第一篇三高考新动向带电粒子在立体空间的运动讲义

高考新动向2带电粒子在立体空间的运动

带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换

视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运

动对应的规律进行求解.

常见粒子在立体空间的运动轨迹特点，粒子的运动为一个轴方向的直线运动和垂直轴的

平面中的曲线运动，或粒子从一个平面的曲线运动变换到另一个平面的曲线运动.

例1(2022•山东济宁市一模)如图所示，真空中的立方体棱长为0.8m,底面中心处有一点状

放射源5,仅在。儿0所在平面内向各个方向均匀发射a粒子，所有a粒子的速率均为。=

5.0X106m/s,已知a粒子的比荷为*=5.0X107C/kg,现给立方体内施加竖直向上的匀强磁

场，使所有a粒子恰好能束缚在正方形的cO区域内.。帆面放有一个屏，该屏可以沿z轴

左右平移.

(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；

(2)在正方体内再施加竖直向上的匀强电场，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，求

所加匀强电场的电场强度E的大小(结果用7t表示)：

(3)若匀强电场的电场强度的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe屏向左沿一z方向移动

0.2m,求粒子打在abfe屏上x坐标最大值和最小值时对应点的y轴坐标.

答案(l)0.5T

5X106

(2)-^5-V/m(n=1,2,3--)

(3)0.2m0.05m

解析(1)所有a粒子恰好束缚在正方形abcO区域内，由几何关系得

/-=0.2m

a粒子在磁场中做匀速圆周运动，有

„V2

解得8=0.5T

(2)a粒子做圆周运动的周期为

2兀，〃

T==87tX10s

要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向上

由运动学规律得

L=翳叫2

5X106

解得E=K>V/m(〃=l,2,3,…)

（3）粒子运动的俯视图如图所示,

由图可知，当SPi为直径时，射出粒子的x轴坐标为最大值，此时粒子运动的时间为

1.8

6='7=4兀X108s

此时对应的），轴坐标

IqEm

yi=<—1\

J2m

解得yi=0.2m

由图可知，当与出非面相切时，射出粒子的x轴坐标为最小值，此时粒子运动的时间为

力=；7=2兀*IO-8s

此时对应的y轴坐标为丫2=：.噜%之

解得丫2=0.05m.

例2（2022.山东卷J7）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场

约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oiyz中，0<zWd空

间内充满匀强磁场I,磁感应强度大小为8,方向沿x轴正方向；-3dWz<0,y20的空间内

充满匀强磁场II,磁感应强度大小为坐2,方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45。：

z<0,y^O的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场.质量为，小带电量为+q的离子甲，从

），Oz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为£,

在），Oz平面内运动一段时间后，经坐标原点。沿z轴正方向进入磁场I.不计离子重力.

⑴当离子甲从4点出射速度为。。时，求电场强度的大小E；

(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度Om；

(3)离子甲以空的速度从。点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场I,求第四次穿过xOy

平面的位置坐标(用d表示)；

(4)当离子甲以舞的速度从。点进入磁场I时，质量为4%、带电量为+q的离子乙，也从。

点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场I,求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第

一个交点的时间差。(忽略离子间相互作用).

答案⑴吟皿⑵警⑶⑷40)(4)(2+21喘

解析(1)如图所示，

将离子甲在A点的出射速度处分解到沿y轴方向和z轴方向，离子受到的静电力沿)，轴负方

向，可知离子沿z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从A到。的过程，

有

=延

研）sin£=。，，

L=vocos01,am

联立解得£=幽蟹竺

(2)如图所示，

离子从坐标原点。沿z轴正方向进入磁场1中，由洛伦兹力提供向心力可得剪出二也

离子经过磁场I偏转后从y轴进入磁场n中，由洛伦兹力提供向心力可得4小申4=处匚，可

乙A*H

得八|=啦八|

为了使离子在磁场中运动，

需满足riWd,

则可得uW曙

故要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为^

（3）离子甲以o=警的速度从。点沿z轴正方向第一次穿过xO），面进入磁场I,离子在磁场

d

U-

I中的轨迹半径为82

离子在磁场n中的轨迹半径为廿粤

离子从0点第一次穿过到第四次穿过X0V平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过xOy平面的x坐标为

X4=2r2sin45°=d

离子第四次穿过X。），平面的），坐标为

y^-2r\=d

故离子第四次穿过xO），平面的位置坐标为（乩＜/,0）:

（4）设离子乙的速度为。'，根据离子甲、乙动能相同，可得%/=；X4w'2

,vqBd

可付。=2=需

离子乙在磁场I中的轨迹半径为

4fnvf

n-=d=2门

qB

离子乙在磁场H中的轨迹半径为

'r-

ri24=2-2

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示,

从。点进入磁场到轨迹第一个交点的过程，有

―T1+T2-/

=(2+2小党

1、，2兀4/n.127i-4m

一2义qB+2义z也

*B

=(4+46党

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Z=tc—t,=（2+2吸）浅.

专题强化练

1.（2022•山东青岛市三模）如图，在空间建立Oxyz三维直角坐标系，其中x轴水平向右，y

轴竖直向上，z轴垂直纸面向外，在工=“处平行于），Oz平面固定一足够大荧光屏M,在），Oz

平面左侧空间有方向竖直向下、电场强度为Ei的匀强电场；x轴上的A点（一2小名0,0）有一

粒子源，粒子源在xOy平面内沿与x轴成一定角度射出带电粒子，粒子的速度大小为血，质

量为机，带电荷量为+g.经过一段时间，粒子从y轴上C点（0,34,0）垂直y轴进入），0z平面与

荧光屏之间的空间，该空间内有方向沿z轴正方向、磁感应强度大小为B=髭的匀强磁场（图

中未画出），不计粒子重力.

⑴求yOz平面左侧匀强电场的电场强度大小Ei；

（2）求粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间n

（3）若在），0z平面与荧光屏之间的空间再加上一沿z轴正方向、电场强度大小为期的匀强电场,

求粒子最终打在荧光屏上的P点时的位置坐标.

答案陪⑵考"⑶3。+①，筋）

解析（1）将粒子的速度次）分解为沿x轴方向的分速度如入•和沿y轴方向的分速度内），,根据题

意可得，在沿x轴方向上有

Wi=2y/3a

沿y轴方向上有50、力=3a

则/=5=tan。

即8=60。

可得voy=^v（）

又由qE\=ma\得a\=^~

又有00y2=2〃].3〃

联立可得昂=需

⑵粒子沿尤轴方向的分速度为

1

%=呼0

在沿x轴方向有2小a=v°xh

解得八=乎

粒子带正电，由左手定则可知，粒子沿），轴负方向偏转，设偏转角为a

2

由qvoxB="V；'可得r=2a

由几何关系可得sina=%=3，则a=30°

粒子在磁场中运动时间力3=0蒜°7

1」〜2兀r2nm

又由T=京=项

解仔介一6M一3%

粒子从A点射出到打到荧光屏上所经历的时间f=fi+f2=乎+誓=.（女6小）

VoJ0O5Vo

⑶在），轴方向上由几何关系可得），轴坐标为

y=3a—（2a—y[3a）=（1+小）〃

在沿Z轴正方向上的位移大小

\qEo2qEoTVcr

z=2mt2=9，/S）2

故粒子打到屏上的位置坐标是（a,（1+小）”，2哈％.

2.如图所示，一些质量为〃?、电荷量为+q的带电粒子从一线状粒子源射出（初速度可视为

0）经过电压为U的电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直射出（S为中点），

进入棱长为L的正方体电磁修正区内（内部有垂直面MPRG的方向如图、大小未知的匀强磁

场与匀强电场）.距离正方体底部小乙处有一与RN4G平行的足够大平板.现以正方体底面

中心O在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系（其中x轴与GR平行）.所有

带电粒子都从正方体底面离开，且从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为舞.

不计粒子重力.

（1）求粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时速度的大小；

（2）粒子射出正方体电磁修正区后到达平板所需时间；

（3）若满足关系式笺，求从M点入射的粒子最后打到平板上的位置坐标.（结果用L

表示）

答案/⑵2点⑶（一中3瞥0

解析（1）设粒子进入棱长为L的正方体电磁修正区时的速度的大小为v,

根据动能定理有qU=^nv2

解得v=\l^

（2）在正方体中，粒子在平行于MPRG平面方向的分运动为匀速圆周运动，在垂直于MPRG

平面方向的分运动为勺加速直线运动，设粒子圆周分运动的周期为T,根据牛顿第二定律有

V2

qvB=nr^

『2nR

又T=---

v

解得?=鬻=等

从M点进入正方体的粒子在正方体中运动的时间为

2nmT

所以粒子圆周分运动转过的圆心角为120°,根据几何关系可知粒子离开正方体时的速度在垂

直于平板方向的分量大小为

02=OCOS30°

离开正方体后粒子做匀速直线运动，到达平板所需时间为f2=坐

联立解得々=2、