乘法公式九大题型（人教版）（解析版）

专题14.3乘法公式【九大题型】

【人教版】

”不但疡,

【题型1乘法公式的基本运算】.................................................................1

【题型2利用完全平方式确定系数1.........................................................................................................................3

【题型3乘法公式的运算】.....................................................................4

【题型4利用乘法公式求值】...................................................................6

【题型5利用面积法验证乘法公式】............................................................7

【题型6乘法公式的应用】.....................................................................9

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】...............................................12

【题型8整式乘法中的新定义问题】...........................................................17

【题型9整式乘法中的规律探究】.............................................................20

学一更三

【知识点1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做

平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a?+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2»两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上

(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1乘法公式的基本运算】

【例1】(2022春•青川县期末)下列各式中计算正确的是()

A.(〃+2b)(a-2b)=(^-2h2

B.(-a+2b)Ca-2b)=a1-4h2

C.(-a-2b)(。-2b)=-tz2+4Z?2

D.(-a-2b)(a+2b)=a2-4b2

【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、应为(a+2〃)(a-2b)=a2-(2b)2,故本选项错误；

B、应为(-〃+2b)(a-2b)=-a2^-4ab-4/?2,故本选项错误；

C、(-a-2b)(a-2))=-序+4按，正确；

D、应为(-4-2〃)(a+2%)=-a2-4ab-4b2,故本选项错误.

故选：c.

【变式1-1】(2022春•六盘水期中)下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(-x+2y)(x-2y)B.(3x-5y)(-3x-5y)

C.(1-5m)(5m-1)D.(a+b)(b+a)

【分析】根据平方差公式的特征：(1)两个两项式相乘，(2)有一项相同，另一项互为相反数，对各

选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

B、-5y是相同的项，互为相反项是3x与-3x,符合平方差公式的要求；

C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

D,不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；

故选：B.

【变式1-2](2022春•巴中期末)下列运算正确的是()

A.(x+y)(y-x)=炉-y2B.(-x+y)2--j^+lxy+y1

C.(-x-y)2=-/-2xy-y2D.(x+y)(-y+x~)-y2

【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可.

【解答】解：A、结果是)2-x2,故本选项不符合题意；

8、结果是/-2孙+)2,故本选项不符合题意；

C、结果是f+2xy+y2,故本选项不符合题意；

。、结果是9-W，故本选项符合题意.

【变式1-3](2022秋•天心区校级期中)下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(a-b)(-b-a)B.(-n2-m2)(n^+n2)

C.(-gp+q)(q+gp)D.(2x-3y)(2x+3y)

【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

8、原式第一个因式提取-1变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；

C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

。、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意.

【解答】解：4、原式=〃-标，本选项不合题意；

B、原式=-(加+/)2,本选项符合题意：

C、原式=q2—12,本选项不合题意；

D、原式=4/-9)2,本选项不合题意，

故选：B.

【题型2利用完全平方式确定系数】

【例2】(2022秋•望城区期末)若二项式/+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共

有()

A.1个B.2个C.3个D.5个

【分析】本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子r和4分别是x和2的平方，可当作首尾

两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4x,同时还应看到(+4

加上-4或-/或巳后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个.

16

【解答】解：可添加±4x,-4,-x2或2等5个.

16

故选：D.

【变式2-1](2022•南通模拟)如果多项式f+2x+A是完全平方式，则常数上的值为()

A.1B.-1C.4D.-4

【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1，平方即可.

【解答】解：,••2x=2X|・x,

：.k=\2=\,

故选A.

【变式2-2](2022秋♦青县期末)若9炉-(K-1)x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为()

A.0B.-5或7C.7D.9

【分析】根据完全平方式的定义解决此题.

【解答】解：9x2-(K-1)x+l=(3x)2-(K-1)x+12.

V9X2-(K-1)x+\是关于x的完全平方式，

9A2-(A"-1)x+l=(3x)2±2,3x,1+12=(3x)2±6x+l2.

-(K-1)=±6.

当-(K-1)=6时，K=-5.

当-(K-1)=-6时，K=7.

综上：K=-5或7.

故选：B.

【变式2-3](2022秋•崇川区校级月考)(x+a)(x+b)+(x+6)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，

则a,b,。的关系可以写成()

A.a<b<cB.(a-b)2+Qb-c)2=0

C.c<a<hD.a=h^c

【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3/+2(a+b+c)x+Cab+bc+ac)=h/&+日

(〃+b+c)产，化简有ah-^hc+ac=a2+b2^-c2,那么就有(〃-h)2+(Z?-c)2+Cc-a)2=0,三个非负数的

和等于0,则每一个非负数等于0,故可求〃=b=。.故选答案艮

【解答】解：原式=3/+2(a+b+c)(ab+bc+ac)9

*.*(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+〃)是完全平方式，

3x2+2(a+b+c)x+Qab+bc+ac)=[V3x+(a+b+c)]2,

.\ab+bc-^ac=-(a+b+c)2=-(cr+b^c^+lab+lac+lbc),

33

ab+bc+ac=d1+b2^c1,

.*.2(ab+bc+ac)=2(«2+/?2+c2),

即(a-b)2+(b-c)2+(c-67)2=0,

Aa-b=09b-c=0,c-a=0,

••ci:=h^c•

故选：B.

【题型3乘法公式的运算】

【例)3】(2022春•龙胜县期中)计算：(1—/)X(1—去)X(1—XX(1—X(1—)的

结果是()

A101

A.—B•黑

200

【分析】根据。2-/=(〃一"("〃)展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，

从而得出答案.

【解答】解：原式=(1-1)xX(1-i)X(1+：)X(1-i)X(1+i)X-X(1一专)X

(1+—•)X(1—--)X(n——)

99100100

465768

=-X-9810099101

57-X—X——X——X——

9999100100

41o1

X----

=-5_-667

51OO

1

=-01._

125

故选3

【变式3-1](2022秋•碾子山区期末)先化间，再求值：(2r-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x

=1,y—2.

【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解.

【解答】解：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),

—4X2-y2■(4y2-%2),

=4/-y2-4卢/,

=5/-5)2,

当x=l,y=2时，原式=5XP-5x22=5-20=-15.

【变式3-2](2022春•乳山市期末)用乘法公式进行计算：

(1)20192-2018X2020；

(2)1P+13X66+392.

【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等丁•这两个数的平方差；完全平方公式：(。+8)

2=a2+2ah+h2.

【解答】解：(1)20192-2018X2020

=2019?-(2022-1)X(2022+1)

=20192-(20222-1)

=1;

(2)"2+13X66+392

=ll2+13X2X3Xll+392

=112+2X11X39+392

=(11+39)2

=502

=2500.

【变式3-3](2022春•顺德区校级月考)计算：(2+1)(22+1)(24+1)-(264+1)

【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果.

【解答】解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(264+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)…(2»+1)

=(24-1)(24+1)-(264+1)

=・・♦

-(2M-1)(2M+1)

=2*1.

【题型4利用乘法公式求值】

【例4】(2022秋•九龙坡区校级期中)若出-炉=16,(a+b)2=8,则向的值为()

33

A.--B.-C.-6D.6

22

【分析】根据〃2-浜=16得到(〃+b)2(a-。)2=256,再由(a+b)2=8,求出(a-b)占32,

最后根据ab=(a+b)：(a-b)z求出答案.

【解答】解：・・・。2-拄=16,

:.(a+b)(a-b)=16,

J(〃+b)2(a-b)2=256,

•・・(a+b)2=8,

.♦・Ca-b)2=32,

..(a+b)2-(a-b)28-32/

..ab=----------------=------=-6,

44

故选：c.

【变式4・1】(2022春•姜堰区校级月考)已知4加+〃=90,2团-3〃=10,求(m+2〃)?-(3加-〃)2的值.

【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：V4/77+77=90,2团-3〃=10,

(6+2〃)2-(3〃Z-M)2

=[(m+2n)+(3/H-n)][(m+2n)-(3m-n)]

=(4/H+H)(3〃-2W

=-900.

【变式4-2](2022春•双峰县期中)若x、y满足r+丫2=全口=一点求下列各式的值.

(1)(x+y)2

(2)f+y1.

【分析】(1)原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；

(2)原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值.

【解答】解：(I)•••(+y2=|,-1，

二原式3-]=：；

(2),.*x2+y2=xy=—

.,.原式=(N+y2)2-2r2y2=——i=—.

16216

【变式4-3](2022春•包河区期中)已知(2022-%)(2022-m)=2021,那么(2022-〃?)2+(2022-

m)2的值为()

A.4046B.2023C.4042D.4043

【分析】利用完全平方公式变形即司；

【解答】解：•；?=解-2曲+炉,

cr+b2--(a-b)2+2ab.

：.(2022-w)2+(2022-/n)2

=[(2022-m)-(2022-m)]2+2X(2022-/n)(2022-/n)

=4+2X2021

=4046.

故选：A.

【题型5利用面积法验证乘法公式】

【例5】(2022春•新泰市期末)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积

关系得到的数学公式是()

A.(a-%)(a+b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ah+h2

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(2a-b)2=4a2-4ab+b2

【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可.

【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为(a+6)(a-b),

图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即序

因此有(a+b)(a-h)=a2-b2,

故选:A.

【变式5-1](2022春•乐平市期末)如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公

式是()

ab

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+h)(a+26)=a2+3ah+2h2

C.(a+i,)2—a1+2ab+b2

D.(a-/?)2=a2-lab+H1

【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案.

【解答】解：大正方形的边长为a+b,因此面积为(a+b)2,四个部分的面积分别为“2、岫、ab、",

由面积之间的关系得，(a+〃)2=a2+2ab+b2,

故选：C.

【变式5-2】(2022春•锦州期末)如图1,在边长为。的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将

余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，

可验证的等式为()

图1图2

A.(a-3)2=a2-6a+9B.(a+3)2=a2+6a+9

C.a(a+3)=a2+3aD.(a+3)(a-3)=a2-9

【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可.

【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即。2-32=序-9,

图2是长为〃+3,宽为a-3的长方形，因此面积为(a+3)(a-3)»

所以有(a+3)(a-3)=a2-9,

故选：D.

【变式5-3](2022•郸都区模拟)如图，在边长为(x+“)的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将

余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是()

A.(x+a)2-a2=x(x+2a)B.x2+2ax=x(x+2a)

C.(x+a)2-x2—a(a+2x)D.x2-a2—(x+a)(x-a)

【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可.

【解答】解：第一幅图阴影部分面积=(x+a)2一层，

第二幅图阴影部分面积=Cx+a+a)x=x(x+2a),

(x+a)2-a2—x(x+2a),

故选：A.

【题型6乘法公式的应用】

【例6】(2022春•榆次区期中)如图1,从边长为(〃+5)。〃的大正方形纸片中剪去一个边长为(a+2)cm

的小正方形，剩余部分(如图2)沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形(无缝隙不重合)则该长

方形的面积为()

A.9cm2B.(60-9)cnvC.(6a+9)cm2D.(6a+21)cm

【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案.

【解答】解：根据题意，长方形的面积为[(〃+5)+(4+2)][(“+5)-(“+2)]=3(2a+7)=(6a+21)

故选：D.

【变式6-1](2022秋•西峰区期末)如图，正方形A8C。和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个

长方形，分别延长4。、CD,交NP和MP于H、。两点，构成的四边形NGO”和MEOQ都是正方形，

四边形PQDH是长方形.若正方形ABCC的边长为x,AE=10,CG=20,长方形EFGC的面积为200.求

正方形MFNP的面积(结果必须是一个具体数值).

【分析】设OE=mDG=b,贝iJa=x-10,〃=x-20,a-b=W,又由必=200,所以正方形MFN尸的

面积为(a+b)2=(er-b)2+4at>=900.

【解答】解：)设OE=a,DG=b,则a=x-10,b^x-20,a-b^\0,

又由"=200,

二正方形MFNP的面积为：(a+6)2=(a-b)2+4«/>=102+4X200=900.

【变式6-2](2022春•湖州期末)如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正

方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16,则

标号为②的正方形的面积是()

③

①

②

①

③

A.16B.14C.12D.10

【分析】设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为y,根据图形及已知条件可将③长

方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100,得出/与炉的数

量关系，然后解得卡即可.

【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为)，，则标号为③的长方形长为

(x+y),宽为(x-y),

•.•每个小长方形③的面积均为16,

(x+y)(x-y)=16,

:.正-)2=16,

：.x1=\6+y2

大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长

方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，

...大长方形的长为：[(x+y)+x]=2x+y,宽为：[(x-y)+x]=2x-y,

;大长方形的面积为100,

二C2x+y)(2x--y)=100,

.,.4/-)2=100,

.\4(16+y2)-/=100,

"=12,

即标号为②的正方形的面积为尸=12.

故选：C.

【变式6-3](2022秋•香坊区校级期中)如图，我校一块边长为2o■米的正方形空地是八年级1-4班的卫

生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情

况，其中1班的卫生区是一块边长为(x-2y)米的正方形，其中0<2y<x.

(1)分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；

(2)求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？

【分析】(I)结合图形、根据平方差公式计算即可；

(2)根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、

求差即可.

【解答】解：(1)八年3班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2>0]=x2-4>-2；

八年4班的卫生区的面积=(x-2y)[2x-(x-2y)]=r2-4y2；

(2)[2x-(x-2y)]2-(x-2y)2=8.ry.

答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8x.y平方米.

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】

【例7】(2008秋•上海校级期中)我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图

-b)2—a2-2ab+b2

(1)请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+h2,

(2)图三是边长为〃的正方形中剪去一个边长为人的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅

图形中面积的等量关系，能验证公式。2-岳=(“+为(a-b)

(3)除J'拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相

应的字母.

【分析】(1)此题只需将大正方形的边长表示为。，小正方形的边长表示为〃即可,

(2)此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可；

(3)此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立.

(2)根据两图形求得两图形的面积分别为：$=〃2-拄；S2=1C2a+2b)(a-b)=(a-b)

(3)拼成的图形如下图所示：

【变式7-1](2022春•西城区校级期中)阅读学习：

数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到.

如图1,可以求出阴影部分的面积是如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的

长是“+从宽是a-4比较图1,图2阴影部分的面积，可以得到恒等式(a+b)(a-b)=a2-b2.

2

(1)观察图3,请你写出(a+b)2,(a-b),时之间的一个恒等式(a-b)?=(a+b)2-4ab.

(2)观察图4,请写出图4所表示的代数恒等式：(2a+b)(〃+清)=2*+3〃匕+从.

(3)现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式"+〃)2=

a2+2ab+b2,仿照图4画出你的拼图并标出相关数据.

【分析】(1)利用完全平方公式找出(a+b)2、Q-b)2、"之间的等量关系即可;

(2)根据面积的两种表达方式得到图4所表示的代数恒等式;

(3)山已知的恒等式，画出相应的图形即可.

【解答】解：(1)(。+6)2,(a-8)2,出，之间的一个恒等式(“-/>)2=(”+匕)2_4加

(2)图4所表示的代数恒等式：(2a+6)(a+b)=2a2+3ab+b2.

(3)如图所示:

故答案为：(a-b)2—(a+b)2-4ab；(2a+b)(a+b)—2a2+3ab+b2.

【变式7-2］(2022春•武侯区校级期中)［知识生成］通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可

以得到一个恒等式.

例如：如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②

的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：

(1)观察图②，请你写出(“+〃)2、(a-b)2、岫之间的等量关系是(a+b)2-(“-b)2=4而；

（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6,xy=*求（x-y）2的值；［知识迁移］类似地,

用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.

（3）根据图③，写出一个代数恒等式：（a+b）3=加+3“2/7+3加+少；

（4）已知a+b=3,ab=\,利用上面的规律求贮卢的值.

图①图②图③

【分析】（1）观察图②大正方形面积减中间小正方形面积等于4个长方形面积；

（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解.

（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式.

（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案.

【解答】解：（1）用两种方法表示出4个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于4个

22

长方形面积，可得：（q+b）-（a-b）=4ahf

22

（2）由题（1）可知：（x+y）-（x-y）=4xyf

-（x-y）2=（x+y）2-4孙=36-4x?=14.

（3）利用两种方式求解长方体得体积，即可得出关系式：（〃+b）3=东+3屋〃+3H2+加.

（4）由（3）可知〃3+加=（〃+。）3-3a2b-3ab2=（a+。）3-3ab（〃+b）,

把a+b=3,ab=1代入得：

«W=33-3X1X3=18.

.•0=9.

2

【变式7-3］（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①

和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样

的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而

请你利用上述方法解决下列问题:

（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式

(1)⑵⑶

（2）试画出一个几何图形,使它的面积能表示（x+y）(x+3y)=/+4冷，+3y2

【拓展应用】

提出问题：47X43,56X54,79X71,……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相

乘的算式，是否可以找到一种速算方法?

几何建模:

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47X43为例:

（1）画长为47,宽为43的矩形，如图③，将这个47X43的矩形从右边切下长40,宽3的一条，拼接

到原矩形的上面.

（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47X43的矩形面积或（40+7+3）X

40的矩形与右上角3义7的矩形面积之和，即47X43=（40+10）X40+3X7=5X4><100+3X7=2021,

用文字表述47X43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100,加上个位数字3与7的

积，构成运算结果.

请你参照上述几何建模步骤，计算57X53.要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）

归纳提炼:

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：H立数字加

1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成运算结果证明上述速算方法的正确

性.

【分析】（1）利用面积法即可解决问题；

（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；

拓展应用：模仿例题计算57X53即可；

探究规律，利用规律解决问题即可；

【解答】解：（I）图（|）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x=2x2+2yy,

图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2r+y）=2x2+3xy+>'2

图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（Zr+y）="+5冷叶2y

（2）几何图形如图所示：

拓展应用：

（1）①几何模型:

②用文字表述57X53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100,加上个位数字3与7

的积，构成运算结果；

即57X53=（50+10）X50+3X7=6X5X100+3X7=3021；

十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成运算结果；

故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100,加上两个个位数字的积，构成运算结果；

【题型8整式乘法中的新定义问题】

【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式A,B,C,若A+B+C可以写成（4+6）

2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式4和机是完全搭配项，则m可能是4x或-4x

或%.(写出所有情况)

16

【分析】分为三种情况：①加为第二项时，②当根为第一项时，根据完全平方式求出〃?即可.

【解答]解：①/±4x+4,此时m=±4x,

②(匕2)2+x2+4,此时加=(-x2)2=-X4,

4416

故答案为：4x或-4x或右4.

16

【变式8-1](2022春•成华区月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数

为“神秘数”，如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20都是这种“神秘数”.

(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；

(2)试说明神秘数能被4整除；

(3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由.

【分析】(1)根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即

可判断；

(2)运用平方差公式进行计算，进而判断即可；

(3)运用平方差公式进行计算，进而判断即可.

【解答】解：(1)是，理由如下：

:28=82-62,2012-5042-5022,

二28是“神秘数”；2012是“神秘数”；

(2)“神秘数”是4的倍数.理由如下：

(2Z+2)2-(2)1)2=(2Z+2+2/)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2)1+1),

二“神秘数”是4的倍数；

(3)设两个连续的奇数为：2k+l,2k-1,则

(2A+1)2-(2D2=8公

而由(2)知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，

所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数.

【变式8-2](2022春•博山区期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这

个正整数为：“奇异数”.如8,16,24都是“奇异数”.

(1)写出两个奇异数(8,16,24除外)；

(2)试问偶数6050是不是奇异数？为什么？

【分析】(1)根据奇异数的定义判断即可；

(2)偶数6050不是奇异数，根据两个连续正奇数的平方差，即(〃+2)2-〃2=6050,求出〃的值，判

断即可.

【解答】解：(1)奇异数可以为32,40；

(2)不是奇异数，理由为：

假设偶数6050为奇异数，即为两个连续正奇数的平方差，

可设("+2)2-〃2=6050,

分解因式得：2(2〃+2)=6050,

解得:n=1511.5,

可得〃不是奇数，不符合题意，

则偶数6050不是奇异数.

【变式8-3](2022•永川区模拟)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智

慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”.例如：22-口=3；32-22=5；32-12=8；42-32=7；42

-22=12；42-12=15；,,,,等等.

因此3,5,8,…，都是“智慧数”；而1,2,4,…，都是“非智慧数”.

对于“智慧数”，有如下结论：

①设氏为正整数,则氏2-1-1)三2A-1..•.除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；

②设上为正整数仪23),则氏2-(%-2)2=4(…).都是''智慧数”.

(1)补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧数”：

(2)求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”.

【分析】(1)由平方差公式即可得出答案，根据①②的结论除去奇数及4的正整数倍数，即可得所有大

于5而小于20的“非智慧数”；

(2)根据①②可判断出在1,2,3,4四个数中，只有1个“智慧数”3；k为正整数时，则4什1,4k+3

是奇数，必+2,4A+4是偶数，而必+2是“非智慧数”，4k+l,4A+3,4什4是“智慧数”.从而根据循

环规律判断出结果.

【解答】解：(1)(%-2)2=(k+k-2)(Z-&+2)=2(2火-2)=4(&-1)；智慧数是除4以

外，所有4的正整数倍数.

根据①，除去奇数：7,9,II,13,15,17,19；

根据②，除去4的正整数倍数：8,12,16.

则所有大于5而小于20的“非智慧数”有：6,10,14,18.

(2)在1,2,3,4四个数中，只有1个“智慧数”3.

当k为正整数时，则4k+l,4Z+3是奇数，必+2,4k+4是偶数，而4k+2是"非智慧数”，4)1+1,4A+3,

软+4是“智慧数”.

...在从1开始的正整数中前4个正整数只有3为“智慧数”，此后每连续4个数中有3个“智慧数”.

V1OO=1+3X33,

A4X(33+1)=136.

又,••136后面的3个“智慧数”为137,139,140,

.♦•从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”是140.

【题型9整式乘法中的规律探究】

【例9】(2022春•江阴市期中)观察下列各式(x-1)(x+l)=/-l,(x-1)G2+x+l)=x3-1,(x

3

-1)(X3+/+X+1)=x4-1……根据规律计算：(-2)2。讴+(-2)2。17+(，2)2016+…+(-2)+(-2)

2+(-2)'+1的值为()

A.22019-1B.-22019-]C.-~~:

3

【分析】先计算(-2-1)[(-2)268+(一2)237+(-2)20|6+—+(-2)3+(-2)2+(-2)]+1]=

(-2)269-1,然后再计算所给式子.

32

【解答】解：V(-2-1)[(-2)2018+(_2)2017+(-2)2016+“.+(-2)+(-2)+(-2)1+1],

=(-2)2019-1,

=-22019-1,

22019*1

...(-2)2018+(-2)267+(.2)2016+“.+(-)32

2+(-2)+(-2)'+1="~~3—.

故选：D.

【变式9-1](2022•丰顺县校级开学)解答下列问题.

(1)观察下列各式并填空：32-12=8X1；52-32=8X2；①72-52=8X3；②9?-72=8X4；

③IT-92=8X5@132-112=8X6；•••

(2)通过观察、归纳，请你用含字母〃(〃为正整数)的