初中中考总复习数学《分式与二次根式》（基础、提高）巩固练习、知识讲解

中考总复习：分式与二次根式一巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1.下列各式与土相等的是（）

y

x2y+2

AA.——B.--C.?D.3

yx+2旷2x

化简：（a+巫二！）

2.(2015•泰安)（1-^^）的结果等于（)

a-3a-2

A.a-2B.a+2C.•a-20a-3

a-3a-2

3.若分式J■的值是0,则*为(

x+1

A.0B.1C.-1D.±1

4.下列计算正确的是()

A.5/8—^2=B其小］

3

6-V2^

C.(2+75)(2-75)=1D=3

72

5.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用

甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10

个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据

题意下列方程正确的是（）

A1000010000c1000010000

A.—in1J.一1inu

Xx+50x—50X

1000010000cr1000010000

c-inn-一1iUn

Xx-50x+50X

6.函数y=，2-x+----中自变量X的取值范围是()

x—3

A.xW2B.产3C.x<2且#3D.xW2且xW3

二、填空题

7.（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否

则请在括号内打“J.

①②2x（§）x~1④1_x@a2+b2

22

2xx+lx-1x-1a+b

8.化简—12+2的结果是.

m~-9m+3

9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往

返学校的平均速度是千米/时.

io.在g,冬瓜16+匕机中,是最简二次根式的有个.

11.若最简二次根式xJT值与不是同类二次根式，则x的值为.

12.(1)把"二化简的结果是

V27

(2)估计应xg+S的运算结果应在.

之间.(填整数)

三、解答题

13.（2015•南京）计算：~—）

a2~b2a2-aba+b

,\/5+1,、/+/+a+1

14.(1)已知：a=------,求--------------的值.

2a6

(2)已知：,25-x2-，15-f=2,求，25-f+"15-炉的值.

15.在''情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.

信息1：甲班共捐款300元，乙班共挡捐款232元.

4

信息2:乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的一.

5

信息3:甲班比乙班多2人.

请根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元.

16.已知y=\jx2-4+V4-x2+、+、+8,求^亦+丫6_2的值.

2+x

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

【解析】化简?=±.

2.【答案】B；

【解析】且-3）+3&_4/_2_1=」2」二2_,口5故选B.

a~3a-2a~3a~2

3.【答案】B；

r2-1=0

【解析】分式的值为0,则1-'解得x=l.

x+1。0,

4.【答案】A；

【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算.A选项中，瓜-6=2血-叵=5

B选若可化为述3§-=且，C选项逆用平方差公式可求得（2+3（2-V5）=4-5=-1,

33

而D选项应将分子、分母都乘正，得6®―2=3夜一1.故选卜.

2

5.【答案】B；

【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋，

1000010000

-------------=10.

x-50x

故选B.

6.【答案】A；

【解析】2-x>0,；.xW2,3不在启2的范围内.

二、填空题

7.【答案】X,V,X,X,J；

【解析】①_£=2；

2xx

②一算是最简分式；

x2+l

③X-1二_______£21_____」；

2

x-1（X-1）（x+1）x+1

公1一x1

X-1

22

⑤三士是最简分式；

a+b

只有②©是最简分式.故答案为：X,V,X,X,V.

2

8.【答案】——

m-3.

【解析】找到最简公分母为（研3）（疗3）,再通分.]

9.【答案】4.8；

【解析】平均速度=总路程+总时间，设从学校到家的路程为s,则上2s_=上242s_=竺24$=t24=4.8.

ss35+2s5s5

--1--

46

10.【答案】3；

八______

【解析】加4万是最简二次根式.

2

11.【答案】T;

【解析】根据题意得户3=3x+5,解得产T.

12.【答案】（1）—；（2）3和4；

3

【解析】⑴卑[叵至亘等色底

V27V27V273

（2）&xJ+G=2+百，因为〈1百＜2,，3＜2+百＜4.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：(。—)+3

a2-b2a2_aba+b

:[______2_____-____1____]x9

(a+b)(a-b)a(a-b)a

.[2a_a+bj义a+b

a(a+b)(a-b)a(a+b)(a-b)a

:2a-(a+b)乂a+b

a(a+b)(a-b)a

.1

14.【答案与解析】

Ua+l金

(1)Va2a-a+1

HI+/+Q-a，+d~+1)/+Q，(6f+1)

原式二------A-----------二--------工------二—A—=----------A—=

(2)•••(725-x2-A/15-X2)・(A/25-X2+(15-炉)=10

也54+J15—J=W=5.

2

15.【答案与解析】

4

设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款一X元.

5

根据题意，得3弁00=［23吆2+2,解这个方程得x=5.

x4

-X

5

经检验，x=5是原方程解.

答：甲班平均每人捐款5元.

16.【答案与解析】

—4三0,

由二次根式的定义及分式性质，得<4-X2^0,:.X=2,

2+xWO,

.•.y=8=+E+/*

2+22

/.Xyfy+y\[x-2\/lA=2^-+^->/2-2^14

=V14+-V2-2Vi4=->/2-Vi4.

22

中考总复习：分式与二次根式一巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015春•合水县期末）二次根式谒、V12'a、Vx+2>dqoF、Jx2+y2中，最简二次根式有

()个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

分式史上自有意义的条件是（

2.)

（%—2）（%—1）

A.xW2B.xWlC.xWl或xW2D.xWl且xW2

x+2

3.使分式手上等于0的X的值是（）

x2-4

A.2B.-2C.±2D.不存在

2012

4.计算（3+1）（>/2一I）?”?的结果是()

A.1B.-1C.正+1D.V2-1

5.小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4

倍，骑自行车比步行上学早到30分钟.设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方

程正确的是()

“28002800n2800幽=30

A.-----二30D.-------

X4x4xX

2800理。「2800刎

=3D.-----=30

X5x5xx

3

6.化简甲，乙两同学的解法如下:

5+及

3（氏方）

甲：=后一近

-jM+-商一(/+")(4-K)

乙:1^=((而+/)(£-&)=跖&

对他们的解法，正确的判断是（）

A.甲、乙的解法都正确B.甲的解法正确，乙的解法不正确

C.乙的解法正确，甲的解法不正确D.甲、乙的解法都不正确

二、填空题

7.若a?-6a+9与|b-1|互为相反数，则式子"4-（a+b）的值为

ba

8.若,贝！|加5一2加4一2011利3的值是

V2012-1

=—6ab（a>0,h^O）.其中正

3。

确的是（填序号）.

1x1-3

10.当尸__________时，分式之」的值为0.

x+3

11.（1）若Jx-l-Jl-x=（x+»,则x-y的值为.

（2）若x+y=5,盯=3,则Jj+J?的值为.

12.（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：

①，=______VL2________m-1

&+1（V2+1）（V2-1）

，_I_=______7372____=73-近

V3+V2（V3+V2）（V3-V2）

®1=wa・=y-V3

V4+V3（V4+V3）（V4~V3）

回答下列问题：

（1）化简：1=____________________；（n为正整数）

Vn+1+7n

（2）利用上面所揭示的规律计算：

1+1+1+•••+_____1______+_____1_____=

1+V2V2+V3V3+V4V2008+V200942009+V2010'

三、解答题

1x2

13.（1）已知x+—=3，求1-------的值.

XX—X"+1

O41

（2）已知/一51+1=0和％。0,求/+—^的值.

14.（2015春•东莞期末）设2=后｝,b=2,c=&.

（1）当a有意义时，求x的取值范围.

（2）若a、b、c为RSABC三边长，求x的值.

15.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完

成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.

（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？

16.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如之—一样的

3-^3+1

式子，其实我们可以将其进一步化简.

55x73

—V3；(一)

Gxg3

2

；（-）

2x(V3-l)2(73-1)

V3+r(V3+l)(^-l)-(V3)2-l2

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

还可以用以下方法化简:

V3+1

3-1(V3)2-!2(6+1)(51)

V3-1.(四)；

--

V3+1x/3+l73+1百+1

（1）请用不同的方法化简

①参照（三）式得

V5+V3

②参照（四）式得

V5+V3

(2)化简-1=—+——广+~/=——7=+…+/——,

V3+1<5+73V7+V5J2〃+1+,2〃一1

【答案与解析】

一、选择题

I.【答案】C；

【解析】二次根式噌、阮、屈、4历、《钠*2、Yx2+y2中，

最简二次根式有倔、丁前、1*2+了2共3个.故选：C.

2.【答案】D；

【解析】分式有意义，则X—2。0且X—1/0.

3.【答案】D；

【解析】令x+2=0得x=—2,而当x=—2时，f_4=0,所以该分式不存在值为0的情形.

4.【答案】D；

【解析】本题可逆用公式（ab）三苫〉■及平方差公式，将原式化为

故选D.

5.【答案】A；

［解析】设小玲步行的平均速度为X米/分,则骑自行车的速度为4x米/分,依题意,得竺？-=30.

x4%

故选A.

6.【答案】A；

【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为（、污+0）（石-血）了.

二、填空题

2

7.【答案】-；

3

【解析】由已知得。2-6“+9=（。-3）2=0且归一1|=0,解得a=3,b=\,再代入求值.

8.【答案】0；

【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m=V2012+1,以及

加5-2/n4-2011m3=w3［（/n-l）2-2012］是解决问题的关键.

2011

Vm==V2012+l,

V2012-1

m5-2m4-2011/«3=m\m2-2m-2011)=m3[(m-I)2-2012]=0,

故答案为：0.

9.【答案】③④;

【解析】提示：①bX）；②无意义.

10.【答案】3；

【解析】由国一3=（）得工=±3.当x=3时，x+3=6w0,当x=—3时，，x+3=—3+3=0,

所以当x=3时，分式的值为0.

11.【答案】（1）2；（2）-V3；

3

【解析】（1）由Jx-l-Jl-x,知产1,，（广力二。，.•.产t,『片2.

(2)•,y=5,xy=3,.\xX),,y>0,/.=A/^.+A/^.-

yxxy3

12.【答案】Jn+11

1_Vn+l-Vn

【解析】（1）•=Vn+l_Vn;

Vn+1-Vn(Vn+1-Vn)Wn+1+4)

故答案为：Vn+1-Vn：V2010—1.

----•，，-T,/-T••••,,—T/，一

1+V2V2+V3V3+V4V2008+V2009V2009+V2010

=V2-1+V3-V2+V4-V3+...+V2009-V2008+V2010-V2009

=V2010-l.

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)因为无。0,所以用X?除所求分式的分子、分母.

“1111

原式=-------T---------:---------------=f=—•

?-l+4(X+-)2-2-13--36

XX

01

(2)由12一5犬+1=0和尤。0，提x+—=5,

x

所以d+—7=x2,+~~T\—2

x\x)

=(52-2)2-2

二527

14.【答案与解析】

解：⑴Ta有意义，

.・・8-x20,

・・・xW8；

(2)方法一：分三种情况：

①当a2+b2=c\即8-x+4=6,得x=6,

②当a2+c2=b2,即8-x+6=4,得x=10,

③当b2+c2=a2,即4+6=8-x,得x=-2,

又

/.x=6或-2；

方法二：・・,直角三角形中斜边为最长的边，c>b

・••存在两种情况，

①当a2+b2=c2,即8-x+4=6,得x=6,

②当b2+c2=a2,即4+6=8-x,得x=-2,

/.x=6或-2.

15.【答案与解析】

(1)设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程l.5x天,

根据题意，得」+」-=-!-,解之得，x=20,

x1.5x12

经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,

答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.

(2)设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费(y-1500)元，

根据题意,得12(y+y-1500)=102000,解之得,y=5000.

甲公司单独完成此工程所需施工费：20X5000=100000(元)，

乙公司单独完成此工程所需施工费：30X(5000-1500)=105000(元),

故甲公司的施工费较少.

16.【答案与解析】

2(75-V3)

(1)①V5-V3.

V5+V3-(>/5+73)(75-73)

25-3(V5)2-(V3)2(V5+V3)(V5-V3)

=^5—\/3.

G+g-6+百一石+Gyfs+"^3

(2)—j=------1产7=+…-I—]------=—(^3—1+5/5--73+yfl—

V3+1V5+V3V7+V5J2〃+1+J2〃—12

75++V2n+1-V2n-1)=-(V2n+1-1).

2

中考总复习：分式与二次根式一知识讲解（基础）

责编：常春芳

【考纲要求】

1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运

算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二

次根式的运算.

【知识网络】

加诚法：最简二次根式，合并同类二次根式

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1.分式

设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子4就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则

B

分式没有意义.

2.分式的基本性质

A_AKMA_A-M(M为不等于零的整式).

B~

3.最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还

含有括号的作用；

A

(2)分式三中，力和8均为整式，4可含字母，也可不含字母，但8中必须含有字母且不为0；

B

(3)判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.

A

(4)分式有无意义的条件：在分式三中，

B

①当后0时，分式有意义；当分式有意义时，晓0.

②当庐0时，分式无意义；当分式无意义时，8=3

③当后0且1=0时，分式的值为零.

考点二、分式的运算

1.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：

bcb±c

(1)加减运算-+-=----

aaa

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

a,cadibc

—±—=------；

bdbd

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

(2)乘法运算ac=工etc；

oabd

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

(3)除法运算£

bdbcbe

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

(4)乘方运算(()・=六(分式乘方)

分式的乘方，把分子分母分别乘方.

2.零指数a°=】(awO).

3.负整数指数a"=#O.p为正整数)

ar

4.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

5.约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

6.通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.

要点诠释：

约分需明确的问题：

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等：

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公

因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次基的积.

通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次

塞的积.

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.

(3)确定最简公分母的方法：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幕的积.

考点三、分式方程及其应用

1.分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.

3.分式方程的增根问题

验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到

最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.

4.分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等

量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而

正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的

合理性.

要点诠释：

解分式方程注意事项：

(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0.

如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.

列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审一一仔细审题，找出等量关系；

(2)设一一合理设未知数；

(3)列一一根据等量关系列出方程；

(4)解一一解出方程；

(5)验一一检验增根；

(6)答一一答题.

考点四、二次根式的主要性质

1.4a>0(a>0)；

2.(G)=a{a>0)；

a(a>0)

3.=|a|="

—a(a<0)

4.积的算术平方根的性质：弧=品.瓜aNO,/?>())；

5.商的算术平方根的性质:一=F(aNO,b>0).

b\/b

6.若a>。20,则\[a>\[b.

要点诠释：

(«■尸与的异同点:

(1)不同点：(J/尸与值表示的意义是不同的，(石尸表示一个正数a的算术平方根的平方，而

<7表示一个实数a的平方的算术平方根；在(、而产中a20,而后■中a可以是正实数，0,负实

数.但(新2与值都是非负数，即(笈>之。，用之0.因而它的运算的结果是有差别的，

(指尸=0320),而

⑵相同点：当被开方数都是非负数，即a20时，(JZ尸=0；a<0时，(7日/无意义,

考点五、二次根式的运算

1.二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

2.二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；

3.二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括

号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法

则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

要点诠释：

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径,

往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难

点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达

到化简的目的，但最后结果一定要化简.

例如「叵+&]x逐，没有必要先对、区进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行

乘法运算,x>/6=

(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.

如：便+血)(百—0)=(百『一(血『=1,利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.

【典型例题】

类型一、分式的意义

◎1.使代数式二^有意义的X的取值范围是(

A.x>0B.xw—C.xNO且xw—D.一切实数

22

【答案】C；

x>0]

【解析】解不等式组4得XNO且尤力一，故选C.

21A02

【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非

负数，即需要中的xNO；分母中的2x-lW0.

举一反三：

【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347

关联的位置名称（播放点名称）：例1]

【变式】当x取何值时，分式某心一有意义?值为零？

X2-X-12

【答案】

当》2一X一12。0时，分式J,一9有意义,即xw-3且rw4时，分式J,一9有意义.

X2-X-12X2-X-12

当f-9=0且d-x—lZ#。时，分式-9值为零,

X2-X-12

丫2_。

解得4±3,且xo-3,xw4,即x=3时，分式，值为零.

X2-X-12

类型二、分式的性质

2.已知x+'=4,求下列各式的值.

X

（1）%2+A-；X2

⑵

X4+X2+1

【答案与解析】

（1）因为%+工=4,所以

X\X

即/+2+二=16.所以/+二=14.

xx

X4x21,1,,.,,,

⑵-r+-+-7=X+-7+1=14+1=15,

XXXX

X21

所以

x4+x2+l15

【点评】观察（1）和已知条件可知，将已知等式两边分别平方再整理，即可求出（1）的值;对于（2）,直接求

值很困难，根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出（2）的值.

举一反三:

【变式】已知‘+1=」一,求幺+且的值.

aba+bab

【答案】由‘+'=—得"2=’,

ab8aba+b

所以(a+b)2=ab,即合+尸=一".

「acr+b2-ab.

所以一+-=-------=—=一1.

ababab

类型三、分式的运算

C3.(2015•眉山)计算：x2-14-^—^-

X2-2X+1X-1

【答案与解析】

解.x2-l.x?+x_(x+l)(x-1).x-1=I

22

X-2X+1•X-1(x-1)x(x+l)x

【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在

通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.

运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.

举一反三：

【高清课程名称：分式与二次根式高清TD号：399347

关联的位置名称(播放点名称)：例2】

【变式】(2015•宁德)化简：~9..

x+3x2-4X+4

［答案］解：原式=：•一底+3)(二？.

2

x+3(x-2)

_x-3

-x-2'

类型四、分式方程及应用

Ct如果方程一1一+3=上土有增根，那么增根是_______.

X—22—x

【答案与解析】

因为增根是使分式的分母为零的根，由分母x—2=0或2—x=O可得x=2.所以增根是x=2.

答案：x=2

【点评】使分母为0的根是增根.

C5.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道

地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程.现在

甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多

用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000

元.

(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用.

【答案与解析】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.

根据题意得：也30+—30―=1.

xx+，5

方程两边同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),

即x"-35x-750=0.

解之,得Xi=50,x2=-15.

经检验，Xi=50,xz=-15都是原方程的解.

但刈=-15不符合题意，应舍去.

/.当x=50时，x+25=75.

答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天.

(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.

方案一：由甲工程队单独完成.(

所需费用为：2500X50=125000(元).

方案二：由甲乙两队合作完成.

所需费用为:(2500+2000)X30=135000(元).

【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是

解决问题的关键.工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率X工作时间.

(1)如果设甲工程队单独完成该工程需x天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独

完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.再根据“甲、乙两队合作完

成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天

完成该工程的工作量=1.

(2)首先根据(1)中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合

要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成.针对

每一种情况，分别计算出所需的工程费用.

举一反三：

【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售.经

市场调查，批发每天售出6吨.

(1)受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在平均每天批发量不变的情况下，

实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售

平均每天售出多少吨？

(2)在(1)的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实

际获得的总利润.

【答案】

(1)设原计划零售平均每天售出x吨.

旬旧丽心，.200200「

根据题意，得----------------=5,

6+x6+(x+2)

解得xi=2,x2=-16.

经检验，x=2是原方程的根，x=-16不符合题意，舍去.

答：原计划零售平均每天售出2吨.

（2）2。。=20（天）.

6+2+2'7

实际获得的总利润是：2000X6X20+2200X4X20=416000（元）.

类型五、二次根式的定义及性质

^^6.当x取何值时，J9X+1+3的值最小？最小值是多少?

【答案与解析】

•.*[9x+120,

・・・的尤+1+3N3

9

...当9AH4=0,即》=一^"时，J9x+1+3有最小值,最小值为3.

9

【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即&N0（a20）.

由二次根式的非负性可知J9x+120,即J9x+1的最小值为0,因为3是常数,

所以J9X+1+3的最小值为3.

类型六、二次根式的运算

【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347

关联的位置名称（播放点名称）：例3】

计算：（4逐一*+3况）+2垃；

【答案与解析】

原式=（476-2五+6叵）;2叵

=26+2.

【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根

式的形式后再运算.

中考总复习：分式与二次根式一知识讲解（提高）

责编：常春芳

【考纲要求】

1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运

算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二

次根式的运算.

【知识网络】

加诚法：最简二次根式，合并同类二次根式

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1.分式

设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子4就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则

B

分式没有意义.

2.分式的基本性质

A_AKMA_A-M(M为不等于零的整式).

B~

3.最简分式