单位圆与正弦余弦线

关于单位圆与正弦余弦线第1页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三前面我们学习了任意角的三角函数。由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法

第2页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三1.单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).(一)单位圆、有向线段的概念第3页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三2.有向线段的概念与有向线段的大小：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的大小称为它的数量.有向线段的数量（数值）由其长度大小和方向来决定。第4页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3=3=-3在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标轴的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.第5页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。(四)练习第6页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM问题1:你能否用几何中的方法表示三角函数？第7页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM第8页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMT有向线段称为角α的正弦线即sinα=有向线段称为角α的余弦线即cosα=有向线段称为角α的正切线即tanα=第9页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三α的终边αyxA(1,0)OPMT终边落在第二象限sinα=cosα=tanα=第10页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三α的终边αyxA(1,0)OPMT终边落在第三象限sinα=cosα=tanα=第11页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三α的终边αyxA(1,0)POMT终边落在第四象限sinα=cosα=tanα=第12页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三α的终边αyxA(1,0)POα的终边αyxA(1,0)O三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMTPMTα的终边αyxA(1,0)OPMTMTsinα=cosα=tanα=第13页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。(四)练习第14页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例2利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：

在0～2π之间满足条件的角x的终边必须在图中阴影部分内（包括边界），即π/3≤x≤2π/3，故满足条件的角x的集合为﹛x▏2kk∈z﹜在0～2π之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部

分（不包括边界），即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故满足条件的角x的集合为﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6,k∈z﹜第15页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例3.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函数线得sin1<sin1.5cos1>cos1.5第16页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三tan2<tan3第17页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例4.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=|cosα|,MP=ON=|sinα|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sinα|+|cosα|≥1。第18页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三练习2：用三角函数线证明：第19页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三例4.已知α∈(0，)，试证明sinα<α<tanα.证明：sinα=|ON|=|MP|,α

=tanα=|AT|.又所以即sinα<α<tanα.第20页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三(五)小结1.给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置：正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；第21页，讲稿共24页，2023年5月2日，星期三3.特殊情况：①当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。②当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。正切线在过单位圆与x轴正