高中数学-基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

3.4基本不等式：【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,会简单运用基本不等式；2．过程与方法：通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；3．情感态度与价值观：通过具体问题的提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，提高学习数学的兴趣.【重点难点】教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程；教学难点：基本不等式等号成立条件.【教学过程】一.课题导入如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.源:Zxxk.Com]二.探究学习探究一探究图形中的不等关系问题1：这会标中含有怎样的几何图形？问题2：这些几何图形的面积有怎样的相等关系或不等关系？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：.想一想：它们有相等的情况吗？何时相等？当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.得到的结论:试一试：取为任意实数，结论都成立吗？试一试：你能用学过的知识对它进行证明吗？证明：（作差法）因为当时，，当时，所以，，即结论1：对于任意实数，有，当且仅当时，等号成立.探究二基本不等式问题3：如果，，我们用、分别代替、，可得到什么结论？如果，，有.结论2：通常我们把上式写作：，这是一个基本不等式．1．适用范围：，2.在数学中，我们称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数.该基本不等式还可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.问题4:你能给出证明吗？用分析法证明：要证=1\*GB3①只要证=2\*GB3②要证=2\*GB3②，只要证=3\*GB3③要证=3\*GB3③，只要证=4\*GB3④显然，=4\*GB3④是成立的。当且仅当时，=4\*GB3④中的等号成立。探究三理解基本不等式的几何意义问题５：你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．＝,如图,可证∽,因而,由于小于或等于圆的半径,用不等式表示为想一想:等号成立的条件?当且仅当点与圆心重合,即当时,等号成立.基本不等式几何意义是：半弦长不大于半径长.三．知识应用1．试判断与2的大小关系？思考：如果将条件“”去掉，上述结论是否仍然成立？变式1．试判断与2的大小关系？思考：在结论成立的基础上，条件“”可以变化吗？四．课堂小结（１），当且仅当时，等号成立（２），当且仅当时，等号成立五．布置作业课本100页习题3.4A组1、2题学情分析学生在前面学习了用不等关系表示不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较方法，在初中学习了勾股定圆的几何性质等与基本不等式的有关的知识。但是能否在具体问题情境中大仙不等关系，并抽象概括出基本不等式是本节教学的一个难点。另外，对不等式的证明，学生经历的少，这又是本节的另外一个难点。用基本不等式证明不等式，求最值、解决实际问题是学生的第三个难点。基于上述因素，在教学设计上可以通过合理的问题，引导学生自主发现、探究并证明。不等式应用问题上，应该由浅入深，不能盲目拔高。效果分析总体来说，在班里积极学习、主动参与讨论、交流和展示的学生居多。整个课堂气氛较为活跃，课堂检测效果较好，基础知识巩固、落实效果好。学生通过导学案和课堂探究问题，能够进行全方位训练和提升,发挥了这种课堂教学模式的效用和魅力。教材分析基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识,它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。3.4基本不等式【学习目标】1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,会简单运用基本不等式；2．通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；3．通过具体问题的提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，提高学习数学的兴趣.【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程；【学习难点】基本不等式等号成立条件.【学习过程】一、课题导入如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.源:Zxxk.Com]二、新知探究探究一、探究图形中的不等关系问题1：这会标中含有怎样的几何图形？问题2：这些几何图形的面积有怎样的相等关系或不等关系？设直角三角形的两条直角边长为，那么正方形的边长为.4个直角三角形的面积的和为，正方形的面积为.由于正方形的面积（填“大于”“小于”或“等于”）4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：.想一想：它们有相等的情况吗？何时相等？得到的结论:试一试：取为任意实数，结论都成立吗？试一试：你能用学过的知识对它进行证明吗？证明：结论1：一般地，对于任意实数，，我们有。当且仅当时等号成立。探究二、基本不等式问题3：如果，，我们用、分别代替、，可得到什么结论？结论2：通常我们把上式写作：，这是一个基本不等式．1．适用范围：，2.在数学中，我们称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数.该基本不等式还可叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数。问题4:你能给出证明吗？证明：要证(1)只要证(2)要证（2），只要证-0（3）要证（3），只要证（-）0（4）显然，（4）是成立的。当且仅当时，（4）中的等号成立。探究三、理解基本不等式的几何意义问题５：你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，①如何用a,b表示OD?OD=___②如何用a,b表示DC?DC=______③DC与OD的大小关系怎样?DC_____OD想一想:等号成立的条件?基本不等式几何意义是：abEabEBOACD三、知识应用1．试判断与2的大小关系？思考：如果将条件“”去掉，上述结论是否仍然成立？变式1．试判断与2的大小关系？思考：在结论成立的基础上，条件“”可以变化吗？四．课堂小结这节课我们学到了什么？（１），当且仅当时，等号成立（２），当且仅当时，等号成立五．布置作业课本100页习题3.4A组第1、2题本节课的反思有以下几点：教师的教学设计一定要贴近学生的实际情况，对于我们的学生，过高的要求只会打击他们学习的积极性。例题的挑选需要照顾中等生。在讲完例1后，我发现只有不到一半的学生理解了，只好马上调整了例题，将原本设计好的题目改为后来的，题目尽管已经很浅显，但还是有部分学生没理解透。课堂上通过一些有价值的问题调动学生学习的兴趣。只有融洽的课堂气氛才能有好的教学效果。教标分析《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求：探索