对坐标的曲线积分

关于对坐标的曲线积分第1页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第2页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第3页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第4页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第5页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三变力沿曲线作功分割:求和:取极限:取近似:力

设一质点在xoy面内从点A沿曲线L移动到点B变力所作的功?第6页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第7页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第8页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三定义类似地,如果总存在,则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记作设L为xOy面内从点A到点B的一条有向曲线弧,函数在L上有界.在L上沿L的方向任意一点列把L分成n个有向小弧段设点为上任意取定小弧段长度的最大值时,则称此极限为函数在有向曲线弧L上积分,记作的点,如果当各的极限总存在,对坐标x的曲线第9页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三注应用中经常出现组合形式的第二类曲线积分(1)(2)函数P(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续时,存在.通常记为或其中即其中叫做被积函数,叫做积分弧段.以上两个积分也称为第二类曲线积分.第10页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三函数在空间有向曲线弧Γ上对坐标的曲线积分通常将记作第11页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第12页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第13页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三线性性质可加性与方向有关第14页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第15页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第16页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续,定理则曲线积分且存在,L的参数方程为（t=α对应L的起点，t=β对应L的终点）其中在以α及β为端点的闭区间上具有连续导数,且第17页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三注(1)对坐标的曲线积分的计算归结为计算一个定积分!(2)化为定积分中的三个变化在上述公式中,起点对应下限α,终点对应上限β.L[α,β]或[β,α]P(x,y)Q(x,y)(3)口诀:变量参数化、一小二起下.(4)dxdy第18页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三特例(1)L：(2)L：推广空间曲线弧Γ：（x=a对应L的起点，x=b

对应L的终点）（y=c对应L的起点，y=d

对应L的终点）（t=α对应Γ的起点，t=β对应Γ的终点）第19页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分计算思路明确L的方程化为定积分三变、一注意积分弧段L被积函数积分元素一点注意起点对应下限计算定积分[α,β]或[β,α]明确选择参数方程确定起点和终点对应的参数值第20页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分解题思路对坐标的曲线积分解题模板L:…明确选择确定…t由α变到β起点终点对应的参数值必写!明确L的方程化为定积分计算定积分由得…L的方程为:…∴L的方程为:…第21页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三计算其中L是抛物线上点到点的一段弧.例1例2其中L

为计算(1)按逆时针方向绕行的上半圆周.(2)从点沿x轴到点的直线段.注正确选择L的方程对计算的繁简非常重要!注被积函数相同、起点和终点也相同，但积分路径不同，积分值可能不相等!第22页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三例3计算其中L为(1)抛物线上从到的一段弧.(2)抛物线上从到的一段弧.(3)有向折线坐标依次为(0,0),(1,0),(1,1).注积分路径不同，积分值可能相等!例4到点的直线段AB.计算其中Γ为从点第23页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第24页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第25页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三变力沿曲线作功例5xoy设一个质点在M(x,y)处受到力的作用,沿椭圆的大小与M到原点的距离成正比,的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)按逆时针方向移动到点B(0,b),求力所作的功W.第26页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第27页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的应用、两类曲线积分之间的联系第28页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B第29页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B第30页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B的方向余弦第31页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B第32页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B的方向余弦第33页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终点B第34页，讲稿共37页，2023年5月2日，星期三L的参数方程t=α对应起点Aα<βL上任一点M(x,y)处的切向量为(的指向与L方向一致)t=β对应终