第四章 线性动态电路

第4章线性动态电路的分析ξ4-1动态电路的方程及其初始条件ξ4-2一阶电路的零输入响应ξ4-3一阶电路的零状态响应ξ4-4一阶电路的全响应ξ4-1动态电路的方程及其初始条件一、基本概念㈠稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时的状态。比如前2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况。

上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流i和电压uc并不为稳定值，而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间t→∞时，电流i和电压uc才达到稳定值，不再变化，此时，电路才进入稳态。为什么呢？就是因为电路中存在一个电容元件C。那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？

开关K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路达到了稳态。如果电路中含有储能元件，比如有LC，就不同了：㈡暂态（过渡过程）：当电路中含有储能元件时，在开关动作后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态1、两个储能元件——能引起过渡过程的两个电路元件C和L。

电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加慢慢积累，最后达到稳定值（t→∞时）。

电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳定值（t→∞时）。换路定则换路：指电路中的开关作用、参数变化等。t=0-换路前一瞬间,t=0+换路后一瞬间,能量不能突变，只能连续变化WC=1/2CuC2uC连续变化uC(0+)=uC(0-)WL=1/2LiL2

iL连续变化

iL(0+)=iL(0-)换路定则二、电路的初始条件

何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流）的起始值，也即t=0+时刻各电压电流的值。这也是一阶动态电路过渡过程三个要素中的第一个要素。初始值的计算t=0+电压、电流值称为初始值初始值计算步骤用换路定律确定

uC(0+),iL(0+)；用初态等效电路确定其它变量的初始值。电容的初态等效电路短路电感的初态等效电路开路求初始条件的步骤：①用换路定理先求独立初始条件uC(0+)和iL(0+)。②画0+等效电路。开关K，t=0+时已动作，应画动作以后的状态；对于电感L可用电流源替代：；对于电容C可用电压源替代：其他支路及元件，保持不变。③在0+等效电路上用KCL、KVL求非独立初始条件。看几个例题：例题一如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S突然打开。则uL(0+)=_____V。

由初态等效电路可知：

+-3V123H+-uLS+-3V12+-uL(0+)3A-6

例题二如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则u(0+)=_____V。由初态等效电路可知：

2+-9V342H+-u2+-6VS+-6V4+-u(0+)1A3如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则i(0+)=_____A。由初态等效电路可知：2+-60V51Hi101F1FS4A+-10V+-10V初态等效电路

例题三求图各示电摩路中泳各支暖路电止流及树电感向电压贪的初莫始值行，设书换路吼前电搭路处泊于稳劣态。解：⑴作ｔ＝0-时的轰等效记电路⑵ｕC(0＋)＝ｕC(0-)＝4ＶｉL(0＋)＝ｉL(0-)＝1Ａ例题系四求图宣示电究路中矮各支勿路电润流及舌电感坏电压崭的初极始值脏，设旅换路醉前电值路处省于稳仪态。解：⑶作狸ｔ＝0＋时的贿等效浅电路4V1A代入世数据贼得：解之疲得例题乎五4-晨2一阶地电路角的零烤输入斥响应一、RC电路哑的零欧输入少响应1、求球零输爽入响淘应一阶疑电路匆：描述电电路味响应纱过程养的方餐程为梁一阶貌线性竭微分茅方程油的电众路。搁一般党情况远下，使含有黄一个优储能赶元件算的线陪性电储路通鞠常就悠是一纠阶电肤路。零输夕入响寒应：顾名砌思义参，就冶是电剃路在碑没有陈输入鼓激励熟情况际下的倍响应唇。由钱于没胳有输马入激乱励，睁所以欺是靠绸储能辆元件批的初杀始储烧能建纯立起孝来的缸过渡菜过程植响应爱。也简即：换路狂前电叫路中小储能哪元件隙有初顾始储如能，偏换路炊后电退路没咽有电价源激告励输携入，启仅靠笋储能瞎元件纹的储黎能建著立的徐过渡乒过程望响应欧。请看家下图幅电路荒，已懒知：t=乡丰0－时，uc(0－)=Uo(V苹)，求；t≥茶0时的uc(t)表达急式。解：蜓有KV怒L定律赠可得校：（1）有元好件约神束方轰程得塔：代入钉上式桃（1）得畜：初始骑条件匀：(2)

)()(dtduCtitiRuCR-==此方妻程为奏一阶至、线邪性、肌常系斯数、蚕齐次窄微分茧方程开。分析外此方艺程可但知，uc离(臭t)应有屈指数先函数答形式怜，设礼：代入寨方程股（3）可删得对插应微凳分方运程的特性昂方程：有表雨达式填（5）、芽（6）和烘波形知图可鱼看出袖：式（5）可养作为涝零输码入响泳应的俊公式顽来直袜接套岭用。苗再看乡丰波形圾图：2、时场间常洁数τ再看彩表达砍式（5）：两边淋均为皱电压钳量纲店，指撕数项谷应该谈无量穷纲。绘由此题可见越，RC的乘裹积应剃该和浆时间t有相茶同的练量纲摩“秒杯”穷。同起时RC的大脱小，拾也反际映了奔衰减页得快压慢，想由此敲可定识义一矿个新打的物番理量——时间辅常数τ。②τ的物刘理意锅义：τ的大银小反列映了每过渡爸过程造进展冲的快它慢。在表珍达式立（5）中缓，将串时间t=1姓τ、2捷τ、3染τ、4述τ、5拨τ时的乳电压uc(t)列表拿如下吃：RC电路榜的零肉输入唯响应时间捐常数呈为：RC一阶卖电路增的零屑输入圣响应职的一畅般形桨式可犁记为例:拌1图示继电路议中,S合上仍前电闯路已抹处于射稳态,求t≥烦0时的uC(t)、iC(t)和i。解：t≥0时的现等效垫电路构如图胳示没，例题2、右盆图所庙示电遭路，拐开关K在t访=0时闭央合，址求：t零≥0时的uc(t似)、ic(t成)，以及i1(t家)、i2(t执)。显然溪，没景有必休要分牢别列殖写微撒分方设程来息求解灿，可池以利恳用零劲输入净响应滨的公难式来届求解珠。解：惊①先尤求初特始条浩件。独立北初始慨条件救：画0+等效沟电路他：得：②求歪时间附常数τ。τ是由炼一阶偏电路抗本身宿电路慨参数排决定买的固皮有特沾征，纱一个汉一阶摇电路撤只有齐一个轨时间暗常数倍，所扒有支细路电算压电辟流过敌渡过送程都遭是以衰同一瞎个时纪间常潜数为挠衰减引系数柴的。③求uc(t)。思考：

uc(t)的时间常数为τ=1s，那么i1(t)和i2(t)的时间常数为多少呢？二、RL电路控的零称输入茶响应1、求筛零输挪入响宾应。例1、uL、iL取关置联参库考方性向，帅求t≥0时，iL（t）。解：显然有：①列把方程摇：拴换郑路后多得：和电容容放吹电方宁程类朴似，翁也是激一阶没线性谁常系绣数齐罗次微匙分方谈程，遍其解等应有育类似铲的指脾数形熟式。令：则，诞微分鼓方程网的特旗征方列程为浅：Lp+R桨=0其特绵征根朴为：仍然定义

为时间常数，则有：2、时弃间常辆数：Re晨q为从L两端头看过库去电售路的渡戴维捏南等夏效电呀阻L—畜—H箩R—犹—Ωτ—买—s习题涛：图示电路，开关K原在位置1，已处稳态，t=0时，K合到位置2。求换路后（t≥0）。

解：

①

②t≥0时，

③确原定A代入t=练0+时，iL(0构+)针=I0,得：A=完I0或者嚼如下肾求解膏：①

②乡丰由0+等效气电路陈得：③

④

RL电路攻的零羽输入拖响应RL电路夸的时月间常过数为RL一阶故电路输的零切输入榆响应摊的一技般为冰形式盗为一阶变电路樱零输屡入响牢应的瞧一般孩形式躬为§4减—3一阶练电路电的零洁状态自响应零输都入响刘应是拒换路等后，闸电路帽中无发电源价激励占输入黎，仅关靠储取能元棕件的冤储能赔建立锦的过挽渡过症程响筹应(储能概元件茂的放暮电过齿程)。零状抬态响蛋应：胀换路发前储日能元箩件无龟初始阴储能速（即盾初始钉状态羽为0），眉换路公后在恩电源聚激励氏输入慎下建件立的摸过渡浮过程迁响应它（储能雕元件求的充艇电过等程）。一、RC电路尼的零鼻状态充响应已知晕：K在t=波0时闭推合，插且uc（0-）=0锋V,分析鞠：t≥理0时，uc（t），i（t）的变悉化规绍律。定性祖分析陪：第情一稳商态uc（0+）=0第二认稳态uc（∞抱）=Us从第匙一稳炕态到俯第二猫稳态撕也不杠是瞬堆时完蔑成的愚，也执有过厅渡过垫程，续似乎悦也应低该是执按指愉数规榆律变旷化。1、定惕量计例算：①t≥0时由KVL得：元件方程：

②先求茫对应芳的齐驻次方播程的及通解uc’’（t）齐次惨方程岸为：③求非沫齐次虫方程话的一休个特竹解uc’（t）一阶退、线孕性、缩慧常系留数、俊非齐握次微估分方龄程可得坛：非绕齐次龟方程刚的一粘个特尤解为uc’（t）=Us④非齐漏次微陵分方烘程的姻通解舱为：A为代扩定常鸡数⑤确泰定待货定常番数A将t=0+时的醒值代怕入，练即代饶入uc（0+）=0得：2.波形羽（响父应曲评线）按指俱数规咸律从矮第一陪稳态利过到顿第二锻稳态3、RC电路什（零目状态睛响应沟）的醒能量辟关系在过划渡过趁程中连，由摧于C无初剥始储抚能，携因此绪，电载源提侧供功竟率，馆而C和R则吸押收功质率如。若C无初蒜始储转能，K在t=坏0时闭必合，虑则：其中τ=RC

电容框上储治存的臭能量模为：可见锡，不降论电门阻电调容为见何值疲，零汁状态根响应触过程奇中，骂电源救供给剧的能普量只聪有一爽半转幻玉换成掘电场防能储螺存于直电容朝中，倡而另蜘一半企则消碰耗在倦电阻扇上。冶如果既是专个门为膝电容促充电拉电路夜，则扭充电躲效率只有50猛%。在整览个过言渡过联程中穷，电仓阻消池耗的僵能量皂为：RC电路柄的零斩状态降响应时间默常数凝为：例1：已知乳：电流容事横先充布电，K在t=层0时闭慰合。求：①τ，和最突大充障电电芦流；②讲；③做视曲线斑；④K合上15捐0μ角s时的栽值庄。解：巧用三杠要素萝法

①

τ=RC=100×0.5×10－6=50μs=5×10－5s②

③画响徐应曲料线。如何蜂画响躬应曲政线（庙波形票）呢响？方法歌：1.找第懂一稳乱态值2.找第稻二稳焰态值快（渐眨近线束）3.从第除一稳旁态按滴指数旧规律品过渡什到启第己二稳拦态④求t=掉15偏0μ疮s时，uc和i值叛。二、太直流举输入惕下RL电路触的零绢状态谁响应图示饮电路锐，已烘知iL（0-）=0，K在t=择0时打臭开，求：t≥版0时，iL（t）和uL（t）。解：1、求耕零状归态响江应t≥驻0时可塔得KC氏L方程予：iR+iL=Is代入得：A=－IS2.响应鼠曲线3.能量附关系严：可见迷，RL零状亡态电燃路中派，电霸流源告提供牺的能宽量也酒只有蒜一半轿储存起在电资感线耽圈中皱，另一击半则末消耗神在电洁阻中暖（不局论R、L为何薯值，豆结论弯都如起此）。RL电路串的零伙状态骂响应时间激常数徒为：例2已知泻电感授初始币无储氏能。求：K闭合派后的iL(t组)，i(t抱)。解：泄用三效要素笔法①iL(0+)=iL(0-)=0，由0+等效电路[L相当于开路，∵iL(0+)=0]

得：

画波埋形图示柔电路直中，S合上葡前，咏电容没电压梳为零蓝，求t≥仅0时的榜电容驱电压艺和各伴支路贺电流伟。Ωt=0iCR1S+US-+uC-5μF3kΩR26ki2i112v解：贩换路盈后电吩路的堪时间房诚常数血为例一:图示鞭电路肥中，S闭合蜂前电尝感中出无电挖流，盈求t≥催0时的uL、i和iL。解：赚戴维继南定痰理例二德：4-糖4一阶书电路逼的全短响应一、萍全响佣应是对零输胆入响秆应和艳零状拾态响滚应的访叠加狠，即叨：全响拣应=零输势入响宅应+零状队态响挎应①零输辽入：②零偿状态量：按叠曾加定抛理有童：③全竞响应泪的求部解方叫法再回浑顾零多状态东响应悦的求劳解过懂程：

非齐次方程的特解为：uc＇（t）=Us

非齐呼次微倚分方安程的串通解辱为：

A为代定常数

代入t=0+时的角值，uc(t崇)=uc(0+)考=0得：全响皮应应节为：一阶碎电路跌的全搏响应决及三坝要素罪分析裁法三要践素分悉析法根据削叠加剑定理早，全讨响应返可看利作是益外施乐激励挂和储碎能元限件的也初始唱储能轰单独让作用膏时各坏自产终生的挖响应裂的叠佩加。零输贷入响虫应：电路饮的全摩响应之为全响纪应=零状鹿态响括应+零输卸入响票应=稳态治分量+暂态垃分量三要木素公平式零状仿态响膨应：对uC和iL成立三要双素分热析法遇的一门般步妈骤求f(0＋)求f(∞遍)隙(ｔ＝哑∞:ｕ、ｉ不随分时间掀变化)求τ含源网络L或C求f(盒t)＝f(菊∞)＋狱［f(牙0＋)－f(育∞)］e-t冷/τ一般忌来说泽，电存感电齿路先艺求iL(t)较方差便，雅电容擦电路暂先求uC