0(nan—0)nbnn2.2乘以系数(土k,keR)k_a—k_a—±~nlimann1—±klim—0.nn为什么不将k视为一个整体，因为k不是一个非确定量•一个原则:分离原则•对确定量按照确n定量计算符，非确定量用非确定量计算符.2.3子序列的组合形式从扩展的基本收敛数列中，选择各自的子序列重新组合（不是相加）成新的数列（文献［］中的聚点）。例如摆动数列：11 （—1）n-—1,—，一，—，…，3 4n序列从两个相反的方向趋向极限值0，即，物理现象中的振动子序列举例：a2m1a2m1)。2m—1;a— (a— ，am 2m—1 2m12m22.4在通项中，分母n的有限加扩展，即:1a—nn+k确定量与非确定量的计算规则:1)ntgnn+atgag+a—g

2.5分子分母同乘以nr，并进行低次有限项加的扩展。n+2ann2+n+1总结：{an}可正可负极限过程一般用nt+8.可扩展到n的高次幕，只须保持分母的最高次至少比分子大1。nt8关于8的计算法则：，其中f(n)是代数式，且没有倒数1因式。这个类型记为亠n f(n)1n在代数式中，遵守代数式规则,n是一个不等于0的数(实际上是一个极限过程)。在函数中这个等价极限数的过程就很多了。3常数与扩展基本收敛数列和或差的极限af1(n)例如：a例如：ann+1二1—二<1n+1 11+n常见一次形式：1=k常见一次形式：1=k土{kx }nlima1n+k n2=k土0=k。二次形式的例子：an2-10n2+n+1则，a=1则，a=1—亠」n n2+n+1nP级数丄=0(nT8)，称P级数(P>0)为基本收敛数0；P级数的线性(代数)式仍是收np敛数00可知8的计算规则0代数公式：无限项n(n+1)n(1+h)n-1+nh+ h2+...+hn2收敛数0的无穷项的和，是否还=0?这就看h<0的程度与n的阶数的比较。这个计算称为积分0说明：1)一个数可以无限分割，例如令p-(1+h)n(hT0)，则可知有限项收敛数0的无穷项的和=0。这说明h<0的程度远远比n的阶数小。这里的区别，如同线性组合与线性表出的区别。因此可以用P表示h的表达式。所以当p=(1+h)n(hT0)时，2T00n可无限分割的实数作为丄等收敛数的系数时候，仍然收敛到0on有限项；有限项代数式则将极限符号当作算符对加减乘除乘方有分配律，且lima-a。n2)代数式包括：乘法消去律，带余除法，最大公因式，因式分解(移项，合并同类项)。

最简根式，乘法公式，有理化因式。（若分母为两个根式和，则可化成g—g的形式。说明：对于较大的n值，分式的分子，分母中含最高此幕的项决定极限的数值。即：求极限是比较阶的高低。阶的概念将在下面介绍？？？？？？？？？？。n有限项扩展基本收敛数列的和差仍是收敛数列，值为0。依据的精确式：k土0=k。从中可知，基本收敛数列，在有限加中可以近似为0。nT+g作为极限过程，没有数量；但是作为开根式的次数，能够有极限。依据：收敛数列的有限和无限积仍为收敛数0。）4收敛数14.11）解：a二打，若p>1，则令a=nP=1+h，且h为一正数，且nt+g，则有：nn在这里将不确定式h=订-1用确定不等式0<h<©代替，用缩小法,使指数关系变成线性n关系。说明连续数的表达式常常用不等式表示，不等式求极限常常使用夹逼定理.1np(limn若p<1,则丄1np(limn若p<1,则丄pnT+g>1，则lim1根据精确式1二1,可得lim打二1•解得.1 nT+g说明：在某一极限过程下,收敛数列可作为一个数（称为极限过程收敛数）,保持相同极限下的精确数的计算规则.n1）十T1.2）弟F1T0.在初等有理计算式（例如:分母不为0,有限项计算）中,4qT1可以作nq nq为收敛数1，1T0可作为收敛数0使用.例如：lim（np-1）=limnp-1=1-1=0。即：当极n nTg nTg限存在时（注意条件），极限的符号对多项式符合分配律；然而极限不存在，则分配律不能使用。2）解:p是一个常数•而n（用n表示所有的数）是一个常变量..令没有计算符相关性，为去掉左边的n,右边必须有n2,选择以项就可以，连加法符号,则n>1,使没有计算符相关性，也h2<n,贝I」h2< -nlimh=lim—=0.2 n-1nnnnn—nn・‘.nn=1+hT0二limnn=1•nt+8说明:放缩法是一种近似计算,要求在各相加项中,选择适当的项,作为放缩的基本项.根式与多项式相加相关，因此无限项收敛数0相加往往>0。上述都是幂函数。4.2指数形式的收敛数凡是作为常量使用的大于1的数都可用无限分割式（1+h）n，小于1的数可使用1 ，（1+h）n根据表达式选择保留哪个分割加法项。求的极限指数的收敛实质是无限积在哪些a的范围收敛，这需要分析a的数值性质•0<a<1时,无限分割表达式子在分母。解:右0<a<1'令a= ~'贝I」，1+h属于第二类收敛数0。liman=属于第二类收敛数0。liman=0(0<a<1).nT+8=0;若a>1,令a=(1+h),则(1+h)n>1+nh；当nT8时'(非收敛数limn=8)n若a为负数，则a为摆动序列。若-1<a<0，则...lima”=0.（符号可与数值分离，单nnT+8独计算）总结：①a=a”.lal<1nlima”=0.称为几何级数一第二类基本收敛数0。（即收敛数0的无nnT+8限积仍是收敛数0。这是一个错误的认识。）两个数相加的n次方的展开式中有n及n的高次方项，所以这些项的倒数是收敛数0。②常数项比n小一个数量级:n是无限数，常数是有限数,不存在按过程收敛的计算.⑵基本收敛数0,有两个收敛级数P级数lim丄=0（无穷大），几何级数lal<1nlima”=0.nnp nT+8（无限分割）复合形式5.求无穷级数的极限(0=工0,1=工1.or.1=(1+0)or.1=1)有限项收敛数0的和为收敛数0。无限项收敛数0的和不为收敛数0，这也反应了无限分割的特性。等比数列的和为Sn等比数列的和为Sn1—qn1-q1qn1—q1—q从4.2类收敛数列可知，当|q|<1时,limqn=0.可得，limS=~~~,（qI<1）.S的形式属nT+8 nn1—q n于第三类线性收敛数。算出来：级数和的表达式。初等代数。定积分

夹逼定理计算无穷大量的极限。几何级数，丄，6a八打71一点（…:两个无穷根式数相减如何计算）n解：a- +1n- -0n vn+1+5实际上是，分母为两个根式和的P级数。总结：11T0(n总结：11T0(nTg)7解：a>1,则设a-1+h（h>0）'再次利用不等式:n(n+1) n(n+1) n(n+1)(1+h)n-1+nh+ h2+...+hn>1+nh+ h2> h22•.对于n>1，有:n<(1n<(1+hn)1h2)-an是收敛数0。n说明：，收敛数说明：，收敛数1的无穷次方不等于1。n nn1a--（）nana当分子，分母的函数形式不同，则通过放缩法和多项式归一法，使都变成n的多项式的形式。为消去分子的n项，分母选择包括n的平方的项。.扩展收敛数列的各项和的极限运算收敛数列0的有限加仍为0，但是收敛数列0的无限加不为0。5若有限项收敛数列相乘，结果仍为0或km。但是收敛数列的无限乘总结：1两个极限收敛数0和1扩展到x的正无穷3x到x0两个微积分量：1无穷大2无穷小变量（与无穷小不同），计算方法不同。函数极限计算结构分析复合函数结构。极限式结构分析与文法（另文发表）极限计算