北师大初一数学《有理数及其运算》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.（•益阳）-二—的相反数是（）

2016

A.B.-C.-J—D.

20162016

2.（•荷泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互

为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）

・・“♦一♦

MPNQ

A.点MB.点NC.点PD.点Q

211

3.在Y-2）,-|-7|,-+1|,|--|,-（+—）+,负数的个数是（）

35

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可

表示（）

A.2.02X102人B.202X1()8人C.2.02Xl()9人|).2.02Xl(V°人

1.

5.若7<a<0,则a,―,a?从小到大排列正确的是()

a

A.a*2<a<—B.a<—<a2C.—<a<a2D.a<a2<—

aaaa

6.在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是（)

A.6B.-6C.-1D.-1或6

7.a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（）

b0a

A.a+b>0B.ab>0C.—>0D.a-b>0

b

8.已知有理数a,人在数轴上对应的两点分别是A,B.请你将具体数值代入a,b,充分

实验验证：对于任意有理数a,b,计算A,B两点之间的距离正确的公式一定是（

A.h—aB.|Z?|+|a|C.\b\-\a\D.\b-a\

二、填空题

9.（•湖州）计算：23X4（1）2=

2

10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：（规定向上为正，向下为负，单位：厘

米）+3,0,-1.+5,-4,+2,~3,~2,那么这里0的含义是.

11.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米，用

科学记数法表示出暗星到地球的距离为千米.

12.凶=7,则》=；|-x|=7,则兀=.

13.己知实数a,在数轴上如下图所示，则.

a01

14.若|a-2|+|b+3]=0,则3a+2b=.

15.一（-2『-1=.

16.（春•江苏校级期末）观察下列各式：3=3,3=9,3=27,3=81,3=243,3=729,3=2187-

你从中发现底数为3的幕的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：3的个位数

字是.

三、解答题

17.计算：

(1\

(1)-72+2X(-3)2+(-6)^---

\3,

(2)-14-(1-0.5)X1X[2-(-32)]

(3)21-49.5+10.2-2-3.5+19

3丫

(4)

2>

18.已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且x的绝对值为3,求2x?-（ab-c-d）+|ab+3|

的值.

19.（•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：

一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度;全年用电量在2880

度到4800度之间（含4800）,超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全

年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度.小敏家年

用电量为3000度，则年小敏家电费为多少元？

20.先观察下列各式：

1x43（4》4x73（41）7x1031710J''〃（"+3）n+3j

1

根据以上观察,计算:二+，+」+…H-----------------的值.

1x44x77x102005x2008

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C

【解析】解::-二^与二一只有符号不同,

20162016

」的相反数是二一.

20162016

故选：C.

2.【答案】C.

【解析】•.•点M,N表示的有理数互为相反数原点的位置大约在0点，

—・・・-----・・>

MOPN0

.•.绝对值最小的数的点是P点，故选C.

3.【答案】C

【解析】负数有三个，分别是：-|-7|,-|+1|,一(+口)

5

4.【答案】D

5.【答案】C

【解析】由-l<a<0可知a?为正数，而其它两数均为负数，且|a所以a>L,

所以a2,

a

6.【答案】D

(解析】2.5+3.5=6,2.5-3.5=-1

7.【答案】D

【解析】由图可知，a、b异号，且b的绝对值较大.

8.【答案】D

【解析】按正负对a，8分类讨论.

二、填空题

9.【答案】2.

【解析】23X(1)2=8义3=2.

24

10.【答案】水位无变化

11.【答案】1.02X1014

12.【答案】±7,±7

13.【答案】1-a

【解析】由图可知：aT<0,所以|a-1|=-(aT)=1-a

14.【答案】0

【解析】V|a-2|+|b+3|=0,，a-2=0,b+3=0,即a=2,b=-3.，3a+2b=6-6=0；

15.【答案】-5

【解析】-(-2)2-1=-4-1=-5

16.【答案】1

【解析】解:3'=3,32=9,3=27,3'=81,

3=243,36=729,3=2187,...,

4-4=504,

；.3的个位数字与第4个数的个数数相同，是1.

故答案为：1.

三、解答题

17•【解析】

解：(1)原式=-49+2x9+(-6)年

=-49+18+(-6)x9=-49+18-54=-85

V2J32366

(3)原式=[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]=50.2-55=-4.8

⑷

272士工+出27

=----x一±1x0=0

825194325)8

18.【解析】解：将ab=l,c+d=0,|x1=3代入所给式子中得：2X32-1+|1+31=21.

所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=21

19•【解析】

解：根据题意得:2880X0.48+(3000-2880)X0.53=1446(元)，

则年小敏家电费为1446元.

20•【解析】

1111111

-----1-----—+—-------1--------F

44771020052008

1、

2008；

12007

—X-----------

32008

669

2008

《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解有理数及其运算的意义，提高运算能力.

2.能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意

义，会求有理数的相反数与绝对值.

3.体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单

的实际问题.

4.会用科学记数法表示数.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1.有理数的分类：

（1）按定义分类：（2）按性质分类:

正整数

非负整数自然数

整数（零v正有理数

非正整数

负整数-非负数

分数｛正分数有理数《零

负分数非正数

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量;负有理数

（2）有理数"0”的作用:

作用举例

表示数的性质0是自然数、是有理数

表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

o°c表示冰点

表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

要点诠释：(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如

TC.

(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.

要点诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点

是关于原点对称的.

(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.

(3)多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若

有奇数个时，化简结果为负.

4.绝对值：

(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.数

a的绝对值记作同.

(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

要点二、有理数的运算

1.法则：

(1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两

数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0

相加，仍得这个数.

(2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).

(3)乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都

得0.

(4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+b=a•工(bWO).

b

(5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次基是负数，负数的偶次事是正数；②正数的任何次基

都是正数，0的任何非零次辱都是0.

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

(1)多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：-[-(-3)]=-3,

-[+(-3)]=3.

(2)有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积

的符号，例如：(-3)X(—2)X(—6)=—36,而(-3)X(—2)X6=36.

(3)有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕为负；指数为

偶数，则哥为正，例如：(一3)2=9,(-3)3=-27.

2.运算律:

(1)交换律：①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；

(2)结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：(ab)c=a(be)

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac

要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：(1)数轴比较法；(2)法则比较法：正数大于0,0大于负数，

正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法.(4)作商比较法；(5)倒

数比较法.

要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中10,〃是正整数)，此种记法叫做科

学记数法.例如:200000=2x1()5.

【典型例题】

类型一、有理数相关概念

C1.若一个有理数的：⑴相反数；⑵倒数；(3)绝对值；⑷平方；(5)立方，等于它本身.则

这个数分别为(1);(2)；(3)；(4)；(5).

【答案】(1)0；(2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1

【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.

举一反三：

【高清课堂：有理数专题复习357133概念的理解与应用】

【变式】(1)-1*的倒数是；-1*的相反数是；-1*的绝对值是.

3---------3----------3------------

-(-8)的相反数是；-■!■的相反数的倒数是.

2

(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，贝卜5.8元的意义是；

如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.

(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学

记数法表示约为m/min.

2

(4)若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则3cd+：(a+b)=.

322

【答案】(1)——：1—；1~；_8：2(2)降价5.8兀，70.2兀；(3)375x1()3；(4)3；

C^2.(•杭州模拟)已知|x|=|-3],则x的值为.

【思路点拨】根据题意可知|x|=3,由绝对值的性质，即可推出乂=±3.

【答案】±3.

【解析】

解：V|-31=3,

/.|x|=3,

V|±31=3,

；・x=±3.

【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和-3的绝对值都为3.

.在下列两数之间填上适当的不等号:

20052006

20062007,

【思路点拨】根据“a-b>0,a-b=0,a-bVO分别得至a>b,a=b,a<b”来比较两数的大小.

【答案】<

【解析】

解法一：作差法

200520062005x2007-2006x20061八,20052006

由于------------=-------------------------=--------------<0,所以-----<-----

200620072006x20072006x200720062007

2006>1+2(k2007

解法二：倒数比较法：因为

2005J盛2006

.20052006

所rri以.-----<-----

20062007

【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.

举一反三：

【变式】（•宁德）有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）

A.a+b<0B.a-b<0C.a«b>0D.总>0

b

【答案】B.

类型二、有理数的运算

^^4.（•厦门）计算：10+8X（-L）2_2+工

25

【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.

【答案与解析】

解：原式=10+8xL-2X5

4

=10+2-10

=2.

【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算

括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算

律来简化运算.

举一反三：

【变式】计算：(1)(-2)xi-ix(-2)

22

(2)-24+|6-1O|-3X(-1)2006

【答案】解：(1)(-2)x1x(-2)=(-1)1x(-2)=(-1)x2x(-2)=4

⑵-24+|6-1O|-3X(-1)2006

=-16+4-3X1

=-15

类型三、数学思想在本章中的应用

.(1)数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a,-a,1的大小关系.

--1---1--1--->

a01

A.-a<a<lB.l<-a<aC.l<-a<aD.a<l<-a

(2)分类讨论思想：已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.

(3)转化思想：计算：卜35

【答案与解析】

解：(1)将-a在数轴上标出，如图所示，得至iJaVIV-a,所以大小关系为：a<l<-a.

所以正确选项为：D.

-----1---------»—1----1~~►

a01。

(2)因为|x|=5,所以x为-5或5

因为1。=3,所以y为3或-3.

当x=5,y=3时，x-y=5-3=2

当x=5,y=-3时，x-y=5-(-3)=8

当x=-5,y=3时，x-y=-5-3=-8

当x=-5,y=-3时，x-y=-5-(-3)=-2

故(x-y)的值为±2或±8

(3)|x(-7)=35x7+—x7=246-

l14J142

【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合一一“以形助数”

或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，

而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已

知”.

举一反三：

【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么？

【答案】解：当a>0时，|a|-a=a-a=O；

当a=0时，|a|-a=O-0=0；

当a<0时，|a|-a=-a-a=-2a>0.

所以，对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.

类型四、规律探索

6.将1,——,—»——,—»——»…，按一定规律排列如下：

23456

第1行

第2行

~~2T

第行_XJ__1_

3~~4T~~6

1_J_J__J_

第4行-

T~T~9Io

iii_ii

第5行

TT-1213~1415

请你写出第20行从左至右第10个数是.

【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律.

【答案】一旦

200

【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数,,所以第

20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数，所以第20行最后一个数的绝

对值应是一!一；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是-——,

210210

以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是-——.

200

【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律,

并将规律表示出来.

【巩固练习】

一、选择题

1.（•咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克

数记为负数.从轻重的角度看，最接近标准的是（）

-3.5+2.5-0.6位7

A.■一B.•一C.\―D.0♦

2.。一力与a比较大小，必定为（）.

A.a-b<aB.a-b>aC.a—b<aD.这要取决于b

3.下列语句中，正确的个数是（）.

①一个数与它的相反数的商为T；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；

③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若m<0<〃，则机〃（〃-加.

A.0B.1C.2D.3

4.已知|〃=2,\m-n\=n-m,则〃的值是（）.

A.-7B.-3C.-7或-3D.±7或±3

5.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm）,刻度尺上的“0cm”、“15cm”

分别对应数轴上的一3.6和X,则（）.

-3.60

P删啊加啊叫删"IHI啊唧啊脚跚叫制帆叫

Own1234567891011121314IS

A.9<x<10B.10<x<llC.11<X<12D.12<x<13

6.如图：

A~'B~CD_>

数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d,

且b-2a=9,那么数轴的原点对应点是（）.

A.A点B.B点C.C点D.D点

7.有理数a,b,c的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（）.

b~0c―.

A.a+b+c>QB.|a+Zj|<cC.|a-c|=|a|+cD.|/7-c|>|c-tz|

q_i_q+•••_i_q

8.记S“=q+a,+…+，令l=------------，称（为q,a,,…，an这列数的

n

“理想数”.已知q,a2,--%oo的“理想数”为2004,那么81%,a2,为oo的

“理想数”为（）.

A.2004B.2006C.2008D.2010

二、填空题

9.己知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②-a是负数；③a与-a必有一个是负数;

④a与-a互为相反数，其中正确的有________个.

10.（春•万州区期末）绝对值小于4,而不小于2的所有整数有

11.一种零件的尺寸在图纸上是7片队(单位：mm),表示这种零件加工要求最大不超过

,最小不小于•

12.(•巴中)1-0.31的相反数等于.

13.如图，有理数a1对应数轴上两点A,B,判断下列各式的符号：

a+b0；a-b0；

(«+b)(a-b)0；—牛----g-----i.»

ab(ab2+1)0.

bc

14.已知a,b,c满足(a+6)S+c)(c+a)=0,abc<0,则代数式二++ri■的值是____

同例lcl

15.某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃.若该地地

面温度为21℃,高空某处温度为-39℃,则此处的高度是千米.

16.观察下列算式：1x5+4=32,2x6+4=42,3x7+4=52,4x8+4=62,请你

在观察规律之后并用你得到的规律填空：―x-+=5()2.

三、解答题

17.(春•新泰市校级月考)计算：

(1)24+(-22)-(+10)+(-13)

(2)(-1.5)+4工+2.75+(-5!)

42

(3)(-8羽+(-7.5)+(-21-1)+(+3!)

772

(4)(-24)X(-2+W+L)

3412

18.(•燕山区一模)为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行.某地纯电动出租车

的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里

3元.小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多

少元？

19.已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1,a+b,a的形式，又可表示为0,b

a

的形式，且X的绝对值为2,求3+。)20°8+(。力2009-3+6一。0+/的值.

20.一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整

碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约

重10克.现在请你来计算

(1)一粒大米重约多少克？

(2)按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，

一年大约能节约大米多少千克？(用科学记数法表示)

(3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖得人民币多少元？(用

科学记数法表示)

(4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿

童上一年学？

(5)经过以上计算，你有何感想和建议？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】-0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|-3.5|,，-0.6最接近标准，故选：C.

2.【答案】D

【解析】当人为。时，a-b=a.当〃为正数时，a-h<a.当人为负数时，a-b>a

3.【答案】B

【解析】只有④正确，其他均错.

4.【答案】C

【解析】n>m,n-+2,m--5,所以加+〃=-7或一3

5.【答案】C

【解析】x-(-3.6)=15,x=11.4

6.【答案】C

【解析】由图可知：力一。=4,又b—2a=9,所以a=—5

7.【答案】C

【解析】由图可知：a<人<0<c,且|c-4=c-a表示数轴上数。对应点与数c对应

点之间的距离，此距离恰好等于数。对应点到原点的距离与数c对应点到远点

的距离之和，所以选项C正确.

8.【答案】C

【解析】；a',%,…，％oo的“理想数”为2004,

S1+S2++.OQ=2()O4,

500

S[+§2+-+S5QQ=2004x500.

f

8,《，%,…，a50G中，s：=8；S；=8+S,；S3=8+S2；…，S；。。=8+S5Go

/.8,%,a2,­■■,与00的理想数为：

8+8+Sj+8+S2+8+S3++8+S50Q8x501+S1+S2++^500

501-501—501

8x501+2004x500“八。

=-----------------=2008

501

二、填空题

9.【答案】1

【解析】不论a是正数、0、负数，a与-a都互为相反数，.•.④正确.

10.【答案】±3,±2.

【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于4而不小于2的所有整数±3,+2.

11.【答案】7.05mm,6.98mm

【解析】7+0.05=7.05mm,7-0.02=6.98mm.

12.【答案】-0.3

【解析】解：:I-0.3|=0.3,

0.3的相反数是-0.3,

.••I-0.3|的相反数等于-0.3.

故答案为：-0.3.

13.【答案】>>>>>,<

【解析】由图可得：特殊值法或直接推理可得：ab<Q,a+b>0,

a-b>0,ab2+1>0

14.【答案】1

【解析】(a+6)S+c)(c+a)=O,又Mc<0可得：三数必一负两正，不防设：

a>0,b=-a<0,c>0,代入原式计算即可.

15.【答案】10

【解析】21-(-39)+6X1=10(千米).

16.【答案】48x52+4=5()2

【解析】观察可得规律为：〃X(〃+4)+4=(〃+2)2.

三、解答题

17•【解析】

解：(1)24+(-22)-(+10)+(-13)

=24-22-10-13

=2-23

=-21；

(2)(-1.5)+4工+2.75+(-5!)

42

=-1.5-5.5+4.25+2.75

=-7+7

=0；

(3)(-83)+(-7.5)+(-21A)+(+3])

772

=-8旦-219-7.5+3.5

77

=-30-4

=-34；

(4)(-24)X(-2+3+L)

3412

=-24X(--2)-24X.3-24XJ_

3412

=16-18-2

=-4.

18.【解析】

解：由3V10V15,得到车费为2[10+2(10-3)]=48(元)，

则共付车费48元.

b

19•【解析】解：由1,a+b,a与0,—,b相同，

a

由2得：分母有。。0,所以。+6=0

a

又由三数互不相等，所以8=1,2=a

a

化简得：a=—1,b=\,a+b=O,ab——\

：.(a+b)2OOS+(ab)2m-(a+b-ab)+x2=0-\-1+4=2.

20•【解析】

解：(1)104-500=0.02(克)

答：一粒大米重约0.02克.

(2)0.02X1X3X3651000=2.847X107(千克)

答：一年大约能节约大米2.847Xl(f千克.

(3)2X2.847X10=5.694X107(元)

答：可卖得人民币5.694X1()7元.

(4)5.694X1074-500=l.1388X105

答：可供11388名失学儿童上一年学.

(5)一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人.所以提倡节约，杜绝

浪费，我们要行动起来.

《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解有理数及其运算的意义，提高运算能力.

2.能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对

值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.

3.体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解

决简单的实际问题.

4.会用科学记数法表示数.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1.有理数的分类：

（1）按定义分类：（2）按性质分类:

「正整数

非负整数（自然数）

「整数零正有理数

1非正整数

育理数《I负整数非负数

分数正分数

I二f负分数有理数

非正数

要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量;负有理数

（2）有理数“0”的作用：

作用举例

表示数的性质0是自然数、是有理数

表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用。表示

表示某种状态

0℃表示冰点

表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

要点诠释：(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理

数，如万.

(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.

要点诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，

这两点是关于原点对称的.

(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.

(3)多重符号的化简：数字前面”号的个数若有偶数个时，化简结果为

正，若有奇数个时，化简结果为负.

4.绝对值：

(1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值

是0.数a的绝对值记作同.

a(a>0)

|a|=«0(a=0)

-a(a<0)

(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

要点二、有理数的运算

1.法则：

(1)加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③

一个数同0相加，仍得这个数.

(2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).

(3)乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相

乘，都得0.

(4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+b=a•工(bWO).

b

(5)乘方运算的符号法则：①负数的奇次嘉是负数，负数的偶次基是正数；②正数的任

何次幕都是正数，0的任何非零次辱都是0.

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减：②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

(1)多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：(-3)]=-3,

-L+(-3)>3.

(2)有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果

中积的符号，例如：(—3)X(—2)X(—6)二一36,而(-3)X(—2)X6=36.

(3)有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕为负；指

数为偶数，则幕为正，例如：(一3)2=9,(-3)3=-27.

2.运算律：

(1)交换律：①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；

(2)结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：(ab)c=a(bc)

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac

要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：(1)数轴比较法；(2)法则比较法：正数大于0,0大

于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法.(4)作商

比较法；(5)倒数比较法.

要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中〃是正整数)，此种记法

叫做科学记数法.例如：200000=2xl05.

【典型例题】

类型一、有理数相关概念

©’1.已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+(a-1)2=0,求

a'~(x+y+mn)a+(x+y)z009+(-mn)201"的值.

【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y=O,反过来也成立.

(2)若有理数m与n互为倒数，则mn=l,反过来也成立.

【答案与解析】

解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，(a-l)?》。，

所以x+y=O,mn=l,a—1,

所以a-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)20,0

=a2-(0+1)a+O^+M)2010

=a2-a+l.

原式=/T+1=1

【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.

举一反三：

【高清课堂：有理数的复习与提高357129复习例题2】

【变式1】选择题

(1)已知四种说法：

①|a|=a时，a>0；|a|=-a时，a<0.②Ia|就是a与-a中较大的数.

③|a|就是数轴上a到原点的距离.④对于任意有理数，-|a|WaW|a|.

其中说法正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

(2)有四个说法:

①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数

③有最小的正有理数④没有最大的负有理数

上述说法正确的是()

A.①@B.③④C.②④D.①②

(3)已矢l1(-ab)3>0,贝I」()

A.ab<0B.ab>0C.a>0且b<0D.a<0且b<0

(4)若|xT1+|y+3|+|z-5|=0,则(x+1)(y-3)(z+5)的值是()

A.120B.-15C.0D.-120

(5)下列各对算式中，结果相等的是()

A.-a"与(-a)"B.-a'与|-a|"C.[(_a)2]3(-a3)2D.(ab)‘与ab'

【答案】(1)C；(2)C；(3)A；(4)D；(5)C

【变式2】(•甘南州)在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约

27000000个，将这个数用科学记数法表示为(