第11讲函数的奇偶性

第11讲函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；2．会用定义判断函数的奇偶性；3．会依据函数的奇偶性进行简单的应用。一、函数奇偶性的定义1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。偶函数的性质：，可避免讨论．二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、定义法判断函数奇偶性判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．四、利用函数奇偶性求分段函数解析式的步骤第一步：设出所求区间上的任意；第二步：将所求区间内的转化到已知区间内；第三步：利用函数奇偶性的定义得出所求区间的解析式。五、利用函数奇偶性求参数值得方法1、如果定义函参数，由定义域关于原点对称列等式求解；2、如果解析式含参数（1）通过偶函数的定义或奇函数的定义列等式求解；（2）通过代入定义域内的特殊值列等式求解；（3）对于在处有定义的奇函数，利用求解。考点一：判断函数的奇偶性例1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A：y=5x的定义域为R，单调递增，f（﹣x）=﹣5x，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；对于B：的定义域为{x|x≠0}，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，故B错误；对于C：y=4x2的定义域为R，f（﹣x）=4x2，所以f（﹣x）=f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，（0，+∞）上单调递增，故C错误；对于D：的定义域为R，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，故D错误，故选：A.【变式训练1】函数的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数【答案】B【解析】的定义域为，关于原点对称，.故为偶函数.故选：B.【变式训练2】对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数【答案】B【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故A错误；对于B，因为和都是偶函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故B正确；对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故C错误；对于D，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故D错误.故选：B考点二：利用奇偶性求函数值例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（）A．1B．－1C．5D．－5【答案】B【解析】根据奇函数性质可知；而，所以，所以.故选：B【变式训练】已知是上的偶函数，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是上的偶函数，所以，所以关于对称，当时，，所以.故选：C.考点三：利用奇偶性求参数例3．已知函数为偶函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若函数为偶函数，则，即，整理得，故，解得.故选：B.【变式训练】若函数为奇函数，则__．【答案】【解析】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，所以，，解得.故答案为：.考点四：利用奇偶性求解析式例4．已知为偶函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B.【变式训练】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．【答案】/【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，，所以当时，的表达式为.故答案为：1．函数的图像关于（）A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线対称【答案】C【解析】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称.故选：C2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对选项A：关于对称，不是偶函数，排除；对选项B：定义域为，.函数为偶函数，且在上单调递减，满足；对选项C：定义域为，是奇函数，排除；对选项D：当，单调递增，排除.故选：B.3．下列函数中是偶函数的是（）A．，B．C．D．，【答案】D【解析】函数，，定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，A选项错误；函数，，，，函数不是偶函数，B选项错误；函数，定义域为R，，函数是奇函数，C选项错误；函数，，定义域关于原点对称，，函数为偶函数，D选项正确．故选：D4．已知偶函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，则，，又为偶函数，∴当x<0时，.故选：D5．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（）A．，b＝0B．C．D．，【答案】B【解析】因为偶函数的定义域为，所以，解得，所以，由偶函数定义得，所以，即，所以，故.故选：B.6．若函数为奇函数，则（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由函数为奇函数，可得，所以，所以，化简得恒成立，所以，即,经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；故选:A．7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式是_______．【答案】【解析】由函数是定义在R上的奇函数得；当时，，∴．综上，；故答案为：.8．已知函数其中a，b为常数，若求_________.【答案】【解析】；故答案为：9．定义在R上的奇函数，当时，（k为常数），则______．【答案】-4【解析】是定义在R上的奇函数，，解得，则当时，，.故答案为：-4.10．函数是定义在上的偶函数,则__．【答案】3【解析】因为是定义在上的偶函数,所以,解得,由得,即,则,故．故答案为:31．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C2．己知是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因为，所以令，则，因为，，所以，令，则.故选：D.3．已知是上的奇函数，当时，，则（）A．4B．C．7D．【答案】A【解析】当时，，因为是上的奇函数，所以，所以.故选：A.4．函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的定义域为D，因为函数是奇函数，，所以，且，所以函数的图象必过点.故选：C.5．（多选）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是偶函数【答案】CD【解析】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以，对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误；对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确.故选：CD.6．（多选）下列判断正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是非奇非偶函数【答案】BC【解析】对于A，由且，得，则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，，当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;对于C，由且，得，即，的定义域关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;对于D，由且，得且x≠0，的定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，故D错误.故选:BC.7．“a＝0”是“是偶函数”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）【答案】充要【解析】由是偶函数，可得，经检验符合题意，则“a＝0”是“是偶函数”的充要条件故答案为：充要8．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.【答案】1【解析】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.9．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为_