第五章-流体动力学微分形式基本方程

流体力学顾伯勤主编研究生教材

退出中国科学文化出版社第二篇

流体动力学基本原理及流体工程流体动力学微分形式基本方程流体动力学积分形式基本方程伯努利方程及其应用量纲分析和相似原理流动阻力与管道计算边界层理论

流体绕过物体的流动

气体动力学基础

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第五章

流体动力学微分形式基本方程

连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程第一节第二节第三节退出返回

流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如质量、动量和能量守恒定律。这些普遍规律应用于流体运动就可得到联系流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。本章讨论微分形式的基本方程。

第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第1页第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程

第2页图5.1正六面体流体微团xzydydxdzwxdydz

o在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统的连续性方程在流场中取一六面体微团，其边长为，，（图5.1）。沿方向在单位时间内流入六面体的流体质量为沿方向在单位时间内流出六面体的流体沿方向在单位时间内净流出质量为六面体的流体质量为第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第3页同理可得：沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为沿方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为单位时间内净流出整个六面体的流体质量为另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在时刻流体密度为时刻流体密度为，则在单位时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为，第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第4页根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之和为零，六面体中流体的质量是不变的，即式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到（5.1）则连续性方程也可写成

写成向量形式 （5.3）

（5.3a）或（5.2）第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第5页对于稳定流动，，于是式（5.1）变为 即

（5.4a）（5.4）对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为

（5.5）

（5.5a）即第五章流体动力学微分形式基本方程

退出返回第一节连续性方程第6页o图5.2扇形六面体流体微团zArBdrDCdzdr二、圆柱坐标系统的连续性方程在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流体微团ABCD，如图5.2所示。单位时间内流入AB、BC、CA面的流体质量分别为，，单位时间内流出CD、DA、BD面的流体质量分别为，，

第五佳章流体逢动力西学微崭分形厦式基剂本方扬程退侨出返假回第一酱节连续较性方让程第7页单位继时间滤内，华微团促中净肉流出拣的流阴体质贺量为由于腰微团位中流贫体密认度增茶加而旅使微谷团中票增加繁的流留体质蜓量为根据丝式连续养性原睛理，伯微团户中流等体质皇量的希总变披化应舒等于千零，汽所以此即呀圆柱仰坐标妥系统躺的连搭续性虎方程凶。（5.呢6）对于伴不可掠压缩浓流体芒，为常厘数，沿连续誓性方览程为（5.零7）第五背章流体么动力腹学微很分形馆式基厅本方元程退金出返咬回第二播节罚理哪想流凉体运话动方弟程第1页图5.3流体微团在x方向所受的力xzydydxdzpdydzXo运动扇方程辽描述败流体贡在运阅动中电所受班的力唱与流宣动参渣量之抬间的嫌关系肺。理煤想流积体是艺指无摄粘性烛的流宽体。事工程彻实践迈中的选流体鼓都是笛具有超粘性求的，夕它们得并不扰是理笨想的纪流体亦，但坟在很六多情元况下绘，流视体的安粘性源力和急其他纸力比恼起来群作用绕很小怨，因授而可斤视为天理想酒流体叹。一、内理想走流体补运动辈方程涨的建珠立建立遇运动鹊方程届的基班础是蹲牛顿垒第二锡运动畏定律差。在核理想州流体笛流场晒中取乖出一慌微小舱六面帝体微底团。京微团沾所受上的力队有表其面力押（压裕力）歇和体园积力散（质夸量力偿）。假六面抄体在吐轴方洲向上还所受味的表鉴面力芬和单容位质山量的内体积够力如麦图5.超3所示悔。设纱单位肿质量宽的体基积力仗为X、Y、Z，则在轴方占向根馆据牛婆顿第引二运始动定竹律应有第五沸章流体绣动力掘学微横分形志式基挖本方秃程退搂出返币回第2页化简涛得、轴方何向力愤的平择衡关宾系式汽，于蚀是有同理卡可推义导得币到（5.鸟8）第二洽节答理朋想流角体运搏动方旋程第五牲章流体纺动力螺学微莫分形负式基员本方被程退抵出返宜回第3页式中坑，称为形单位与质量倚的体测积力教矢量碰。（5仿.8龙a）（5.齐8）式驱就是搬理想摔流体锹的运父动方鲜程，为它是宏欧拉贡于17鞭55年提晚出的忙，故栗又称观欧拉善运动稻方程体。它锦给出纵了压评力、评体积述力与揉惯性眨力的弟关系优。对乔于给猎定的倦流体招（密跑度已皮知，仰或者工已知亡压力指与密柔度的颗关系笼，例偿如气病体方祥程）在，在权已知解体积鼓力场励（即X、Y、Z已知西）内贷，根方据此着式和乞连续宅性方倘程进平行积群分，裤可解牙出任屑意时吉刻t，流专场中自任意牢位置涉（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是糕实际惜对该竖式进浅行解丸析计缺算是变有困喉难的此，往姐往需顷要给婶定限吊制条家件。技最简熄单的抖限制粪条件蜻是讨摊论沿搬流线消的运蜜动和搜无旋点流场待。这汉两种佛情况尚都是役有现本实意舱义的馅，后拢面将秘详细戴讨论健。第二血节往理成想流裙体运劣动方瞧程第五睡章流体咐动力输学微弹分形堤式基公本方苦程退蓄出返朵回第4页欧拉呼方程据在圆苏柱坐或标系何统中滔的形写式，痕可以瞒用上沙述同享样的兵方法扁得到崇，在云流场侨中取毯微小渐扇形坦六面狗体微符团，劳然后纸根据喜牛顿棉第二范运动颤定律姨列出门微团词的力亮的平秒衡方似程，宽从而减得到岂该坐墨标系劣统的谢欧拉恐运动奸方程偏，具张体形虹式如浴下（5.党9）式中、、分别煌为单犯位质娃量的豆体积她力在r、、z方向匪的分蔽量。第二小节章理利想流脂体运酷动方责程、p、T，除了谊用欧怀拉方振程和虎连续父性方躺程外切，还欲要增肃加状吩态方庸程和葵能量愁方程艘来求知解。求解线理想季流体叼运动严问题尚主要恒依靠坛欧拉脑方程互和连岩续性牲方程双。方绢程是嗓普遍惜的，馒但各污个问婆题的遵初始垦条件眠和边兴界条洋件不振同，谊因此早对各保个具尸体问拳题应睛作具不体分旬析。初始塞条件题是指棉流体挺运动郑开始滨瞬时燃所对犁应的迈条件壤。在丧理想德流体奏力学认问题骗中，愤所要森求的读是第五导章流体哥动力芦学微晋分形锡式基垒本方影程退奸出返荒回第5页二、妈理想公流体抹运动杨方程蕉的求奖解对不轰可压装缩流豪体的兼流动昆，未捕知量狂为p、、、连续缓性方程巷就能茶求解宾。对毕可压戏缩流阶体的蛮流动落，其壮未知喘量有、、、、、、、p、T，因此滴，在时，魂这些街物理食量，故摄欧拉六方程越加上的数双值应惜是给杠出的蝴，即第二雄节隐理屑想流粘体运句动方岭程第五便章流体教动力华学微佣分形辞式基托本方牙程退井出返乐回第6页其中拳，f1至f6是给值定的啊函数团。对于缺稳定恼流动演，流演场中楚各点肯的物掩理量灾不随些时间距改变墨，所故以不恭存在迷初始脑条件历。边界驴条件掌是指绸所求搅物理首量在陶边界役上的法取值锁。如祸对静俯止的握固体畏壁面型，由狠于流甚体不棒能穿鉴过这或种壁冲面，亦同时似流体盟与边旋界壁愁面间浙不会悠形成歪空隙签，则叮紧贴赵边界掩壁面球的那哭层流钻体沿陈壁面拨法线念方向宫的流缓体速缝度分主量为顶零，偷即，而扇其切意向分讨量不恶为零顾。对泄移动泥的固级体壁标面，殊该层垄流体冲速度塔的法详向分妄量必部须等描于固阻体边斑界壁衰面上陆相应除点的悄速度煎的法僚向分程量，徒即又如妹根据劫作用亲力和畅反作槐用力密相等逗的定哈律，污流体斗作用子于边流界壁遭面或捷自由暴面上松外界饺介质朗流体旺质点印的力奸，等楼于边扯界壁进面或先外界唯介质孩作用国于该醋流体遍上的战力，毅即第二渡节骗理娃想流简体运尼动方唉程第五青章流体墓动力寻学微帽分形壶式基授本方族程退晒出返肚回第7页例题5.翠1有一灾稳定鞭流场趁，其财速度玩分布丈为，试证奔明它咸是不序可压浮缩流散动。眯又假裳定质负量力嚼为重浸力，z轴垂姿直向合上，，长辅度单馆位为m，试计尾算点M（2，2，5）处的绘压力进梯度联。。解：连饼续性胀方程须和运守动方彩程分前别为对不晴可压标缩流旨动连抱续性孕方程皮变为将速帆度分系布代塘入上高式得怎到因此晒，该迈流动船为不燃可压据缩流轮动。第二医节布理很想流腿体运居动方铲程第五抹章流体平动力惨学微飞分形刘式基繁本方结程退切出返骆回第8页由于患质量户力为错重力妻，则册运动组方程天为将给包定的A，x，y，z代入芒，得甜到第二产节怜理舍想流横体运关动方置程第五敞章流体租动力咱学微程分形杀式基愈本方炎程退拘出返俘回第三姓节实际上流体监运动坊方程第1页一、惰实际戚流体翅运动酒方程庙的建搭立欧拉管方程扩是属奶于理庭想流撇体的屠运动唇方程议，理泳想流锐体是敞没有营粘性飞的。废实际祸流体珍具有别粘性般，因层此作榨用在粉流体沸微团胀上的黑力将彩更加抹复杂洋。现偶仍取科流场赚中边免长为侄的触微团扁六面墙体来挽分析蚁（图5.傲4）。赢由于牧流体丙具有京粘性愧，因旬而，厕作用舅在每逼个正肝方形滨面上搁的力粒，除们去法司向力禽外还饰有切毛向力室（剪以切力唤）。用而法深向力垄也和制理想脏流体么情况器不同挽，它艳不只乖是流俱体的廊表面义力（织压力贯），炒而且乎还有刺由于棚剪切搁变形利引起追的附独加的芹法线爬方向图的力巡寿。用表示阻法向采应力贿，用表示河切向青应力翁。则亦所有烤作用胸在微伸团上豆沿x轴方蠢向的降表面旬力的巨合力馅为、、x轴方齿向的里质量继力为退盗出返提回第五池章流体讨动力羊学微爷分形热式基走本方察程退蛮出返扒回第2页第三绣节实际霜流体道运动菠方程根据求牛顿评第二娇运动件定律脏列出x轴方骡向力携的平停衡式醉如下即同样杀可得征到沿y和z轴方祝向力忘的平融衡关础系式锈，经帮化简甩得到（5.胜10）第五饲章流体尽动力快学微芒分形眼式基精本方炒程退争出返怎回第3页第三局节实际蛾流体葡运动央方程将弹刑性力属学中荣的应仇力应妄变关秃系式岁应用扮到流兔体力富学中插，作崖如下绸替换严：用肺流体极力学村中的库变形厘速率丈代替念弹性剪力学件中的历应变摆；用叨流体谎的动技力粘阵度代替码固体高的剪漠切模南量G；用流辟体压破力的炊负值冲（）代群替弹宏性力条学中洗的平呜均法港向应择力。篮当流闲体流预动停嫩止（错静止谦流体狸）或愁者作做匀速协运动妖时，触所有港剪切捆应力镰都将禁消失征，法敌向应咳力中这只剩倍下压尸力（丹），泻而对偷于存脾在剪秤切应咳力的们一般维情况权，此菜种压揉力仍闯然存四在，般并且聚与坐树标方补向无缩慧关，碧所以穿在一衡般实僻际流暑体的恰运动稻方程叠中仍境可认始为廉，只弊有在塔速度姨梯度啦和温箭度梯极度极含高时把才有尺较大更偏差帆。经过蚊上述梦替换手，可强以得阴到实困际流镰体运尽动时凶的应问力与羊变形秧速率端的关合系如重下第五脸章流体且动力瞎学微熄分形来式基屈本方志程退喉出返汪回第4页第三纯节实际誉流体闻运动崇方程由式施（5.贷11）的练前三到式可方以看堂出，练粘性锁流体亩运动垄中的设法向芝应力离由两驴部分监组成拔，即静走压力p和剪伟切变耀形引采起的严附加王的法来线方税向的梅应力迈。将呢式（5.度11）代边入式练（5.稳10）可铁得（5.民11）第五絮章流体况动力费学微罩分形闭式基贫本方酬程退村出返揭回第5页第三艳节实际夹流体炼运动此方程式（5.垒12）就忍是实离际流弟体的防运动仗方程华，或抄称纳激维—斯托惨克斯痰（Na贝vi茎er-S宴to帐ke画s）方程泻。当流榨体的亮粘度村不变碍时，咸式（5.眨12）可阿以写久成（5.吓12）第五喉章流体哈动力邪学微鹿分形誓式基羊本方歼程退污出返赶回第6页第三饼节实际次流体劫运动察方程或者咽写成切向量临形式（5.幼13）对于柿不可税压缩清流体震，因浸为，则起写成第五膜章流体逐动力字学微编分形相式基还本方恨程退凯出返底回第7页第三艰节实际尤流体洽运动葬方程或者循写成赶向量阁形式（5.吼14）对于贝圆柱开坐标绪系统瓜，考版虑一起扇形界六面掘体微臂团（赛以r，r+dr，，+d，z，z+dz六个眯面为挑边界逆面）搏，按巡寿牛顿尝第二鱼运动渣定律咳取力欺的平膝衡，老可以鸟得到恼圆柱谜坐标伪系统瓣的纳但维—斯托乐克斯肚方程迁。考吗虑粘桶度为馒常数雹时，牙其形相式如倒下（绩推导评从略挤）第五站章流体港动力锅学微笼分形弹式基刷本方朝程退溉出返统回第8页第三氏节实际狮流体淋运动宰方程（5.15）第五虏章流体逢动力拴学微毙分形驻式基贺本方舞程退生出返巨回第9页第三刮节实际乓流体隔运动触方程（5.16）式中Fr，F，Fz为单瓜位质厨量的凶体积全力在r，，z方向份的分乐量。第五争章流体揭动力反学微浊分形摸式基立本方纳程退道出返统回第1箩0页第三凳节实际饮流体拴运动死方程对于隙不可雹压缩求流体确，。对耗于稳永定流谦动，阶有上述雾方程殖显然层便可霞简化疫。二、姜实际缺流体页运动尾方程获的求拾解由纳织维—斯托段克斯赚方程烂、连章续性怎方程做、状窃态方膏程、排能量载方程绣（热充力学毛第一药定律待）和物粘度胡温度胖关系绞式七个役方程午可以赵联立粪求解忍出、、p、、T、七个筛未知盼量。阴求解构必须挣在一获定的教初始甘条件歌和边练界条绸件下隐进行泛，对障于稳挽定流结动，狂只需喝给出踩边界距条件下。由衔于粘抱性流认体的茄粘附压效应熊，固辩体壁效面上消的流路体质搬点和夸对应励的固胖体壁杆面具玻有相贵同的肯速度若，即、注意非到纳艇维—斯托答克斯井方程悲中，肿惯性译项是她非线占性项页，因概而求唤解十齿分困缴难。役对于阔理想势流体衫，存辣在速前度势位时，释不可龙压缩很理想你流体僵的流踢动问问题简漫化为阀求解性拉普塘拉斯陪问题号，因躺而可昆以由蚂许多荒简单里的流驱动叠慢加成查为复粒杂的赤流动踢。但吉对于运粘性纷流体稿，由树于是垄非线翅性问吧题，惩就不易能用脆叠加涂的方纺法求隆解。第五米章流体岭动力监学微横分形答式基明本方众程退贼出返袜回第1妙1页第三谋节实际泳流体电运动冤方程迄今抛为止阅，除深了一赶些经祥典问刑题以阔外，游一般能问题炒的解黎析求彻解仍廊然是陆不可现能的至。近隆年来湖数值袄计算营方法枣发展鞠很快翁，借忙助于察现代悔计算慕工具衣，使刻工程仆实际逼中许附多复抓杂的阀流体痰力学侮问题罚得以盏解决幅，而动纳维—斯托哈克斯蝇方程漂作为掌计算暮基础貌是十铺分重昂要的池。例题2求解医两块狡固定州无限究长二浆维平剖行平惕板间旱不可亚压缩宾流体纲的稳沈定层苗流问注题（洗图5.宴5）。解：x轴取殖在两脾平板额中间龄，流灰动沿x方向年，故wy=wz=0崭，对于上不可步压缩牙流体字的稳哗定平蚂面流陕动，鉴纳维—斯托或克斯或方程湾和连孟续性幸方程防为第五紧章流体雨动力板学微际分形趴式基失本方隶程退扎出返碌回第1篮2页第三籍节实际朋流体垄运动章方程第二膛、第女三式摔说明姻压力p仅是x的函经数，防而与y、z无关胀，最爬后一香式说些明wx与x无关号，这兄样，逢第一摘式成仿为yxohp2lp1图5.5两平板内的流动xo第五亚章流体筋动力轨学微吼分形摔式基遇本方窑程退若出返酬回第13页第三滩节实际绸流体胀运动倦方程上式疑左边臣为x的函杰数，渡右边梳是y的函忍数，翁对于窝不同亦变量笼的全修微分口等式旬，仅锈当等叹式两累边都蓄等于另常数享时才墓能成抹立，咏故有由边副界条鱼件：返当时，，得这到、则可狗得到补流速强分布可见wx沿平奶板间垮隙高剃度方钻向是过抛物鞠线分济布的义，如驱图5.量5所示允。若板摔长为l，入口鉴和出沃口端逃压力离分别债为p1和p2，则流因速分督布公桨式可理写成第五沸章流体资动力西学微议分形乖式基重本方贯程退汤出返盗回第1缴4页第三乌节实际套流体捧运动辽方程流过糖板宽b的流阿量为rxoRp2lp1图5.6圆管内的层流流动zo例题3求解严长圆育管内心不可镜压缩未流体