毕业设计（论文）：带形状参数的Bézier形式

本科毕业设计（论文）课题名称：带形状参数的Bézier形式专业：信息与计算科学姓名：学号：指导教师：数理学院20年月本科毕业设计（论文）摘要文章首先定义了三次三角Bézier曲线的基函数的性质，分析得到该类曲线的性质，接着讨论了该曲线的拼接，和曲面的应用定义。给出了曲线和曲面的应用.在此基础上定义了带参数的三次三角Bézier曲线的基函数。给出了带参数的三次三角Bézier曲线的定义和性质，讨论该曲线拼接的条件。接着定义了带参数的三次三角Bézier曲面，最后给出了带参数的三次三角Bézier曲线以及曲面的应用。研究了参数不同时对曲线，曲面的影响。关键词：Bézier曲线；形状参数；曲线设计；光滑拼接

AbstractThis

article

firstly

defines

the

cubic

trigonometry

basis

function

Bézier

curves,

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the

properties

of

the

curves,

and

then

discusses

the

application

of

joining

curve,

definition

and

surface.

The

application

of

the

curves

and

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is

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on

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definition

of

the

basis

functions

of

cubic

trigonometry

Bézier

curves

with

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and

properties

of

the

cubic

trigonometry

Bézier

curves

with

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joining

curve.

Then

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define

cubic

trigonometry

Bézier

surface

with

parameters,

finally

the

applications

of

the

cubic

trigonometry

Bézier

curves

and

surface

with

parameters

are

given.Keywords:Béziercurve;shapeparameters;curvedesign;continuously目录摘要 IAbstract II目录 III图表目录………………………IV第一章绪论 11.1 课题研究目的与意义 11.2国内外的研究现状……………………..1第二章不带参数的三次三角Bézier曲线以及曲面………….22.1不带参数的三次三角Bézier曲线基函数的定义及性质22.2不带参数的三次三角Bézier曲线及性质62.3不带参数的三次三角Bézier曲线的拼接72.4不带参数的三次三角Bézier曲面的定义82.5不带参数的三次三角Bézier曲线的应用92.6不带参数的三次三角Bézier曲面的应用10第三章带参数的三次三角Bézier曲线及曲面113.1带参数的三次三角Bézier曲线基函数的性质113.2带参数的三次三角Bézier曲线的定义及性质123.3带参数的三次三角Bézier曲线的拼接143.4带参数的三次三角Bézier曲面153.5带参数的三次三角Bézier曲线的应用173.6带参数的三次三角Bézier曲面的应用19第四章带参数的三次三角Bézier曲面的拼接204.1带参数的三次三角Bézier曲面的拼接实例20第五章总结23参考文献24 致谢25图表目录图2.1不带参数的Bézier基函数 5图2.2不带参数的Bézier曲线……………7图2.3不带参数的Bézier曲线条件不同时的拼接…………….8图2.4不带参数的三次三角Bézier曲面……….9图2.5不带参数的心型…………..9图2.6不带参数的花瓣…………..9图2.7不带参数的花瓶…………10图2.8不带参数的杯子………10图2.9不带参数的酒坛图形…………………10图2.10不带参数的碗图形……...……10图3.1形状参数取值不同时的Bézier基函数12图3.2形状参数取值不同时的Bézier曲线…………………...14图3.3形状参数取值不同时的Bézier曲线的拼接…………...15图3.4形状参数取值不同时的Bézier曲面…………………...16图3.5形状参数取值不同时的心形…………17图3.6形状参数取值不同时的花瓣…………17图3.7带形状参数的花瓶……………………18图3.8带形状参数的杯子……………………18图3.9形状参数取值不同时的酒坛图形……19图3.10形状参数取值不同时的碗图形………..19图4.1形状参数取值不同时的杯子……21图4.2形状参数取值不同时的花瓶22第一章绪论1.1课题研究目的与意义曲线曲面的表示是计算机辅助几何设计中的一个重要的组成部分[1]。以Bernstein基构造的Bézier曲线具有结构简单、几何直观，因此成为表示曲线曲面的重要工具之一。但Bézier方法也存在缺点，给定了控制顶点，Bézier曲线就是唯一固定，如果需要修改曲线的形状，就必须调整控制定点[4]。在不改变控制定点的情况下引入形状参数[5]，通过改变形状参数达到修改曲线曲面形状.从而达到推广Bézier曲线的目的。1.2国内外研究现状随着计算机辅助几何设计的发展，往往要求调整曲线曲面的形状或位置[10]。人们开始想办法推广Bézier曲线。文献[2]以sint，cost，t，1为基函数构造了C曲线，它和Bézier曲线有许多相似的性质，能够用来精确地表示圆弧和圆柱。文献[3]中，对于一类可调控的Bézier曲线，针对(n+1)个控制顶点，用m=l(n-1)+1次Bernstein基构造一类Bézier曲线。该类曲线的缺点是几何意义不明显、曲线次数过高、增加了计算量。文献[6-9]分别研究了带形状参数的三角多项式曲线和双曲多项式曲线。该类曲线具有简单的表示形式、灵活的可调性等特点，同时在一定条件下也可以精确地表示某种二次曲线。第二章不带参数的三次三角Bézier曲线以及曲面在产品零件设计中,许多自由曲面是通过自由曲线来构造的。对于自由曲线的设计，设计人员经常需要大致勾画出曲线的形状，用户希望采用直观的具有明显几何意义的操作，使得设计的曲线能够很好地逼近曲线的形状.Bézier方法是1962年由法国雷诺汽车公司的工程师Bézier提出的，经过多年的研究，最终在1972年建立了一种自由曲线曲面的设计系统—UNISURF系统。对于n次Bézier曲线，一旦控制顶点给定，曲线的形状也随之而定，为了更好地对曲线形状进行修改，许多学者开始了对带形状参数Bézier曲线的研究。下面简单介绍不带参数的Bézier曲线的定义及性质。2.1不带参数的三次三角Bézier曲线基函数的定义及性质要想构造类三次三角Bézier曲线，首先必需构造出类三次三角基函数，下面给出构造类三次三角基函数的一般方法，在这里我给出一组基空间为[1]，不防设所构造的类三次三角Bézier基函数为(2.1)其中,(i,j=1，2，3，4)为待定系数.显然，类三次三角Bézier基函数与三次多项式基函数一样，必须满足下列两个条件：1.非负性：(i=1，2，3，4).2.权性：.由式(2.1).所构造的类三次三角Bézier曲线可表示为=[]=[1](2.2)其中，(i=1，2，3，4)为控制顶点.由式(2.2)有=[0]由于我们希望所构造的类三次三角Bézier曲线具有与三次多项式Bézier曲线类似的端点性质，故有=，=(2.3)=，=(2.4)由基函数的非负性可得不等式(2.5)由基函数的权性可得方程组(2.6)由式(2.3)(2.4)得方程组(2.7)(2.8)由式(2.5)(2.6)(2.7)(2.8)得定义1:类三次三角基函数为类三次三角Bézier基函数与类三次多项式基函数具有完全类似的性质，不同之处在于基空间[1]替代了三次多项式混合函数的基空间[1t]，因此类三次三角Bézier基函数是三次多项式Bézier基函数的一种拓展，类三次三角基函数的图形如图2.1所示：图2.1不带参数Bézier基函数性质1非负性(i=1，2，3，4).性质2权性(i=1，2，3，4).性质3对称性对，(i=1，2，3，4).性质4端点性质对.，，，.=0，=0，=0，=1.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.2.2不带参数的三次三角Bézier型曲线及性质这节内容主要讲不带参数的三次三角Bézier曲线.定义2:不带参数的三次三角Bézier型曲线为其中，为该曲线的控制顶点，为基函数(i=1，2，3，4).由基函数的性质及定义知,该曲线具有以下性质：性质1端点性,曲线具有插值于首末端点并且在首末端点处与控制多边形相切.由基函数的性质得：，，，.，.，.性质2对称性，即保持控制顶点的位置不变,只要把它们的次序完全颠倒.性质3几何不变性和仿射不变性，不带参数的三次三角Bézier型曲线得形状与坐标系的选取无关，即曲线的形状在坐标平移和旋转后不变，对控制多边形进行缩放或错切等仿射变换后，所构造的曲线就是将原曲线经过相同仿射变换后所得到的曲线.性质4凸包性，由基函数的性质知，整条不带参数的三次三角Bézier型曲线位于控制顶点张成的多边形内.性质5变差缩减性，即曲线与直线L交点的个数不大于控制多变形与直线L交点的个数.性质6保凸性，由性质5知，当控制多边形是为凸时，平面上类三次三角Bézier曲线为凸曲线.不带参数的三次三角Bézier型曲线图形如图2.2所示图2.2不带参数Bézier曲线2.3不带参数的三次三角Bézier曲线的拼接这节内容主要讲不带参数的三次三角Bézier曲线的拼接.定义3:第一段不带参数的三次三角Bézier曲线为：其中，为该曲线的控制顶点(i，j=1，2，3，4).定义4:第二段不带参数的三次三角Bézier曲线为：其中，为该曲线的控制顶点(i=1，2，3，4).由曲线的性质我们可以知道，不带参数的三次三角Bézier曲线的拼接条件为：两条曲线有公共连接点，即=.又当控制顶点，()，共线且顺序排列时，即，曲线和曲线在连接点处连续，当时，曲线和曲线在连接点处连续.我们知道连续拼接的条件要求是曲率矢相等，即

经计算有:即:.注:当时，曲线和曲线在连接点处连续.不带参数的三次三角Bézier曲线和拼接图形如图2.3中图(a)图(b)所示:(a)(b)图2.3不带参数的Bézier曲线条件不同时的拼接2.4不带参数的三次三角Bézier的曲面的定义这节内容主要讲不带参数的三次三角Bézier曲面定义5:不带参数的三次三角Bézier曲面为:三次三角Bézier曲面有16个控制顶点(i，j=1，2，3，4)，其相应的张量积Bézier型曲面为其中,称区间上的双三次三角Bézier曲面.不带参数的三次三角Bézier曲面如图2.4所示：

图2.4不带参数的三次三角Bézier曲面2.5不带参数的三次三角Bézier的曲线的应用由2.3节知,本文所构造的曲线可以方便进行曲线拼接.当首末点重合时,可以得到一封闭曲线.如图2.5所示,表示四段三次三角Bézier的曲线拼接形成的心形图形.如图2.6所示,表示四段三次三角Bézier的曲线拼接形成的花瓣图形.如图2.7所示,表示八段三次三角Bézier的曲线拼接形成的花瓶图形.如图2.8所示,表示八段三次三角Bézier的曲线拼接形成的杯子图形.图2.5不带参数的心形图2.6不带参数的花瓣图2.7不带参数的花瓶图2.8不带参数的杯子2.6不带参数的三次三角Bézier的曲面的应用本节所构造的曲线通过旋转.可以得到曲面图形，如图2.9所示，表示选择母线坐标为(-0.23，1)，(-1，2.3)，(-0.23，2.2)，(-0.25，2.5)绕Z轴旋转得到酒坛形图形.如图2.10所示，表示选择母线坐标为(-1，0)，(-1，0.1)，(-2，0.5)，(-2，1.8)绕Z轴旋转得到碗形图形图2.9不带参数的酒坛图形图2.10不带参数的碗图形第三章带参数的三次三角Bézier曲线以及曲面在计算机辅助几何设计中，往往需要满足一定的连续性的前提下，调整曲线的形状或改变曲线的位置，本文研究了与三次多项式Bézier曲线特性相同的一种三次三角Bézier曲线，曲线由4个三次三角基函数构成，并由四个控制点控制曲线，完全具有三次多项式Bézier曲线的特征，能够精确表示圆锥曲线等等。因此，引入带参数的三次三角Bézier曲线，具有更好的灵活性，可使曲线逼近或远离控制顶点,当每段曲率矢相同时，可达到连续。由于连续的空间曲线能保持曲率连续性，因此该曲线可应用于连续性较高的造型系统。3.1带参数的三次三角Bézier曲线基函数的性质这节内容主要介绍带参数的三次三角Bézier曲线基函数.定义6:带参数的三次三角Bézier曲线基函数()为带参数的三次三角Bézier曲线基函数的性质具有如下性质1非负性，(i=1，2，3，4).性质2权性.性质3对称性.性质4端点性,对.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.，，，.带参数的三次三角Bézier曲线基函数图形如图3.1中图(a)、图(b)所示：(a)(b)图3.1形状参数取值不同时Bézier基函数3.2带参数的三次三角Bézier曲线定义及性质这节内容主要介绍带参数的三次三角Bézier曲线.定义7:带参数的三次三角Bézier曲线为其中，为基函数()，为其控制定点(j=1，2，3，4).带参数的三次三角Bézier曲线具有如下性质：性质1端点性质,由基函数的性质得：，.，.，，性质2对称性，即保持控制顶点的位置不变，只要把它们的次序完全颠倒.性质3几何不变性和仿射不变性，带参数的三次三角Bézier型曲线得形状与坐标系的选取无关，即曲线的形状在坐标平移和旋转后不变，用户如需对该曲线进行放射变换，只需对该曲线的控制定点实施相应的反射变换即可.性质4凸包性，由基函数的性质知，整条带参数的三次三角Bézier型曲线位于控制顶点张成的多边形内.性质5变差缩减性，即直线L交控制多边形的点个数不大于曲线交控制多变形的个数.性质6保凸性，由性质5知，当控制多边形是为凸时，平面上三次三角Bézier曲线为凸曲线.性质7形状参数对曲线形状的影响.当越小曲线越靠近控制多边形，而当越大曲线越远离控制多边形.带参数的三次三角Bézier曲线图形如图3.2中图(a)图(b)图(c)图(d)所示：(a)(b)(c)(d)图3.2形状参数取值不同时Bézier曲线3.3带参数的三次三角Bézier曲线拼接这节内容主要介绍带参数的三次三角Bézier曲线的拼接.定义8:第一段带参数的三次三角Bézier曲线为:其中，，为三次三角Bézier曲线的控制顶点(i=1，2，3，4).定义9:第二段带参数的三次三角Bézier曲线为:其中，，为三次三角Bézier曲线的控制顶点(i=1，2，3，4).带参数的三次三角Bézier曲线的拼接条件为：两条曲线有公共连接点，即=.而当控制顶点，()，共线且顺序排列，即时，带参数的三次三角Bézier曲线和曲线在连接点处连续,当时，带参数的三次三角Bézier曲线和曲线在连接点处连续.我们知道连续的拼接条件要求曲率矢相等，即经计算有:.即:.注:当时，带参数的三次三角Bézier曲线和曲线在连接点处连续.带参数的三次三角Bézier曲线和曲线拼接图形如图3.3中图(a)图(b)所示:(a)(b)图3.3形状参数取值不同时Bézier曲线的拼接3.4带参数的三次三角Bézier曲面这节内容主要讲带参数的三次三角Bézier曲面.定义10:带参数的三次三角张量积Bézier型曲面为：三次三角Bézier曲面有16个控制顶点(i，j=1，2，3，4)，其相应的张量积Bézier型曲面为其中，为参数()，称区间上的双三次三角Bézier曲面.带参数的三次三角张量积Bézier型曲面图形如图3.4中图(a)、图(b)、图(c)、图(d)所示：(a)(b)(c)(d)图3.4形状参数取值不同时Bézier曲面3.5带参数的三次三角Bézier曲线的应用由3.3节知，本文所构造的曲线可以方便进行曲线拼接。当首末点重合时，可以得到封闭的曲线。如图3.5中图(a)、图(b)所示，表示四段三次三角Bézier的曲线拼接形成的心形图案.如图3.6中图(c)、图(d)所示，表示四段三次三角Bézier的曲线拼接形成的花瓣图形。如图3.7所示，表示八段三次三角Bézier的曲线拼接形成的花瓶图形。如图3.8所示，表示八段三次三角Bézier的曲线拼接形成的杯子图形。由图3.5和图3.6和图3.7和图3.8可知，形状参数对三次三角Bézier曲线的调整是显著的。（a）（b）图3.5形状参数取值不同时心形（c）（d）图3.6形状参数取值不同时花瓣图3.7带形状参数的花瓶图3.8带形状参数的杯子3.6带参数的三次三角Bézier曲面的应用本节所构造的带参数的曲线通过旋转，可以得到曲面图形。如图3.9中图(a)、图(b)所示，表示母线坐标为(-0.23，1)，(-1，2.3)，(-0.23，2.2)，(-0.25，2.5)绕Z轴旋转得到酒坛形图案。如图3.10中图(c)、图(d)所示，表示母线坐标为(-1，0)，(-1，0.1)，(-2，0.5)，(-2，1.8)绕Z轴旋转得到碗形图案。(a)(b)图3.9形状参数取值不同时酒坛图形(c)(d)图3.10形状参数取值不同时碗图形第四章带参数的三次三角Bézier曲面拼接通过前三章的学习，我们对三次三角Bézier曲线曲面有一定的了解。在第二章的第三节详细的介绍了不带参数的三次三角Bézier曲线带参数，在第三章的第三节详细的介绍了带参数的三次三角Bézier曲线的拼接条件。本文还给出了三次三角Bézier曲线曲面的实例应用。基于前三章的内容，在这一章主要讲带参数的三次三角Bézier曲面拼接实例。4.1带参数的三次三角Bézier曲面拼接实例本文所构造的带参数的曲线是通过旋转，可以得到曲面图形。本节是利用带参数的三次三角Bézier曲线的拼接的条件做出的不同图案。第一个图形是由三段Bézier曲线拼接后并通过旋转而得到的，如图4.1中图(a)、图(b)所示，表示三段母线的坐标分别为(-0.1，1)，(-0.08，2)，(-0.06，5)，(-0.005，6)和(-0.005，6)，(-0.005，15)，(-0.005，24)，(-0.005，52)和(-0.005，52)，(-0.01，65)，(-0.08，70)，(-0.007，96)绕Z轴旋转得到杯子形图案。(a)(b)图4.1形状参数取值不同时杯子第二个图形是由四段带参数的三次三角Bézier曲线拼接后并通过旋转而得到的，如图4.2中图(c)、图(d)所示，表示四段母线的坐标分别为(-0.1，50)，(-0.03，46)，(-0.03，33)，(-0.1，32)和(-0.1，32)，(-0.2，31)，(-0.12，9)，(-0.05，4)和(-0.05，4)，(-0.1，2)，(-0.12，1)，(-0.1，0)和(-0.01，0)，(0，0)，(0，0)，(0，0)绕Z轴旋转得到花瓶形图案。我们知道带参数的三次三角Bézier曲线在不改变控制顶点的情况下，可以通过改变形状参数来灵活的调控曲线的形状。本章的实例表明，曲面是由曲线旋转得到图形。当我们拼接出不同的曲线时，我们就可以得到不同的曲面图形。体现了三次三角曲线的在实际应用中的重要性。(c)(d)图4.2形状参数取值不同时花瓶第五章总结以上可知，带形状参数的三次三角Bézier曲线曲面在保留了原曲线曲面的性质的同时，其形状可以通过形状参数进行调节，因此具有更好的形状可调性和更灵活的逼近方式。该类曲线曲面可以在不改变控制定点的情况下，生成各种对称的图形，具有形状调整简单、灵活，微调能力强的优点。这里的形状参数具有明显的几何意义，可以方便的调整形状参数来设计满意的形状。实例表明，该类曲线曲面及其扩展曲线曲面在对称图形的造型中具有独特的效果。因此它具有广泛的实用价值。参考文献[1]施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京；高等教育出版社，2001.[2]ZhangJiwen.C-curves：anextensionofcubiccurves[J].ComputerAidedGeometricDesign，1996，13（3）：199-