第8章851直线与平行852平面

第八章 立体几何初步空间直线、平面的平行直线与直线平行直线与平面平行学习目标核心素养能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养.自探

新知主

预习平行传递性a∥c2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别

对应平行

，那么这两个角_相等或互补．l∥m平面外平面内平行交线l

β

α∩β＝m平行相交思考：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？[提示]

根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．B

[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.])2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA

[由直线与平面平行的判定定理知选A.]3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有

条．1

[如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]合提

素养作

探究基本事实4、等角定理的应用求证：四边形BB1M1M为平行四边形；求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[思路探究](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[解]

(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[证明]

(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.直线与平面平行的判定【例2】

如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[思路探究]

(1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可；(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可．[解]

(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.[证明]

如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，PMAB

＝EA

CD＝BDEP，QN

BQ.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.直线与平面平行的判定与性质[探究问题]若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]

不是．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]

若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．【例3】

求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[思路探究]

先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．[解]

已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.[解]

已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.当固

双基堂

达标1．判断正误如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．(

)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(

)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．(

)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．(

)[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√)2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交D

[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝

.135°[由等角定理可知β＝135°.]4．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是

．5．过正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求