多自由度维度系统的运动方程

多自由度维度系统的运动方程牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的物理坐标系，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数。多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵。多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模根据上式得到列系统的运动微分方程的一种简单的方法：先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。这样的优点是，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--牛顿第二定律建模影响系数法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程—影响系数法影响系数法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。

画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力刚度影响系数作用力方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法柔度影响系数位移方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F1现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。

多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法F3再令可得到系统的柔度矩阵为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。

系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即的逆矩阵存在与作用力方程比较多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法例

试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、

y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移，等于在m1处施加单位力在m2处产生的位移。有柔度矩阵为得系统的位移方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--影响系数法多自由度系统的运动微分方程牛顿第二定律矢量建模方法影响系数法刚度影响系数法柔度影响系数法Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标Lagrange方程建模方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法约束、自由度与广义坐标多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即虚位移原理多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式为虚功方程多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程，即多自由度系统多自由度系统的运动微分方程--Lagrange方程方法在t1与t2区间的虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和刚体绕质心的转角为广义坐标，即例题图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动