改革高等代数 本王文卿

面向数学专业拔尖创新人才培养

改革高等代数教学方法与考评方式

上海大学数学系王卿文2011年11月13日交流要点以创设问题情境来激发学生对高等代数学习的兴趣

以展示数学思维过程来促进学生的思维发展

以重视数学思想的传授来激发学生的创新动机和培养创新精神

以发散思维，实现数学再“创造”来培养学生的创新能力

以研究性、探索性和开放性课题为课外作业来锻炼学生的自学和科研能力

以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等代数精髓的动力

背景大学的根本任务是培养学生的创新能力。大学的创新教育目标定位于创新人才的全面发展及其创新精神和创新能力的培养和提高上。数学专业的大学生在整个学习过程中需要培养八种数学能力和五种数学素养。

背景

八种数学能力：分析的能力归纳的能力抽象的能力空间想象的能力演绎推理的能力准确计算的能力运用数学软件的能力学习新数学知识的能力

背景五种数学素养：主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养具有良好的科学态度和创新精神合理地提出新思想、新概念、新方法的素养对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。背景高等代数作为数学专业的最重要的基础课之一，对于学生数学能力和数学素养的培养起着关键性的作用。高等代数的内容不仅是学生学习后继课程不可缺少的基础知识，而且较多地体现着数学的高度抽象、严密的逻辑推理和科学计算；高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础，在科学研究和各行各业中有广泛的应用。

背景高等代数的基本内容是以矩阵为工具，研究向量空间。高等代数最大的难点就是高度抽象。高等代数是学生从具体的数学到抽象公理化的数学的一个重要过渡，一个必须通过的难关。既让学生学起来感觉容易又在学习中培养了学生的数学能力和数学素养是高等代数课程教学工作中所要解决的核心问题。解决这一问题的关键就是教师要高屋建瓴，将复杂的内容，抓住实质，讲得明白易懂，使学生对所学内容感兴趣，理解关键的内容、核心的思想，并通过严格的训练使其真正学到手。高等代数教学方法和考评方式的改革与实践

一、以创设问题情境来激发学生对高等代数学习的兴趣

数学问题情境就是含有相关数学知识和数学思想的情境，同时也是数学知识产生的背景。

一个好的问题情境应具有数学的实际应用价值和数学自身的魅力，从而能激发学生从事数学创新的动机。数学问题情境的创设，其素材可以源于生活，源于数学自身，还可以源于其它相关学科。通过给学生呈现刺激性的数学材料信息，激发学生好奇心和发现欲，使学生从中发现和提出问题，进而分析问题和解决问题。高等申代数她教学骄方法秋和考没评方用式的堡改革钻与实皮践1校正耐卫星第的运蒜行位穗置3计算窑机图辈形学窗中的渣图形绳变换分块男矩阵矩阵估乘法坦运算2多波哈段图寒像处兔理实对驳称矩脾阵4传染放病和物域种群展量发趋势特征宾值特估征向草量5信息锅编码肌和解婶码逆矩物阵6行星饺轨道偿计算线性损方程云组的之求解创设往数学务问题逢情境啊实例高等守代数姐教学葱方法傅和考译评方劫式的缎改革涂与实政践二、以展掉示数万学思电维过鄙程来棒促进聪学生慰的思剪维发诉展教科缴书是括经过拥逻辑居加工护的、抛完成净了的延数学削形式留，是盐一个杀严格耍的演副绎体爱系，忧看不详到思枝维过躺程，爹只看响到完狼整的丝式结论敞和顺钓理成菠章的孤严格度证明评。我们马在高率等代就数的津教学起中，霜努力迎向学此生展恒示围禾绕这后些问吧题进攻行分粥析和鸦思考硬，从印分析挡问题芦的过促程中兼寻找英解决钱问题映的方把法，紫尽可奥能地粮把数钳学原甲理、劝定理惯和方造法的剖发现装过程投传授滤给学窄生，嘴启发抛学生感去发输现和恐思考役；甚至寺在课来堂教婆学中疼，展岔示尝宴试错申误思级维的枕过程哲，充箱分暴喉露教叫师的腐思维雄过程化，以刮此来猾指导太、调锅节、女影响岁学生亿利用逢数学砌思维辈的活置动规仰律去矿发展兄自我犹。高等书代数当教学诵方法抽和考眯评方齐式的泰改革筛与实仪践展示师数学税思维圈过程凤的实谨例--四--矩阵灭的对好角化炸问题提出父问题科学疮的根妹本任素务是族化繁望为简急，矩闻阵的犹简单赏形式上是对穗角形究。相翁似变笔换是帖一类范重要吴的变层换，略我们杰通过析相似晴变换孝如何摩将一猎个方倍阵化闪为对区角形绩（即贿对角歇化）简。高等裤代数筛教学湾方法范和考宜评方揭式的非改革量与实倚践上述买问题标的数冬学表钱示进一姻步分和析并嗓解决摘问题高等发代数克教学抚方法队和考橡评方莫式的发改革然与实皆践定义枪新概勿念得出甘新结馅论，刮产生岁新问取题高等武代数胆教学窗方法肺和考丛评方音式的泡改革谊与实火践三、椒以重穗视数驳学思呢想的虏传授芽来激转发学系生的翁创新磁动机胞和培且养创荣新精墨神培养吴创新晶精神失，必岭须激撕发学络生创款新动扫机。谋创新危首先哭是思米想的播突破懒。我约们的均做法单如下丙：备课暗时牢赶牢抓烂住教纱材体邮系中痰蕴含蓬的数殃学思美想，仗并以拥此作宵为教蔬学设摔计的胀指导倍思想抽。教学畏时敏穗锐地圾发现减并抓脏住学踪蝶生的纺思想止火花除加以测提升北，鼓床励学钩生创江新，搬通过舅激发崇学生毛从事夸数学觉活动趁的创拴新动士机，属引导嚼更多卖的学底生参技与课决堂教监学活饭动。在教璃学中鹅，将制教学锻内容介自始到至终走突出让矩阵拆分块兵思想破、标浪准单僚位向肌量思疮想、吩初等燃变换积思想跳、升票阶与元降阶扒思想熔、矩形阵特饶征值督思想至、矩烂阵的谢各种石等价银标准炼形（念矩阵宰分解度）思骡想、班线性款子空要间思推想、搁同构朵转化学思想瓦以及慰将奇挤异阵蜘转化棵为非盖奇异料阵等躬核心隆思想闸。高等搏代数酱教学末方法跑和考栗评方腐式的岩改革爷与实糖践初等凯变换受思想初等稍变换牲是高肉等代袍数中培分析扁问题望、解卸决问银题的搜一种晚非常屋重要顿的思草想方漂法，胶它贯角穿于就高等屠代数坚理论广的始籍终，惠应用鬼初等店变换掌证明塌命题销过程冬容易疾被接册受，托同时亮也是昌解决央高等晶代数布相关暴计算退问题促最直特接、奏便利烟、有牺效的煮方法勇。我们烘可利论用初雕等变驶换计铅算行望列式到的值比、求贪多项残式的总最大磁公因奏式、擦求逆京阵、困解矩闲阵方岸程、党求解轧线性庄方程谣组、处判定风向量列组的逢线性射相关荒性、橡求向派量组搁的极县大无客关组青与秩伸、化讨二次晚型为桑标准写形、或求特血征子鲁空间丸、生赌成子珠空间侵、正吹交补屑空间宝等的细基、续求线抄性变松换的奴值域轮与核喉等等令。这种龟思想状方法续的实声质是芝将问毛题化阅繁为罢简，剧化抽妄象为驰具体狮，并我且保丈持事璃物的脏某些笑本质晕特征羡不变材。因潮此，钟伴随找着教茅学内您容的洋深入认与延沾展，安将其另思想糖内涵滤及时交地加嘴以展能现、缎丰富协，不膏仅可曾以使长学生盈把握饲知识译学习倡的脉盯络，年还可事以体伪会到聪不同算事物砖的内洪在关退系。高等仗代数葵教学先方法躺和考惭评方樱式的碗改革选与实帮践四、购以发顺散思属维，遵实现洲数学腔再“液创造谈”来戴培养槽学生捕的创闸新能称力。在课密堂教域学中堪，在街学生搅认真减思考俊的基旬础上喇，适盏时地悔给学醉生以技巧妙表地启胡发、捐点拨族，让肌他们米自己广对数灯学知纽奉识做样出更熔高层拥次的脉概括拿，得铁出一爱般性逃的结体论，身产生涝认识许上的搂飞跃娃，实私现数槐学“丽再创受造”喊。高等姓代数钓教学懂方法状和考滩评方耐式的册改革贪与实器践教师电创造抚合适括的条微件，狭提供膝具体叛的例纸子，崖让学就生在独实践原的过半程中规，“柔再创牢造”质出各艘种运缠算法伍则，艘或是蒸发现等有关每的各全种概算念、让定律翼；学个生在维学习恩数学军的过鼠程中典，都巾可以忆根据希自己恐的体拉验，时用自爱己的限思维制方式勒，重菌新创谅造有枪关的垦数学脚知识啊。教师外通过得适当角的启倦发，芳引导翼学生际加强肠反思数，使狭学生刚的创怪造活渔动由专不自施觉或谣盲目骡的状趟态，煌发展没为有毒意识宗、有目目的悦的创那造活洪动。在整箱个过圾程中守，学放生应相该始柿终积钟极参拥与这帆个活戒动，租感觉守到创肌造的态需要医，才纷有可线能进晌行“宾再创设造”杰。教她师应僵为学殊生提蜜供广隶阔的搂天地比，听鼻任各弹种不犯同思较维、乓不同武方法尚自由温发展止。高等突代数尽教学甜方法历和考床评方认式的唇改革能与实持践实例--废--线性突空间边的定叙义讲具解就线性空间中的这两种运算是否还有什么想法？教师询问：学生问：能否定义向量的乘法？从数域上的全体

矩阵、全体多项式、一闭区间上的全体连续函数等具体的例子中，抽象其共性：集合中有加法运算和数乘运算，并且满足八条性质，最后得出了线性空间的定义和性质。教师：高等嗓代数宅教学呢方法叹和考累评方划式的队改革卡与实么践矩阵空间中有乘法运算，乘法运算与加法运算的关系是什么？一数与两个矩阵的乘积作数乘时可能出现的情况是什么？教师引导学生：学生经过观察考虑得出结论：矩阵的乘法和加法满足分配律，一数与两个矩阵的乘积作数乘时，这个数可以自由出现在矩阵的左右位置。请把矩阵改成一般线性空间的向量，写出上述结论。教师点拨：学生很容易完成。这时，我们告诉学生：你发明了“代数”的定义高等彩代数厦教学纸方法愿和考址评方购式的密改革曾与实赠践五、逃以研顾究性熊、探签索性架和开净放性新课题宴为课辆外作弯业来鲜锻炼瞒学生暖的自欢学和惭科研善能力。研究庭性、遭探索事性和绩开放滤性课烤题的乌课外粮作业吸主要赤包括炊如下确几个咏部分恰：探索假性的说专题巧讨论吵。如线贸性相候关性秤、等庸价关插系等辅专题淘探索残与课左堂讨追论，转以此六来调桌动学溜生的您主动捡性；总结孙性的锅专题美报告深。每章爬课程汤结束箩时布玩置专址题总冶结，敌拓展创的大殊作业贷，以瞎此来阀训练茅学生幸的查默阅资隆料和酱归纳家总结岗的能妨力；高等僻代数属教学抓方法泳和考绣评方拿式的袋改革诸与实拣践攻关样性的胳难题凝求解僻。每次兄作业缎有一撤道“脑攻关躺题”掉，目凉的是钥让学塑生享煎受理界解和丛应用零数学浪思想熊和方耀法的行乐趣烦，提数高创竞新能浴力；在短棕学期锐开设星高等辆代数网有关习的最驳新研土究成烂果的威主题吼讲座宴和相澡关的脾数学忌软件或课程吹。如MA植TL昏AB软件碍，以庄线性旷代数嚼作为楼学习MA恢TL竭AB的切忙入点然，不折仅能浓很好论地学端习MA绢TL岗AB软件返，而昨且能热进一秀步巩档固线太性代谈数的疗基本鹅知识升和基锡本方供法。挑选惩优秀剥本科惭生提敞前进捎入教缎