新人教版高中数学教材例题课后习题必修二86空间直线平面的垂直

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直例1如图，已知正方体.（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？（2）求直线与所成的角的大小.（3）求直线与所成的角的大小.解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直.（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°.（3）如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°.例2如图（1），在正方体中，为底面的中心.求证.分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得.证明：如图（2），连接.∵是正方体，∴.∴四边形是平行四边形.∴.∴直线与所成的角即为直线与所成的角.连接，，易证.又为底面的中心，∴为的中点，∴，∴.练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．1.如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直．（）【答案】正确【解析】【分析】根据直线的位置关系确定正确结论.【详解】由于两条平行直线中的一条与已知直线垂直，所以另一条也与已知直线垂直.所以判断正确.故答案为：正确2.垂直于同一条直线的两条直线平行．（）【答案】错误【解析】【分析】根据两直线的位置关系确定正确结论.【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面，所以判断错误.故答案为：错误3.如图，在长方体的各条棱所在直线中，（1）与直线AB垂直的直线有__________条；（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．【答案】①.②.③.④.##【解析】【分析】根据线线垂直的知识确定正确结论.【详解】（1）与直线垂直的直线有：，共条.（2）与直线异面且垂直的直线由，共条.（3）与直线和都垂直的直线有，共条.（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线.故答案为：；；；4.如图，已知长方体中，，，.（1）和所成的角是多少度？（2）和所成的角是多少度？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据可知所求角为，由中的长度关系可求得结果；（2）根据可知所求角为，由中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接，，异面直线和所成角即为直线和所成角，即，在中，，，，，即异面直线和所成角为；（2）连接，，异面直线和所成角即为直线和所成角，即，在中，，，，，即异面直线和所成角为.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.5.如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，，求证.【答案】见解析【解析】【分析】如图，取中点、为E，连接，就是异面直线所成的角，利用勾股定理计算得到证明。【详解】如图，取中点、为E，连接.为的中点，就是异面直线所成的角.∵在正三棱柱中，，，，，，即.【点睛】本题考查了线线垂直，转化为异面直线夹角是解题的关键。8.6.2直线与平面垂直例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，，，求证.分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面内的两条相交直线即可.证明：如图，在平面内取两条相交直线m，n.∵直线，∴，.∵，∴，.又，，m，n是两条相交直线，∴.例4如图，在正方体中，求直线和平面所成的角.分析：关键是找出直线在平面上的射影.解：连接，，与相交于点O，连接.设正方体的棱长为a.∵，，，∴平面.∴.又，∴平面.∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.在中，，，∴.∴.∴直线和平面所成的角为30°.练习6.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？【答案】不一定【解析】【分析】找出反例可以说明命题的错误性，若不是错误的，则应是可以证明得到的。【详解】解：如图，在正方体中，，与平面所成的角均为45°，但这两条直线相交，故：不一定【点睛】本题考查了直线与平面所成角的定义，判断命题正确与否的方法是看能否证明或能否找出其反例。7.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。【详解】证明：∵底面是正方形，.平面，平面，.又，平面，平面.平面.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。8.如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？【答案】底面四边形的两对角线垂直时【解析】【分析】欲使，即使得成立，即得到平面，已知，再增加即可得到。【详解】解：当底面四边形的两对角线垂直时，可得到.证明如下：如图，连接.∵在直四棱柱D中，平面，面，.若，又，平面.平面，.而直四枝柱中，显然，.【点睛】本题考查了线面垂的判定定理，本题主要通过开放的形式来考查，具有灵活性。9.过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的______心.（2）若，，则点O是边的______.（3）若，，，垂足都为P，则点O是的_____心.【答案】①.外②.中点③.垂【解析】【分析】（1）由可得，，根据题意可得，可得，从而可得，从而得到结果；（2）由（1）得到，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半可得，点O为斜边的中点；（3）由，可得平面，进而可得，又，可得平面，进而可得，同理可得,，从而得出答案。【详解】解（1）如图，因为所以，故，又，,所以故可得，同理可得：所以点O是的外心；（2）由（1）可得点O是的外心，又因为，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即为边的中点；（3）因为，，且平面所以平面，所以，因为所以又，平面，所以平面，所以，同理可得：,故，点O是的垂心。【点睛】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力。例5如图，直线l平行于平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等.证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线，，垂足分别为，.∵，，∴.设直线，确定的平面为，.∵，∴.∴四边形是矩形.∴.由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面的距离相等.例6推导棱台的体积公式，其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.解：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，O，则垂直于棱台的上底面（想一想，为什么？），从而.设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为、高为，则.于是，.所以棱台的体积.由棱台上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且所以.代入①，得.练习10.已知直线和平面，若，，则与的位置关系是______.【答案】或．【解析】【分析】根据线面位置关系即可确定．【详解】若，，则，若，过b作平面，，，，则，又，则故答案为：或．【点睛】本题考查线面间的位置关系，掌握直线与平面的位置关系是解题关键，直线与平面有三种位置关系：相交、平行、直线在平面内．11.已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证直线，即在平面中找出一条直线平行于即可，适当构造辅助线即可得到。【详解】证明：如图，作，，垂足分别为，则，又，∴四边形为平行四边形.又平面，平面..【点睛】本题考查了线面平行的问题，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。12.如图，和都垂直于平面，且，F是的中点，求证：平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证平面，即证平行于平面中的一条直线，取的中点G，证明四边形为平行四边形，即可得到，从而得证。【详解】证明：如图，取的中点G，连接.是的中点，.平面，平面，.，，，∴四边形是行四边形，，平面，平面，平面.【点睛】本题考查了线面平行的问题，证明线面平行就是要证线线平行，线线平行的证明常见途径是中位线、平行四边形等等。13.求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.）【答案】证明见解析【解析】【分析】先写出已知与求证，然后进行证明。欲证两个平面平行，即证一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面。通过构造平面，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可得到线线平行，进而得到线面平行，同理得到另一个线面平行，从而得到面面平行。【详解】已知：，，求证：.证明：如图，过直线a任作平面，使，，，.，，.，，，∴在平面内，.又，，.同理.又直线相交，，，.【点睛】本题考查了面面平行的证明问题，解决面面平行问题常见方法是利用面面平行的判定定理。8.6.3平面与平面垂直例7如图所示，在正方体中，求证：平面平面.分析：要证平面平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可.这需要利用，是正方形的对角线.证明：∵是正方体，∴平面，∴.又，∴平面，∴平面平面.例8如图，是的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点..求证：平面平面.分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面.证明：∵平面，平面，∴.∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，是的直径，∴，即.又，平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.练习14.如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了，这是为什么？【答案】见解析【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，通过证明线面垂直得面面垂直.【详解】当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直，同时，这边紧靠工件的一个面，可看成这条边在这个面内，故这两个面垂直.【点睛】此题考查面面垂直的实际应用，将生活中的事例转化成纯立体几何问题，通过线面垂直关系得面面垂直.15.已知直线与平面，能使的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案．【详解】选项A中，,，得到和还有可能平行，所以错误；选项B中，，，，不一定得到，所以错误；选项C中，，和可能平行也可能相交，所以错误；选项D中，由知内必有直线，因为，所以，又因为，所以得到，所以正确．故选：D16.如图，平面，，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？【答案】见解析【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，先寻找线面垂直，再得面面垂直.【详解】平面平面，平面平面，平面平面.理由：平面，平面，平面，∴平面平面，平面平面.平面，平面，.又，,平面.平面，∴平面平面.【点睛】此题考查面面垂直的判定，关键在于准确寻找线面垂直的关系，结合几何体中的线面关系依次证明.17.如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直.【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，.又在正三棱柱中，平面，平面，.，平面，平面.平面.平面，∴平面平面.【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直.例9如图，已知平面平面，直线，，判断a与的位置关系.解：在内作垂直于与交线的直线b.∵，∴.又，∴.又，∴直线a与平面.例10如图，已知平面，平面平面，求证：平面.分析：要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线.由已知条件易得.再利用平面平面，过点A作的垂线，由两个平面垂直的性质可得.证明：如图，过点A作，垂足为E.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴.∵平面，平面，∴.又，∴平面.练习1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．18.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．（）【答案】【解析】【分析】根据面面垂直的性质可以判断命题的真假﹒【详解】若平面平面，则两平面一定相交，设交线为直线，显然，但直线与平面不垂直，故此命题不正确.故答案为：19.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．（）【答案】√【解析】【分析】根据线面平行的性质可知此命题正确.【详解】平面平面，若它们的交线记为直线，因此直线平面.在平面内一定有直线，则直线平面.故此命题正确.故答案为：√20.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．（）【答案】√【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理可以判断命题的真假﹒【详解】若平面内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．故答案为：√21.若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（）①平面α内的任一条直线必垂直于平面β；②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β；A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.【详解】①平面内取与平行的直线，不垂直于平面，故①错误；②当平面内取平行于交线的直线时，该直线与平面平行，故②错误；③取平面内无数条与交线垂直的直线，平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故③正确；④若内的任意一点取在交线上，所作垂线可能不在平面内，所以不一定垂直于平面，故④错误.故选：B22.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．视频23.已知平面，直线a，且，，，，判断直线a与平面的位置关系，并说明理由.【答案】，理由见解析【解析】【分析】在平面内找出直线a的平行线，根据面面垂直的性质证明线面垂直．【详解】，理由如下：如图，过直线a作平面，使.，.又，.又，，，.【点睛】此题考查根据线面平行的性质证明线线平行，根据面面垂直的性质证明线面垂直．习题复习巩固1．选择题24.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定【答案】D【解析】【分析】在长方体中举例说明，可能的位置关系，由排除法可得正确选项.【详解】如图：在长方体中，记为，为，为，满足题中条件，，若为，满足，此时；若为，满足，此时与相交；若为，满足，此时与异面垂直；若为，满足，此时与相交垂直；因此，的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，故选：D.25.设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴“l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．26.直线，互相平行的一个充分条件是A.，都平行于同一个平面 B.，与同一个平面所成的角相等C.平行于所在的平面 D.，都垂直于同一个平面【答案】D【解析】【详解】由题意下列哪个选项可以推出直线，互相平行即可，选项A中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B中与不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C中与不仅可以平行还可能异面直线；故选D2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内内写正确，错误的写错误．27.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直．（）【答案】正确【解析】【分析】根据线面垂直的知识确定正确结论.【详解】根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条.所以判断正确.故答案为：正确28.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行．（）【答案】×【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，即可得出结果.【详解】根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这个直线与平面平行；因此，过平面外一点能作出无数条直线与这个平面平行.故答案为：×29.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直．（）【答案】√【解析】【分析】根据直线和平面垂直的性质即可判断﹒【详解】根据直线和平面垂直的性质可知，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故答案为：√30.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．（）【答案】×【解析】【分析】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒【详解】过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行﹒故答案为：×31.过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（）【答案】正确【解析】【分析】结合平面的知识确定正确结论.【详解】直线与直线外一点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，所以过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.所以判断正确.故答案为：正确32.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明.（1）一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；（2）如果平面平面，平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补；（3）如果平面平面，平面平面，那么平面平面.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析；（3）错误，见解析.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质分析，平面内存在直线与第一条直线平行，该平面的垂线与之垂直；（2）借助法向量求二面角的方法即可分析；（3）垂直于同一平面的两个平面不一定垂直.【详解】解：（1）正确，设直线平面，直线平面，则存在直线.且.（2）正确，两个平面平行，则其法向量也平行，两个二面角的两个半平面的法向量所成角相等或互补；.（3）错误，如长方体中两底面都与同一侧面垂直，但两底面不垂直.【点睛】此题考查垂直关系的辨析，关键在于根据公理定理进行分析推导和证明，可以结合具体物体中的反例推翻命题.33.如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明，，即可得证；（2）通过平行关系转化证明即可得证；（3）通过证明平面，证明.【详解】证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，∵P为的中点，.又∵Q为的中点，，.∴四边形CDPQ为平行四边形，.又，D为AB的中点，.（2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.，由（1）知.又，.（3）由（1）（2）知，，而.平面.平面，.【点睛】此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.34.如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证.【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又，平面POC.平面POC，.【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.35.如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90°【解析】【分析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小.【详解】解：在正方体中，考虑平面与平面ABCD，平面，平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角，即平面与平面ABCD成角，同理平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，又因为平面，平面与平面垂直，即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论.36.如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.【答案】平面VBA和平面VBC垂直，理由见解析【解析】【分析】通过直角关系证明线面垂直得面面垂直，即可得出结论.【详解】解：平面VBA和平面VBC垂直.因为，所以平面ABC，所以.因为.所以.因为，所以平面VAB.又平面VBC，所以平面平面VBC.【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.37.求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过直角关系证明线面垂直再证明出面面垂直，即可得出结论.【详解】已知：直线VA，VB，VC两两垂直求证：平面VAB，平面VBC，平面VAC也两两垂直.证明：如答图所示，,平面VBC.∵平面VC，∴平面平面VBC.同理可得，平面平面VAB，平面平面VBC.【点睛】此题考查线面垂直的证明，根据线线垂直关系证明线面垂直，通过线面垂直证得面面垂直.38.已知平面，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据面面垂直的性质和线面平行的性质，证明线面垂直，得证面面垂直.【详解】证明：如图，设.在平面内作直线.因为，根据面面垂直的性质，所以.过a作一个平面与平面相交于直线b，由，得,所以.又，所以.【点睛】此题考查根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线平行，根据线面垂直证明面面垂直.39.如图：已知平面.满足求证：【答案】证明见解析.【解析】【分析】设，在平面内取一点，过作于，过作于C，则可证得，，从而可证得，，进而可证得【详解】证明：设，在平面内取一点，过作于，过作于C.且，又，，又，，同理可证，又且，综合运用40.如图，在正方体中，点P，Q分别为棱AD，的中点，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】取的中点R，连接QR，AR,通过证明证得结论.【详解】证明：取的中点R，连接QR，AR,如图：.∵Q是的中点，.而.∴四边形ABQR是平行四边形，.在正方形中，∵P，R分别是的中点，.，即.【点睛】此题考查线线垂直的证明，通过平行关系的转化，结合平面几何的知识进行证明.41.如图：m，n是两条相交直线，是与m，n都垂直的两条直线，且直线l与都相交，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据垂直于同一平面的两直线平行得，结合平面几何知识即可得证.【详解】证明：因为m,n是相交直线，所以它们可以确定一个平面记为，则，同理直线l与都相交，【点睛】此题考查线面垂直的判定，根据垂直于同一平面的两条直线平行，结合平面几何知识证明同位角相等.42.求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等.【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：.证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和，因为，所以四边形是平行四边形.所以，又，所以.设分别是平面的垂线的垂足，连接，则，在和中，因为.所以，所以.【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等.43.如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？【答案】能，理由见解析【解析】【分析】通过得，由平面ABC得，即可证明平面VDO，结合等腰三角形三线合一即可得证.【详解】解：能判定以及AC=BC.理由如下：平面ABC，平面ABC...，平面VDO.平面VDO，.又.【点睛】此题考查线面垂直的判定和性质，通过线面垂直得线线垂直，结合平面几何知识进行相关判定.44.如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？【答案】平面GEF，平面GSE，平面GSF.【解析】【分析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后，根据线面垂直的判定定理即可判定.【详解】解：折前∴折后.又SG，EG，FG交于一点G.根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF，同理可证：平面GSE，平面GSF.【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直.45.求证：垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，在平面内寻找两条相交直线与已知直线垂直即可得证.【详解】已知：，求证：.证明：如图、过直线a作两平面，使.根据面面平行的性质，..又与都在内且相交，.【点睛】此题考查根据面面平行的性质得线线平行，根据直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直.46.求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.【答案】证明见解析【解析】【分析】写出命题，根据面面垂直的性质得线面垂直，根据线面平行的性质得线线垂直，结合线面垂直关系证明线线垂直.【详解】已知：平面.求证：.证明：如图所示，因为，在平面内作异于的直线，，，所以，因为，所以，，所以所以，又所以，所以，同理可得.【点睛】此题考查线面平行的性质，面面垂直的性质，考查对线面平行、线面垂直、面面垂直性质的综合应用.47.如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.【答案】作图见解析；.【解析】【分析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明为二面角V-AB-C的平面角，在三角形中进行计算即可.【详解】解：如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.为二面角V-AB-C的平面角根据已知条件可得.在中，由余弦定理∴二面角V-AB-C的余弦值等于.【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则.拓广探索48.如图，在直三棱柱中，，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据，在直三棱柱中，证得平面，得，连接，则，即可证明平面，命题得证.【详解】证明：∵直三棱柱中，.∴四边形为正方形.连接，则.∵直棱柱中，底面ABC，底面ABC，.，即.又.平面.平面.又，平面.平面.【点睛】此题考查线面垂直的证明，对线面垂直的判定和性质的综合使用，最终证明线面垂直.49.如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析【解析】【分析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证.【详解】解：直线DE与平面VBC垂直理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角.由AB是的直径，知.因此，平面平面VBC.由两个平面垂直的性质定理，平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，可知直线AC与平面VBC垂直，由D，E分别是VA，VC的中点，知，所以直线DE与平面VBC垂直.【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系.50.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.【答案】垂直，证明见解析【解析】【分析】根据图形特征证明平面PBC，即可证明平面AEF与平面PBC互相垂直.【详解】解：垂直，证明如下：底面ABCD，平面ABCD，又底面ABCD为正方形，，而.平面PAB平面PAB，.，E为PB的中点，.而,平面PBC.平面AEP，∴平面平面PBC.【点睛】此题考查面面垂直的证明，涉及动平面与一个平面垂直的证明，关键在于证明直线与平面垂直，涉及直线与平面垂直的判定和性质的综合应用.变式练习题51.如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角．【答案】（1）45°（2）30°【解析】【分析】（1）判断出与所成角，并求得其大小.（2）作出与所成角，并求得其大小.【小问1详解】因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．【小问2详解】连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．52.直线平面，直线，则与不可能（）A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质可以得到，从而可得正确的选项.【详解】因为平面，直线，由线面垂直的性质可以知道，故选：A．【点睛】本题考查线面垂直的性质，注意空间中线面垂直与线线垂直的相互转化，本题属于容易题．53.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，，则可能平行，错；，，由线面平行的性质可得，正确；，，则，与异面；错，，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.54.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由为矩形，得，又平面，可知平面，从而，可证，由，，从而证明面；(2)由为矩形，可证平面，得，可知，从而平面，可证．【小问1详解】为矩形，平面，BC平面，又∵PA∩AB＝A，PA与AB平面PAB，平面又∵AE平面PAB又，PB∩BC＝B，PB与BC平面PBC，平面，∵PC平面PBC又，，AE与AF平面AEF平面；【小问2详解】为矩形平面平面平面平面55.在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．【答案】.【解析】【分析】取的中点M，连接，，推理判断为直线与平面所成的角即可计算作答.【详解】在正方体中，取的中点M，连接，，如图，因E是的中点，四边形为正方形，即有，而平面，则平面，从而为直线在平面内的射影，为直线与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，在中，，，于是得，所以直线与平面所成的角的正弦值为.56.如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)线线垂直的思路是证明直线垂直于另一直线所在的平面.(2)直线与直线的平行，利用线面垂直的性质垂直于同一平面的两直线平行.【小问1详解】如下图，连接A1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．【小问2详解】如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1=AD，B1C1∥AD所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.57.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)线面平行的证明，面外的直线与面内的直线平行，PB与平面AEC中的OE平行，利用中位线即可.(2)点到面的距离法一是直接法，法二是等体积法.【小问1详解】证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO．因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．又点E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．【小问2详解】作AH⊥PB于点H．PA⊥平面ABCD,又ABCD为矩形，,AP＝1，AD＝,由，可得AB＝．由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为，所以.58.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD