2023年湖北省随州市中考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年湖北省随州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−2023的绝对值是(

)A.2023 B.−2023 C.12023 2.如图，直线l1//l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠A.30°

B.60°

C.120°

3.如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是(

)A.主视图和俯视图

B.左视图和俯视图

C.主视图和左视图

D.三个视图均相同

4.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4(单位：天)，则这组数据的众数和中位数分别为(

)A.5和5 B.5和4 C.5和6 D.6和55.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为(

)A.9x−12x+1=126.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9A.①② B.①③ C.②④7.如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BCA.AE=CF

B.DE=8.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6ΩA.3A

B.4A

C.6A9.设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为A.6 B.7 C.8 D.910.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2.则下列结论正确的有(

)

①abc<0；

②a−b+cA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：(−2)2+12.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB

13.已知关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x114.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=615.某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1−100的100盏灯，分别对应着编号为1−100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”.现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线C

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

先化简，再求值：4x2−4÷18.(本小题8.0分)

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．

19.(本小题11.0分)

中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；

(2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为______人；

(3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取220.(本小题7.0分)

某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)

(121.(本小题9.0分)

如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．

(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)若AE22.(本小题10.0分)

为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式p=mx+n,1≤x<20,且x为整数30,20≤x≤30,且x为整数销量q(千克)与x的函数关系式为q=x+10，已知第5天售价为50元/千克，第23.(本小题9.0分)

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)

当△ABC的三个内角均小于120°时，

如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，

由PC=P′C，∠PCP′=60°，可知△PCP′为______三角形，故PP′=PC，又P′A′=PA，故PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′≥A′B，

由______可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，

且有∠APC=∠BPC=∠APB=______；

已知当△A24.(本小题12.0分)

如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．

(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；

(2)如图答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，

∴|−2023|=2023．

故选：A2.【答案】C

【解析】解：∵直线l1//l2，∠1=60°，

∴∠3.【答案】C

【解析】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形；俯视图是一个圆．

故选：C．

根据三视图的定义判断即可．

此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

4.【答案】A

【解析】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，

所以这组数据的众数为5，中位数为5+55=5．

故选：A．

根据众数和中位数的概念求解．

本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大5.【答案】A

【解析】解：∵乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，

∴乙工程队每个月修(x+1)千米．

根据题意得：9x−12x+1=12．

故选：A．6.【答案】D

【解析】解：由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城，

故①符合题意，③不符合题意；

甲车的平均速度是300÷3=100(千米/小时)，

乙车的平均速度是300÷5=60(千米/小时)，

故②不符合题意；

设甲车出发后x小时，追上乙车，

100x=60(x+1)，

解得x=1.5，

∴甲车出发1.5小时追上乙车，

∵甲车8：00出发，

∴甲车在9：30追上乙车，

故④符合题意，

综上所述，正确的有①④，7.【答案】D

【解析】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，

∴BO=DO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠EDO=∠FBO，

∵∠BOF=∠DOE，

∴△BOF≌△DOE(ASA8.【答案】B

【解析】解：设I=UR，

∵图象过(8,3)，

∴U=24，

∴I=24R，

当电阻为6Ω时，电流为：9.【答案】C

【解析】解：∵(3a+b)(2a+2b)

=6a2+6ab+2ab+2b2

10.【答案】B

【解析】解：∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵抛物线交y轴于正半轴，

∴c>0，

∵−b2a>0，

∴b>0，

∴abc<0，故①正确；

∵抛物线对称轴为直线x=2，x=5时，y>0，

∴x=−1时，y>0，

∴a−b+c>0，故②正确；

由cx2+bx+a=0可得方程的解x1+x2=−bc，x1x2=ac，

∵的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(6,0)，对称轴为直线x=2，11.【答案】0

【解析】解：(−2)2+(−2)×2

=4+12.【答案】30°【解析】解：如图，连接OC，

∵OA⊥BC，

∴AC=AB，

∴∠AOC=∠AOB13.【答案】2

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2，

∴x1+x2=−−31=3，x1x2=114.【答案】5

【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠C=90°，

∴CD⊥BC，

∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，

∴CD=DE，

在Rt△BCD和Rt△BED中，

CD=DEBD=BD，

∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，

∴BC15.【答案】10

【解析】解：∵1号开关被按了1次，2号开关被按了2次，3号开关被按了2次，4号开关被按了3次，5号开关被按了2次，6号开关被按了4次，7号开关被按了2次，8号开关被按了4次，9号开关被按了3次，…，

∴n号开关被按的次数等于n的约数的个数，

∴约数个数是奇数，则n一定是平方数．

∵100=102，

∴100以内共有10个平方数，

∴最终状态为“亮”的灯共有10盏．

故答案为：10．

分析各号开关被按的次数，可得出n号开关被按的次数等于n的约数的个数，进而可得出约数个数是奇数，则n一定是平方数．结合100=102，可得出100以内共有1016.【答案】10

2【解析】解：△CDP的面积为12×5×4=10；

当点P和M重合时，DP的值最大，如图；

设AP=x，则PB=5−x，DN=4，

∴CN=3，

在Rt△PBC中，根据勾股定理有：(17.【答案】解：4x2−4÷2x−2

=4(【解析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵DE//AC，CE//BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，

∴【解析】(1)证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得：OC=OD，利用菱形的判定即可证得结论；

(219.【答案】80

16

90°

40【解析】解：(1)∵基本了解的有40人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有40÷50%=80(人)，

条形统计图中m的值为：80−20−40−4=16，

扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：2080×360°=90°，

故答案为：80，16，90°；

(2)可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×480=40人)，

故答案为：40；

(3)画树状图如下：

20.【答案】解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵cosα=CECD=CE10=32，

解得CE=53，

∴DE=CD2−CE2=5(m)．

∴点D到地面BC的距离为5m．

(2)过点D作DF⊥A【解析】(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定义得到CE=53，根据勾股定理得到DE=CD2−CE21.【答案】(1)证明：连接OC，

∵AD⊥DF，

∴∠D=90°，

∵点C是BE的中点，

∴CE=CB，

∴∠DAC=∠CAB，

∴OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD//OC，

∴∠OCF=∠D=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴DC是⊙O的切线；

(2)解：①过点O【解析】(1)连接OC，根据垂直定义可得∠D=90°，根据已知易得CE=CB，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠OCA，从而可得∠DAC=∠OCA，进而可得AD//22.【答案】−2

60【解析】解：(1)把(5,50)，(10,40)代入p=mx+n得：

5m+n=5010m+n=40，

解得m=−2n=60，

∴p=−2x+60(1≤x<20)，

故答案为：−2，60；

(2)当1≤x<20时，W=pq=(−2x+60)(x+10)=−2x2+40x+23.【答案】等边

两点之间线段最短

120°

A

2【解析】解：(1)∵PC=P′C，∠PCP′=60°，

∴△PCP′为等边三角形，

∴PP′=PC，∠P′PC=∠PP′C=60°，

又∵P′A′=PA，

∴PA+PB+PC=PA′+PB+PP′≥A′B，

根据两点之间线段最短可知，当B、P、P′、A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A′B，

此时的P点为该三角形的“费马点”，

∴∠BPC+∠P′PC=180°，∠A′P′C+∠PP′C=180°，

∴∠BPC=120°，∠A′P′C=120°，

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，

∴△APC≌△A′P′C，

∴∠APC=∠AP′C′=120°，

∴∠APB=360°−120°−120°=120°，

∴∠AP