2020年全国一卷理科数学(解析版)

2020年全国一卷理科数学(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若$z=1+i$，则$|z-2z|=2$。A.0B.1C.2D.22.设集合$A=\{x|x-4\leq0\}$，$B=\{x|2x+a\leq0\}$，且$A\capB=\{-2\leqx\leq1\}$，则$a=$A.$[-4]$B.$[-2]$C.$[2]$D.$[4]$3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它们的形状可视为一个正四棱锥。以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为4.已知$A$为抛物线$C:y=2px(p>0)$上一点，点$A$到$C$的焦点的距离为$12$，到$y$轴的距离为$9$，则$p=$A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率$y$和温度$x$（单位：℃）的关系，在$20$个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,20)$得到下面的散点图：由此散点图，在$10℃$至$40℃$之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率$y$和温度$x$的回归方程类型的是A.$y=a+bx$B.$y=a+bx^2$C.$y=a+be^x$D.$y=a+blnx$6.函数$f(x)=x-2x$的图像在点$(1,f(1))$处的切线方程为A.$y=-2x-1$B.$y=-2x+1$C.$y=2x-3$D.$y=2x+1$圆锥侧面上的直母线，AC为圆锥底面上的直径，且AD=2AC，DE=2.5，AB=3，BC=4.5，求圆锥的体积和母线长。解：首先根据勾股定理可得，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=3$，$AD=2AC=6$。又因为$DE=2.5$，所以$OE=\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{25-6^2}=1$，$OC=\frac{AC}{2}=1.5$。由于$\triangleAOC$为直角三角形，所以$AO=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{3^2+1.5^2}=3.5$。又因为$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{6^2-2.5^2}=5.5$。故圆锥的母线长为$OA+AE=3.5+5.5=9$，体积为$\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\piOA^2\cdotAE=98\pi$。答：圆锥的体积为$98\pi$，母线长为9。19.（12分）已知函数$f(x)=\frac{\cosx}{1+\sinx}$，$g(x)=\frac{2x}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$，求$g(x)$的单调区间。解：首先求出$g'(x)$，有$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$$将$f(x)$展开为$\frac{\cosx}{1+\sinx}=\frac{1-\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan(\frac{x}{2})}$，代入上式可得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\tan(\frac{t}{2})}{1+\tan(\frac{t}{2})}\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}-x)dt$$化简得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(x-\frac{t}{2})}{\cos(\frac{t}{2})}dt$$再次化简得$$g'(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\int_{\frac{x}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cosu}{\cos(\frac{2u-x}{2})}du$$由于$\cos(\frac{2u-x}{2})$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上单调递减，所以$g'(x)$在$[0,\pi]$上单调递减，故$g(x)$在$[0,\pi]$上单调递增，$g(x)$在$[\pi,2\pi]$上单调递减。答：$g(x)$的单调区间为$[0,\pi]$和$[\pi,2\pi]$。20.（12分）已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，$F$是$AC$上一点，且$\angleCBF=\angleABE$，求证：$\angleBAF=\angleCBE$。解：如图，连接$BE$，$CF$，$AF$，则$\triangleABE\cong\triangleCBF$（$AB=AC$，$BD=DC$，$AE=ED$，$\angleCBF=\angleABE$），故$\angleBAE=\angleBCF$，$\angleABE=\angleCBF$。因为$BE$是$AD$的中线，所以$BE\parallelAC$，故$\angleBAE=\angleBAF$。又因为$BF$是$AC$的角平分线，所以$\angleBAF=\angleCAF$。综上，$\angleCAF=\angleBAE=\angleBCF$，故$\angleBAF=\angleCBE$。答：$\angleBAF=\angleCBE$。21.（12分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，证明：存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。证：定义$g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，则$g(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上连续。又因为$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(0)-f(\frac{1}{2})=g(0)$，所以$g(0)=g(\frac{1}{2})$。若$g(x)$恒为0，则存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$，证毕。若$g(x)$不恒为0，则存在$a,b\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$g(a)>0$，$g(b)<0$。由于$g(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上连续，故由介值定理可知，存在$c\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$g(c)=0$，即$f(c)=f(c+\frac{1}{2})$，证毕。答：存在$\xi\in[0,\frac{1}{2}]$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。底面直径AE=AD，三角形ABC是底面的内接正三角形，P为DO上的一点，且PO=DO/6。现要证明：PA垂直于平面PBC，求二面角B-PC-E的余弦值。改写：已知底面直径AE=AD，底面为内接正三角形ABC，点P位于DO上且PO=DO/6。需证明PA垂直于平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，比赛规则为累计负两场者被淘汰，每场比赛的胜者与轮空者进行下一次比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰。已知甲、乙首先比赛，丙轮空，每场比赛双方获胜的概率都为1/2。（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率。改写：甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，规定累计负两场者被淘汰，每场比赛的胜者与轮空者进行下一次比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰。已知甲、乙首先比赛，丙轮空，每场比赛双方获胜的概率均为1/2。（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率。已知椭圆E的左、右顶点分别为A、B，方程为x^2/a^2+y^2=1（a>1），上顶点为G，AG×GB=8。直线x=6上的动点为P，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求椭圆E的方程；（2）证明：直线CD过定点。改写：已知椭圆E的左、右顶点分别为A、B，方程为x^2/a^2+y^2=1（a>1），上顶点为G，且AG×GB=8。直线x=6上的动点为P，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求椭圆E的方程；（2）证明：直线CD过定点。已知函数f(x)=e^(ax-x^2+1)，其中a为常数。（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x≥2时，f(x)≥x+1，求a的取值范围。改写：已知函数f(x)=e^(ax-x^2+1)，其中a为常数。（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x≥2时，有f(x)≥x+1，求a的取值范围。在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cos(kt)，y=sin(kt)（t为参