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文档简介

2.1导数的应用1．

函数的单调性（1）

设函数y=f(x)在某个区间内可导，若0，则f(x)为增函数；若0，则f(x)为减函数。根据导数确定函数的单调区间一般需三步：

1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;

解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.P61例1(04全国卷Ⅱ理10)

函数在下面哪个区间内是增函数（）

A． B．C． D．如:2、函数的极值一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值------不一定最大或最小）使函数取得极值的点x0称为极值点(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

f

(x)<0

yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处是连续的，则判断函数极值的方法x2

求可导函数f(x)极值的步骤①求导数；②求方程=0的根；③检验在方程=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，则函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，则函数在此处取得极小值。

例1

求函数的极值。x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）

y′+0－0+y极大值28/3极小值

-4/3解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=28/3当x=2时，y极小值=－4/33.函数的最大值与最小值设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导（1）求f(x)在（a,b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值与最小值

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