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文档简介
2.1导数的应用1.
函数的单调性(1)
设函数y=f(x)在某个区间内可导,若0,则f(x)为增函数;若0,则f(x)为减函数。根据导数确定函数的单调区间一般需三步:
1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.P61例1(04全国卷Ⅱ理10)
函数在下面哪个区间内是增函数()
A. B.C. D.如:2、函数的极值一般的,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),
则f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),
则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值------不一定最大或最小)使函数取得极值的点x0称为极值点(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。
f
(x)<0
yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近
f
(x)<0
f
(x)>0
f
(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0,右侧f’(x)<0,则f(x0)是极大值;2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0,右侧f’(x)>0,则f(x0)是极小值;已知函数f(x)在点x0处是连续的,则判断函数极值的方法x2
求可导函数f(x)极值的步骤①求导数;②求方程=0的根;③检验在方程=0的根的左右的符号,如果根的左侧为正,右侧为负,则函数在此处取得极大值;如果在根的左侧为负,右侧为正,则函数在此处取得极小值。
例1
求函数的极值。x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)
y′+0-0+y极大值28/3极小值
-4/3解:定义域为R,y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时,y′,y的变化情况如下表:因此,当x=-2时,y极大值=28/3当x=2时,y极小值=-4/33.函数的最大值与最小值设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较;最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值
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