年大学生数学建模竞赛试题最优捕鱼

1996年大学生数学建模竞赛试题最优捕鱼策略

一、问题考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×10^11/(1.22×10^11+n).

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、模型假设1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程。2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。3．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵4．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3，其中上一年存活下来的4龄鱼到下一年全部死亡。

用到的符号三、模型建立问题一模型1．1，2龄鱼及3，4龄鱼后四个月的生长只受自然死亡率的影响，由此可知1，2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）：T年的i龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，2．而对于3，4龄鱼的生长，在前八个月，他们的生长不仅受自然生长率的影响，还受捕捞强度系数的影响。前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足：

年捕捞量为：T：年份r:自然死亡率k：捕捞强度所以年初1龄鱼的总量3．根据以上分析，可以建立非线性规划模型：目标函数：约束条件：产卵量：卵化存活率：K：捕捞强度T:年份r:自然死亡率问题二模型整个生存过程满足的关系式为四、模型求解问题一求解目标函数为：约束条件：问题一：model:max=17.86*0.42*k/(0.8+0.42*k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-1.6)*(1-@exp(-2/3*(0.8+0.42*k)))+22.99*k/(0.8+k)*1.22*10^11/(1.22*10^11+n)*n*@exp(-0.28*k-2.4)*(1-@exp(-2/3*(0.8+k)));n=1.22*10^11*(1.109*10^5*(0.5*@exp(-0.28*k-6.4/3)+@exp(-(0.28+2/3)*k-8.8/3))-1);x1=n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x2=@exp(-0.8)*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x3=@exp(-1.6)*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);x4=@exp(-(0.28*k+2.4))*n*1.22*10^11/(1.22*10^11+n);k3=0.42*k;k4=k;end结果：max=0.3887076E+12；k3=7.292429;k4=17.36293;X10.1195994E+12X20.5373946E+11X30.2414670E+11X40.8395523E+08问题启二求拒解第六北年1龄鱼龄数量钓占第丸一年1龄鱼当数量指的比尤例为叼：问题挽二：x1惰(1棕)=狭1.拢22乱*1滤0^珍11脸;x秆2(帝1)吓=2歌.9哪7*发10焰^1议0;振x3组(1柔)=问1.窑01交*1步0^祸10摩;x婶4(毫1)敬=3爪.2装9*枕10脸^9腊;ma咏x(馅1)速=1垃7.说86洪*0候.4吹2*惜17收.3无6/扔(0跪.8医+0盲.4辰2*鞠17劝.3包6)嘉*x有3(蛇1)谨*(战1-子ex幸p(参-2巴/3哗*(蜘0.哄8+虽0.关42险*1生7.魄36墨))练)+喂22躺.9说9*泪17瘦.3态6/仰(0叔.8扮+1班7.烫36等)*念x4鸟(1族)*素(1身-e浙xp猴(-扣2/纱3*扭(0半.8绝+1超7.腔36斜))窃);fo划r房诚t=惊1:绑5;n(舒t+主1)底=0华.5若*1艇.1草09扯*1垃0^共5*赵x3数(t暂)*撤ex薯p(埋-2筝/3案*(登0.灿42乒*1总7.波36橡+0扯.8递))架+1孩.1慌09展*1鉴0^亏5*岸x4渔(t狐)*屯ex拢p(侦-2锐/3轿*(忌17轰.3饼6+滔0.什8)载)；x1忘(t决+1洁)=妨1.蓄22样*1摧0^雁11经*n洽(t裂+1婆)/谦(1砌.2晓2*受10马^1斜1+箩n(莫t+滋1)肉)x2凡(t煌+1压)=抽x1抓(t梢)*童ex块p(昼-0级.8却)x3抛(t属+1胁)=宅x2珠(t推)*遍ex芝p(孤-0政.8疯)x4银(t拒+1束)=巾x3岔(t疏)*岸ex筝p(艘-(顿2/截3*畏0.弓42课*1岁7.娘36迹+0深.8裹))ma武x(搜t+载1)遥=m禽ax葛(t棋)+违17泥.8要6*富0.蜂42穿*1政7.令36贷/(勒0.抱8+保0.录42环*1禁7.详36膜)*拖x3卫(t形+1扯)*逼(1未-e颈xp象(-狡2/倍3*用(0俩.8惕+0贫.4甚2*脊17角.3科6)府))肠+2滩2.抽99安*1汽7.闲36困/(费0.谁8+会17孙.3悲6)茧*x贤4(效t+捏1)锄*(埋1-赶ex肃p(轰-2戚/3召*(和0.需8+顷17监.3混6)忍))en僻d结果苍：x1补=1.欢0e笔+1攀1伟*1.涝22烫001.擦16压42抄1.陷17贩73乞1.肤19贩65手1.颗19往541.月19介56x2康=1.助0e类+1笛0薄*2.毯97辣00悟5.浩48坑18罩5.弃23爷12夺5.税28承98亮5.缩慧37碑615.换37辛12x3碰=1.聋0e负+1阻0倘*1.沟01呆00烈1.挂33键45阁2.氏46叮31崇2.替35迈05盲2.滤37翠692.州41壳56x4纽奉=1.哨0e发+0天9胸*3.