湖南省长沙市干杉中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省长沙市干杉中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，那么tanx等于 （ ）A． B．

C．

D．参考答案：D略2.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B略3.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．[参考答案：C略4.已知函数，则函数的大致图象是参考答案：D5.已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C.作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．6.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③

B．①④

C．①②

D．①②④参考答案：C略7.如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=cosx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，即=，又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，∴=，即，∴b=2，∴c==2，则双曲线的离心率为e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．9.将函数f（x）=的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象关于x=对称，则|φ|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：将函数f（x）=的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x++φ）的图象．根据所得图象关于x=对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ﹣，故|φ|的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.已知各项均为正数的等比数列{}中,则(

)A.

B.7

C.6

D.4参考答案：A由得又，所以，即，所以，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于x的二项式的展开式中一次项的系数是-70，则a= .参考答案：展开式的通项公式为.由，得，所以一次项的系数为.由，得.12.一个三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图分别是矩形和正三角形，如图所示，则这个三棱柱的体积为_________；

参考答案：由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的一个正三棱柱，底面正三角形的高为，则边长为2，三棱柱的高为2，所以三棱柱的体积为。13.如图，直线，垂足为O，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=5，AB=6，AD=8.该长方体做符合以下条件的自由运动：（1），（2）.则C1、O两点间的最大距离为__________.参考答案：14.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的

条件

参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用.

A1A2

【答案解析】充分不必要

解析：当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“NM”为真命题若NM，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立∴a=1是NM的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件【思路点拨】当a=1时，N={1}，M={1，2}，则是“N?M”为真命题；若N?M，则a2=1或a2=2，a=1不一定成立，从而可判断15.已知向量，，则的最大值为

．参考答案：16.已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n

(m，n∈R)，则等于_____________．参考答案：117.已知，且，则

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）

已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

…………1分

又

…………2分

解得

…………4分

.

…………5分

…………6分

（Ⅱ）由

…………9分

…………13分

略19.已知锐角满足，若，（1）求的表达式；（2）

当时，求（1）中函数的最大值.参考答案：已知锐角满足，若，（1）求的表达式；（2）

当时，求（1）中函数的最大值.20.已知命题p：函数在(－1，＋∞)上单调递增；命题q：函数的值域为．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．参考答案：解：命题p为真命题得：，命题q为真命题：（1）若，经检验符合条件（2）若，则解得

综（1）（2）得

根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，当p真q假时实数a的取值范围是；当p假q真时，实数a的取值范围是.综上：略21.（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的，不等式在恒成立，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：，

------1分显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，

------3分即有．解得．所以的取值范围是．

------6分（Ⅱ）由条件，可知，从而恒成立．---8分当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

------11分为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即

在上恒成立．

------13分所以，因此满足条件的的取值范围是．

------14分22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立．解答： 解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△OD