勾股定理的应用折叠和展开问题

关于勾股定理的应用折叠和展开问题第1页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三12.如图，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8.求AC的长.ABCD84442八年级下册勾股定理---运用第2页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三1.在ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.244.8ABCD练习&2☞面积法第3页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为

.5或43ACB43CAB分类讨论基础练习：zxxkw第4页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC∟D∟DABCABC1017817108分类讨论基础练习：zxxkw第5页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三1.小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？3020x50-x应用举例：方程思想第6页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。x+1x51练习&1☞方程思想第7页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三2.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求(1)△ABC的面积；(2)求腰AC上的高ABC151413Dx14-x12应用举例：E方程思想面积法第8页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三ABC蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的边长为1厘米）练习1:第9页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三小明在平坦无障碍物的草地上,从A地向东走3m,再向北走2m,再向西走1m,再向北走6m,最后向东走4m到达B地,求A、B两地的最短距离是多少?A3216B4c68答：A、B两地的最短距离是10米.练习2:第10页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度∴售货员没搞错∵议一议荧屏对角线大约为74厘米4658第11页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？ABCDEF

议一议第12页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：第13页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三活动2问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？ACBDAB＜BC＜AC第14页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三1.在长和宽分别是40cm,30cm的文具盒中，能放进一支长为48cm的铅笔吗？40cm30cm分析：根据题意，关键是求对角线的长度。x解：设对角线长为xcm由勾股定理得：302+402=x2x2=2500解得：x=50∵50＞48∴该文具盒能放进一支长为48cm的铅笔z.xx.k八年级下册勾股定理勾股定理---运用第15页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三活动2（2）一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？第16页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三想一想例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC=≈2.24．因为大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路．ABCD1m2m第17页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X－1)米.根据题意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿长5米第18页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.解:设竹竿高X尺,则门高为(X－1)尺.根据题意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,门高为7.5尺.第19页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.第20页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三（3）有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：第21页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三想一想问题如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间的距离吗？

第22页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m第23页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案由此可知,利用勾股定理,可以作出长为111111111111111111第七届国际数学教育大会的会徽1数学海螺图：你能在数轴上表示出的点吗？的线段.第24页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三-10

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23你能在数轴上表示出的点吗？你能在数轴上画出表示的点吗？探究1:√√学.科.网第25页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三01234步骤：lABC1、在数轴上找到点A,使OA=3;2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点。你能在数轴上画出表示的点和的点吗？∴点C即为表示的点你能在数轴上画出表示的点吗？探究1:第26页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三01234lABC你能在数轴上画出表示的点和的点吗？√√01234ABCzxxkw第27页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为的线段?A练习&1☞第28页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.ＯＤ⌒ＣＥＦＨxy练习&1☞第29页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5第30页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE810810106xx8-x4?探究3:折叠问题第31页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三ABCDEF如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。折叠问题第32页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。DAGBCE练习&3☞4x3434-xx3你还能用其他方法求AG的长吗？折叠问题第33页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。DAGBCE练习&3☞4x3434-xx3你还能用其他方法求AG的长吗？折叠问题第34页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDEx10-x6练习&2☞10-xzxxkw折叠问题第35页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）点D的坐标；（2）三角形ADC的面积；（3）点B1的坐标.OCBAB1D123E8484xyzz8-z探究2:435折叠问题第36页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？AECDBE折叠问题第37页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510第38页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三AB我怎么走会最近呢?1.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)

BA高12cmBA长18cm(π的值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.152展开问题第39页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三有一圆柱，底面圆的周长为24cm，高为6cm，一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC探究1:分析：由于蚂蚁是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽6cm处和长24cm中点处，即AB长为最短路线.(如图)12612513展开问题第40页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三A变式1：

有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至C，（A,C在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？CBADCzxxkw学.科.网第41页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三

如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定BB8OA2蛋糕ACB练习第42页，讲稿共48页，2023年5月2日，星期三4.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032AB２