湖南省湘潭市湘乡第二中学2021年高二数学文上学期期末试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡第二中学2021年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在定义域(－∞,+∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C由于函数在定义域(?∞,+∞)上是单调增函数，2a?e?a,解得.排除A，D，当a=2时,x=1可得ex?2x2=e?2；2a+lnx=4>e?2，显然不成立。排除B.本题选择C选项.2.已知命题：一次函数的图像是一条直线，：函数（为常数）的图像是一条抛物线。下面四种形式的复合命题中真命题是（

）①．非

②.非

③.或

④.且A.①②

B.①③

C.②③

D.③④参考答案：C略3.已知函数，，且函数的最小正周期为π，则A. B. C.3 D.－3参考答案：C【分析】根据最小正周期可求得，根据可知关于对称，从而可得，，根据的范围可得，进而得到解析式，代入求得结果.【详解】的最小正周期为

由可得：的一条对称轴为：，，解得：，

本题正确选项：【点睛】本题考查根据正弦型函数的性质求解函数解析式和函数值的问题，关键是能够根据关系式确定函数的对称轴，从而利用整体对应的方式求得.4.若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略5.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是()（A）一条直线和一条双曲线（B）两条双曲线（C）两个点（D）以上答案都不对参考答案：C6.已知向量为平面α的一个法向量，点A（﹣1，2，1）在α内，则P（1，2，﹣2）到平面α的距离为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面的法向量．【分析】点P（1，2，﹣2）到平面α的距离d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（2，0，1），点A（﹣1，2，1）在平面α内，点P（1，2，﹣2），∴=（2，0，﹣3），∴点P（1，2，﹣2）到平面α的距离d═=．故选：B．7.某快递公司的四个快递点A，B，C，D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将A，B，C，D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A.最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B.最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C.最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D.最少需要9次调整，相应的可行方案有2种参考答案：D【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选：D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．8.已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为(

)A．0 B．﹣8 C．2 D．10参考答案：B【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．9.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为﹣1进而求得a和b的关系，进而根据c=求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x∵两条渐近线互相垂直，∴×（﹣）=﹣1∴a2=b2，∴c==a∴e==故选A10.若关于的一元二次方程有两实根，则是方程有两大于1的根的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.各项为正数的等比数列{an}中，与的等比中项为，则_____．参考答案：－1【分析】根据题意，由等比中项的性质可得，又由等比数列的性质可得：，结合对数的运算性质可得，计算可得答案．【详解】根据题意，等比数列中，与的等比中项为，则有又由等比数列的性质可得：则本题正确结果：．【点睛】本题考查等比数列的性质，注意分析数列的下标之间的关系．12.如图是某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

．

参考答案：有三视图可知几何体是底面为菱形，对角线分别为2和，顶点在底面的射影为底面菱形对角线的交点，高为3，所以体积为．13.球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积是．参考答案：4【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由球的正方体的表面积求出球的半径，然后求体积．【解答】解：因为球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线为2，所以球O的半径是，体积是．故答案为：4π；14.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为

.参考答案：1615.某同学在证明命题“”时作了如下分析，请你补充完整.

要证明，只需证明________________,只需证明___________,展开得，

即,

只需证明,________________,

所以原不等式:成立.参考答案：,，因为成立。略16.如图8—1，F1、F2分别为椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_____.参考答案：2略17.将五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屈至多放一种文件，则文件被放在相邻的抽屉内且文件被放在不相邻的抽屉内的概率是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列。（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项.参考答案：（其中n<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，。依题意得，写成：

化简得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因为n<15所以n=14。

(2)展开式的通项

展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，所以展开式中的有理项共3项是：；；19.(13分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；参考答案：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的正切值为2.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

·n=3x+y=0，

取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，·n=-x+z=0，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==.二面角N-CM-B的正切值为2.20.（12分）已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q：的右焦点F2重合，且点在椭圆Q上。（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线过椭圆Q的左焦点F1，且与椭圆相交于A、B两点，求△ABF2的面积。参考答案：（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为（1，0）∴椭圆Q的右焦点F2的坐标为（1，0）。∴

①

又点在椭圆Q上，

∴即

②由①②，解得

∴椭圆Q的方程为

∴离心离

………………6

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（－1，0）∴直线l的方程为设由方程组消y整理，得∴

又点F2到直线l的距离

…………10∴

…………….1221.（本小题满分12分）

已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点，（1）证明：PF⊥FD；（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）证明：连接AF，则AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分

（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．从而满足AG＝AP的点G为所求．………………8分

⑶建立如图所示的空间直