不等式的定义+性质解析版

专训9.1不等式的定义+性质

一、单选题

1.（2022.福建.三明一中八年级阶段练习）下面给出了5个式子：①3>0,②4x+y<2,③2x=3,④x-1,

⑤x+243,其中不等式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】

不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可.

【详解】

解：①3>0是不等式；②4x+），<2是不等式；③2%=3是等式；④“一1是代数式；⑤x+243是不等式，

共有3个不等式.

故答案为B.

【点睛】

本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式.

2.（2023江西•永丰县恩江中学八年级阶段练习）下列式子：①-2岂）；②3"2y>0；③方=2；④*3；⑤x+y；

⑥x+5W6是不等式的有（）

A.3个B.4个

C.5个D.6个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的定义逐个判断即可.

【详解】

解：不等式有一240,3x+2y>0,，”*3,x+546共4个.

故选:B.

【点睛】

本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：>,<,<,>,

中等.

3.（2022•江苏•七年级专题练习）给出下列各式：①—3<0；②a+6；©x=5；@x2-孙+/；⑤x+2>y-7；

⑥a/3.其中不等式的个数是（）

A.5B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

运用不等式的定义进行判断.

【详解】

解：①-3<0是不等式；

②a+b是代数式，不是不等式；

③x=5是等式，

④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，

⑤x+2>y-7是不等式，

⑥4*3是不等式.

不等式有①⑤⑥，共3个.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别

常见不等号：>,<,<,>,权

4.（2022・广东深圳•八年级阶段练习）下列式子：①3>0；②4x+3），>0；③x=3；④x-l，5；⑤x+2$3是不等

式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】

【分析】

主要依据不等式的定义一用“>"、2"、"V"、"0"、等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.

【详解】

解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，

所以：①3>0；②4x+3y>0；④x-l”；⑤户2《3为不等式，共有4个.

故选：c.

【点睛】

本题考查不等式的识别，i般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别

常见不等号：">，，、2"、“<，，、"W，、¥，.

5.（2022・全国•八年级）某市最高气温是33℃,最低气温是24℃,则该市气温f（℃）的变化范围是（）

A./>33B.624C.24<r<33D.24<z<33

【答案】D

【解析】

【分析】

己知某市最高气温和最低气温，可知该市的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高

气温和最低气温.

【详解】

由题意，某市最高气温是33G最低气温是24a说明其它时间的气温介于两者之间，

...该市气温f（C）的变化范围是：24WE33；

故选：D.

【点睛】

本题的关键在于准确理解题意，理解到当天的气温的变化范围应在最低气温和最低气温之间.

6.（2021•全国•八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）

A.x=3是不等式2x>I的解B.x=3是不等式2x>l的唯一解

C.x=3不是不等式2A>1的解D.x=3是不等式2x>\的解集

【答案】A

【解析】

【分析】

对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立.

【详解】

解：A、当x=3时，2x3>l,成立，故A符合题意；

B、当x=3时，2x3>l成立，但不是唯一解，例如x=4也是不等式的解，故B不符合题意：

C、当x=3时，2x3>l成立，是不等式的解，故C不符合题意；

D、当x=3时，2x3>l成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x>^,故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题.

7.（2022•江苏•七年级专题练习）下列说法错误的是（）

A.不等式x-3>2的解集是x>5

B.不等式x<3的整数解有无数个

C.不等式x+3<3的整数解是0

D.x=0是不等式2x<3的一个解

【答案】C

【解析】

【分析】

解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断.

【详解】

解：A、不等式x-3>2的解集是x>5,正确，不符合题意；

B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x<3的整数解有无数个，正确，不符合题意；

C、不等式x+3V3的解集为xVO,所以不等式x+3V3的整数解不能是0,错误，符合题意；

D、由于不等式2x<3的解集为x<1.5,所以x=0是不等式2x<3的一个解，正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类.

8.（2021・广东・深圳第二实验学校九年级开学考试）下列x的值中，是不等式x>2的解的是（）

A.-2B.0C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式解集的定义即可得出结论.

【详解】

解：；不等式x>2的解集是所有大于2的数，

二3是不等式的解.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键.

9.（2020•新疆吐鲁番•七年级期末）己知a<b,下列不等式中，变形正确的是（）

A.a—3>Z?—3B.3a—1>3b-1C.—>—D.—3a>—3b

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质1、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.用式子表示：如果“

>b,那么”±c>任c；不等式的基本性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用

式子表示：如果c>0,那么好>历；不等式的基本性质3、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等

号的方向改变.用式子表示：如果4>从C<0,那么4c<解答即可.

【详解】

解：4、不等式“Vb的两边同时减去3,不等式仍成立，即止3<"3,故选项错误，不符合题意；

B、不等式的两边同时乘以3再减去1,不等式仍成立，即3小1<3"1,故选项错误，不符合题意；

G不等式的两边同时除以3,不等式仍成立，即故选项错误，不符合题意；

。、不等式的两边同时乘以-3,不等式的符号方向改变，即-3a>-幼，故选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题考查了不等式的性质，解题的关键是不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.

10.（2021•山东济南•八年级期末）已知则下列四个不等式中，不成立的是（）

A.a+2<b+2B.2a<2bC.2a-\>2b-1D.-y<z>-

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质逐一进行判断即可.不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，

不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同个正数，不等号的方向不变；③不等式的两

边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】

解：A.Va<b,

a+2<b+2,故本选项不符合题意；

B.Va<b,2>0,

/.2a<2b,故本选项不符合题意；

C.Va<b,2>0,

A2a-l<2b-1,故本选项符合题意;

D.Va<b,--<0,

2

二一1a>-gb,故本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的基本性质.

11.（2022・安徽•全椒县隆兴中学一模）若。、b、c、"是正整数，且a+6=c,b+c=d,下列结论正确的

是（）

A.b<c<aB.a<c<bC.a+d=2cD.a+d=2h

【答案】C

【解析】

【分析】

根据〃+b=c,b+c=d,结合选项，利用等式或不等式性质变形判定即可.

【详解】

解：A^・；a+b=c,

：.c-a=b>0,即故该选项不符合题意：

B、-：a+b=c,

:.c-h=a>0,即〃<c,故该选项不符合题意；

C、由b+c=d可得c=①，

\'a+b=c②，

.•・①+②得a+d=2c,故该选项符合题意；

D、由C选项可知。+d=2c,

•.・4+8=。且〃、b、C是正整数，

：.b^c,即a+d=2cH2Z>,故该选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查等式与不等式性质得运用，根据选项要求准确运用题中等式的性质变形是解决问题的关键.

12.（2022•山东•鲁村中学九年级阶段练习）如果X<儿正确的是（）

A.-3+x>-3+yB.-3x<-3yC.:得D.x2<y2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式性质求解即可；

【详解】

解：根据不等式的性质可知：

不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，

:.A.-3+x>-3+y,错误，不符合题意；

不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变，

AB.-3x<-3y,错误,不符合题意:

不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，

AC.|<^,正确，符合题意；

:当x<y<0时，Y>y2,

，D.Y<y2,错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的性质，关键是理解不等式的性质并能够熟练应用.

13.（2021.浙江金华•八年级阶段练习）若a<b,则下列各式中一定成立的是（）

A.-a<-hB.2a>2hC.a-1<b-1D.ac2<bc2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质可直接进行求解.

【详解】

解：A、不等式两边同乘一个负数时，不等号方向要改变，故该选项错误；

B、不等式两边同乘一个正数时，不等号方向不变，故该选项错误；

C、不等式两边同时减去或加上一个数时，不等号方向不变，故该选项正确；

D、当c=0时，该选项就不成立「，故该选项错误；

故选C.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

14.（2022♦安徽•合肥工业大学附属中学七年级阶段练习）如果关于x的不等式的解集是x<-l,

那么”的取值范围是（）

A.a<\B.a>1C.a>\D.a<0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质求解即可.

【详解】

解：•••关于x的不等式（1-。卜>。-1的解集是

・'・1—。<0,

/.>1,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，熟知不等式的性质是解题的关键.

15.（2021.宁夏・贺兰县教学研究室八年级期中）已知。若。是任意实数，则下列不等式中总是成立的是

（）

A.a+c<b+cB.a-c>b—c

C.ac<bcD.ac>be

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向

不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或

除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可.

【详解】

详解：A、根据不等式的性质1,可得a+c>b+c,故此选项错误，不符合题意；

B、根据不等式的性质1,可得a-c>b-c,故此选项正确，符合题意；

C、根据不等式的性质，如果c<0则可得知<秘，如果c>0,则ac>历，故此选项错误，不符合题意；

D、根据不等式的性质，如果c<0则可得知<"，如果，>0,则ac>儿，故此选项错误不符合题意.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了不等式的性质，关键是掌握不等式的性质.

16.（2021•江西・景德镇一中八年级期中）若a、人为实数，则下列命题中正确的是（）

A.a>b=>a2>b2B.a丰bna1手片C.\a\>b^>a2>b2D.a>\h\=^>a2>h2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，有理数乘方的性质以及绝对值的性质逐一判断即可.

【详解】

解：A、由不能推出/>从，如当。=0>/?=-1时，a2=0</?2=1,不符合题意；

B、由山b,不能推出a2Hb2,如当。=1工力=-1时,a2=\=b2>不符合题意;

C、由同>〃，不能推出/>从，如当。=2,b=-3B'J',\a\=2>b=-3,但是a2=4<〃=9，不符合题

M；

D、由。>1勿可以推出°2>/,符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，有理数乘方的性质，熟知相关知识是解题的关键.

17.（2022.浙江杭州•八年级期末）下列命题是假命题的是（）

A.若a>b,b>c,则”>cB.若a2b,b>c,则

C.若a>b,b>c,则a>cD.若aNb,b>c.则a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

由不等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】

解：若a>b,b>c,则a>c；故A是真命题；

?'ia>h,/?><?,则”>c；故B是真命题；

'ha>b,8Nc,则”>c：故C是真命题：

若b>c.则a^c；故D是假命题；

故选：D.

【点睛】

本题考查了判断命题的真假，以及不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质进行判断.

18.（2021•内蒙古・包头市第八中学八年级期中）若m>〃，则下列不等式变形错误的是（）

rnti

A.3+m>3+nB.3m>3nC.3-m>3-nD.—>—

33

【答案】c

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，依次进行判断即可.

【详解】

A、m>n,:.3+m>3+n,故此选项正确;

B、；.3加>3”,故此选项正确；

C、故此选项不正确；

m/7

D>故此选项正确；

故答案选：C.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，性质的熟练运用是解题的关键.

19.（2020•福建宁德•八年级期中）如果那么下列各式中正确的是（）

A.a—3<b—3B.—<—C.—3ci<—3bD.—a+2>—b+2

33

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的三个性质即可完成.

【详解】

A,由a泌及不等式的性质1得：a-3>b-3,故错误；

B.由。翅及不等式的性质2得：故错误；

C.由及不等式的性质3得：-3a<-幼，故正确；

D.由a»及不等式的性质2得：—a<—b,由不等式性质1得：—a+2<—b+2,故错误；

故选：C

【点睛】

本题考查了不等式的三个性质，熟练掌握不等式的三个性质并正确应用是关键，特别是应用不等式的性质3

时，不等号的方向一定要改变.

20.（2022・上海•七年级期中）下列不等式一定成立的是（）

32

A.4a>3aB.-b>-2bC.3-x<4-xD.—>—

cc

【答案】c

【解析】

【分析】

A.根据不等式的性质，不等式两边都减去一个式子3”，得a>0,判断即可；

B.根据不等式的性质，不等式两边都加上一个式子24得b>0,判断即可；

C.根据不等式的性质，不等式两边都加上x,得3V4,判断即可；

D.不等式两边都减去上，得->0,判断即可.

cc

【详解】

A.不等式两边都减去3a,得“>0,所以当“却时不等式不成立，故本选项错误;

B.不等式两边都加上2b,得b>0,所以当后0时不等式不成立，故本选项错误；

C.不等式两边都加上x,得3>4,恒成立，故本选项正确；

D.不等式两边都减去上，得上>0,所以当c<0时不等式不成立，故本选项错误.

CC

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，解本题的关键是掌握不等式的性质，要特别注意的给不等式两边同时乘以

或除以字母时，要判断要乘以或除以的字母与0的关系.

21.（2021•福建省诏安县第二实验中学八年级阶段练习）已知4>3,则下列结论：①4a>3。；②4+。>3+”；

③4一。>3-a,正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质解答即可得出结论.

【详解】

解：当时，4a>3a,当a=0时，4a=3。，当。<0时，，4a<3«,故①错误，不符合题意；

V4>3,：.4+a>3+a,故②正确，符合题意：

V4>3,：.4-a>3-a,故③正确，符合题意.

故正确的结论有②③.

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，掌握并能正确运用不等式的基本性质是解题的关键.

22.（2019•内蒙古鄂尔多斯•七年级期末）若a>b,则下列不等式不一定成立的是（）

A.a（相2+］）>.相2+［）B.-2a<-2b

C.a2>b2D.a+m>h+m

【答案】C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质逐项判定即可解答.

【详解】

解：A.根据不等式的基本性质2,不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故。（加2+1）>b

（w2+l）一定成立，故此选项不合题意；

B.根据不等式的基本性质2,不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，故一定成立，

故此选项不合题意；

C.根据不等式的基本性质，若a=0,b为负数,则不成立，故若则不一定成立，故此选

项符合题意.

D.根据不等式的基本性质I,不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，故a+加功+机一定成立，

故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】

主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与

否，以防掉进"0”的陷阱.不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

23.（2022年浙江省温州市初中毕业升学考试模拟检测数学试题）若》<九且（a-3）x..（a-3）y,则。的取

值范围是（）

A.a>3B.a<3C.«..3D.a,,3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质3,可得a-340,即可求解

【详解】

解：x<y,且（”_3）x..（a_3）y,

•••a-3<0

即a43

故选D

【点睛】

本题考查了不等式的性质3,掌握不等式的性质是解题的关键.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以

（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

二、填空题

24.（2020.浙江温州.八年级阶段练习）请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：.

【答案】2x+3>5

【解析】

【分析】

x的2倍为2无，与3的和为2r+3,和大于5即2x+3>5,据此可得.

【详解】

解：由题意得，2x+3>5.

故答案为：2r+3>5.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关

系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.

25.（2022•福建•三明一中八年级阶段练习）据气象台报道，2022年2月20日我区最高气温4C,最低气温

3℃,则当天气温f（℃）的变化范围是；

【答案】3</<4

【解析】

【分析】

根据最高气温、最低气温，可得答案.

【详解】

解：：我区最高气温4℃,最低气温3℃,

二34f44；

故答案为：3<r<4.

【点睛】

本题考查了不等式的定义，利用不等号连接的式子是不等式.

26.（2021•上海徐汇・期中）用不等式表示：。与6的一半的和是负数.

【答案】a+x<0

【解析】

【分析】

直接根据题意列不等式即可.

【详解】

a与b的一半的和是负数用不等式可以表示为a+g<0.

【点睛】

本题考查的是列不等式；解答本题的关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，正确列出不等式.

27.（2022•浙江嘉兴•八年级期末）根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为.

【答案】3x<4

【解析】

【分析】

根据题意，表示出x的3倍，即可求解.

【详解】

解：“X的3倍小于4”，可表示为3x<4

故答案为：3x<4

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式.

28.（2022•全国•八年级）①一2V0：②2r>3；③43；@2^—1；⑤/一5中是不等式的有（填序号）.

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】

根据不等式的定义用“>“、‘？’、"V"、"0"、¥''等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断5个

式子即可.

【详解】

解：依据不等式的定义用不等号连接表示不相等关系的式子是不等式，分析可得这5个式子中，①②③⑤

是不等式，④是代数式；

故答案为：①②③⑤.

【点睛】

本题属基本概念型的题目，考查不等式的定义，注意在-5这个式子，难度不大.

29.（2022・江苏•七年级专题练习）“x的g与4的差是负数”用不等式表示：.

【答案】—x-4<0

【解析】

【分析】

根据负数小于零列不等式解答即可.

【详解】

解：由题意得

*4<0,

故答案为：1,r-4<0.

【点睛】

本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是

要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别.

30.（2022・江苏•七年级专题练习）x的1与2的差不小于5,用不等式表示为.

【答案】1%-2>5

【解析】

【分析】

直接利用号的g”即gx,再利用差不小于5,即大于等于5,进而得出答案.

【详解】

解：由题意可得：1x-2>5.

故答案为：1x-2>5.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键.

31.（2022♦河北石家庄•一模）若根>〃，则-2加-2n（填>,<）

【答案】<

【解析】

【分析】

根据不等式的性质进行求解即可.

【详解】

解：*/m>n

-2m<—2〃

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了不等式的性质.解题的关键在于明确不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变.

32.（2021.浙江衢州.九年级阶段练习）若“»，则--\b（填不等号）

【答案】<

【解析】

【分析】

利用不等式的性质解答即可得到结果.

【详解】

解：

.11,

..—a<—b.

22

故答案为：<.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键.不等式的基本性质：不等式两边

加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向

不变.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

33.（2021•四川・雅安市名山区车岭镇初级中学八年级期中）用或“〉”填空：⑴若a-2>6—2,则

ab；（2）若一<一,则ab；（3）若一4“>—4b,则ab；

33

【答案】><<

【解析】

【分析】

（1）运用不等式性质1.不等式两边同时加上2,解答；

(2)运用不等式性质2,不等式两边同时乘以3,解答；

(3)运用不等式性质3,不等式两边同时除以-4,解答.