北京市昌平区2022高三数学上学期期末质量抽测试题

北京市昌平区2022高三第一学期期末质量抽测

数学试卷

2023.1

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

={x|—lWx<2},8={x|x>0},则集合406=()

1.已知集合“二

A.(-00,2)B.[-L+OO)

C.（0,2）D.[T2)

2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是（a,1）,且满足（1—i）・z=2,则。=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函数中,是奇函数且在定义域内是减函数的是（)

1

A.y=-B.y=-x3

X

y=logx

C.丁=中|D.1

2

4.若a>b>0,c>d>0,则一定有（）

ahabahab

A.—>—B.一<一C.—>—D.—<—

cdcddcdc

已知二项式（x+-^的展开式中L的系数是10,则实数a=（）

5.

I

、XJX

A.-1B.1C.-2D.2

4

6.若sin（兀一a)=--,cosa>0,则tana二()

3344

A.—B.----C.—D.---

4433

7.在平面直角坐标系xQy中，角a与角夕均以Qx为始边，贝心角a与角0的终边关于V轴

对称"是"sina=5皿1”的（）

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

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8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适

当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到

小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器

中从顶部下落，则小球落入。区的路线数有（）

9.设抛物线C:/=2px（p>0）的焦点为厂，准线为/.斜率为6的直线经过焦点少，交抛

物线C于点A,交准线/于点8（48在x轴的两侧）.若|/3|=6,则抛物线的方程为（）

A.y1-lxB.y2=3x

C.y2=4xD.y2=6x

io.己知向量£,就满足问=JI,同=i，G&=7,仅—斗伍—B）=0,则口的最大值是

（）

A.V2-1B.

2

c.刨D.6+1

2

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知数列｛%｝中，q=2,%+|-2%=0（〃eN"）,则数列｛/｝的通项公式为

12.已知双曲线工-二=1的焦点为大，居，点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程

45

为；若|?制=4,则|尸周=.

13.在A/IBC中，a=8,c=7,cosA=—,则6=,NC=.

7

第2页/共共页

14.若直线歹=履+2与圆(x—l)2+/=a有公共点，则。的最小值为.

15.已知正三棱锥P-N5C的六条棱长均为凡。是底面“8C的中心，用一个平行于底面

的平面截三棱锥，分别交尸4P8,PC于4,4,G点(不与顶点尸，4民C重合).

给出下列四个结论：

①三棱锥。-48cl为正三棱锥；

②三棱锥P-ABC的高为逅”；

3

③三棱锥。-48cl的体积既有最大值，又有最小值；

必=2V

O-A^=j_

PA3VP_ABC27

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/.(x)=Jisin2s-cos2ox(0<o<2),再从条件①、条件②、条件③中选择

一个作为已知，

(1)求/(x)的解析式；

(2)当xe0,|时，关于x的不等式/(x)W,〃恒成立，求实数，〃的取值范围.

条件①：函数/(x)的图象经过点(g,2)；

条件②：函数/(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数/(X)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为楙.

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

17.不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12

款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测,本次选取了食物接触材料安全项目中与消

费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性

、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐

磨性”检测结果的数据如下：

检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性

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1品牌1I级I级

2品牌2II级I级

3品牌3I级I级

4品牌4II级II级

5品牌5I级I级

6品牌6II级I级

7品牌7I级I级

8品牌8I级I级

9品牌9II级口级

10品牌10II级II级

11品牌11口级n级

12品牌12II级1级

（i级代表性能优秀，n级代表性能较好）

（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能

都是I级的概率;

（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是I级的品牌个数，求随机变

量X的分布列和数学期望；

（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设y为性能都是I级的品牌个数，比较随

机变量x和随机变量y的数学期望的大小（结论不要求证明）.

18.如图，在多面体Z8C-46cl中，侧面工644为矩形，平面CC（±

平面=/C=4,CC]=2,Z8=3.

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4

Bi

G

c

B

(1)求证：CG〃平面4844；

(2)求直线4cl与平面所成角的正弦值:

(3)求直线到平面ABC,的距离.

19.已知椭圆。：m+/=1(4">0)过点(2,0),且离心率是乎.

(1)求椭圆。的方程和短轴长;

(2)已知点尸(1,0),直线/过点(0,3)且与椭圆C有两个不同的交点48,问：是否存在

直线/,使得是以点尸为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线/的方程；若不存在,

说明理由.

20.已知函数/(x)=e*+me~x+(m-l)x,m<0.

(1)当俄=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性;

(3)当—eWm<—l时，证明：对任意的》6(0,+8),/。)2—2恒成立.

fx*[2。(12,、

21.已知数列｛4｝满足：qeN,q<24,且见+|=1"4(〃=1,2,…).记集

合V=｛a“lneN,J.

(1)若q=2,写出集合"的所有元素；

(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;

(3)求集合”的元素个数的最大值.

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数学试卷参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，

1.【答案】C

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意4cs={x[0<x<2}.

故选：C

2.【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求得z=l+i,结合复数的几何意义可得z=a+i,由此求得

答案.

【详解】由(l-i)-z=2得2=占=@/=1+「

又复数z对应的点的坐标是即z=a+i=1+i,.•.a=l,

故选：A

3.【答案】B

【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项.

【详解】对于A,设/(x)=g,贝=⑴=,

故/(x)=:在定义域内不是减函数，故A错误.

对于B,设g(x)=—x3,其定义域为R且g(_x)=_(—x)3=x3=_g(x),

故8(力=一X3为奇函数，而y=x，为R上的增函数，

故g(x)=-/为R上的减函数，故B正确.

对于C,设〃(x)=x|x|,因为〃(1)=1<4=〃(2),故〃(x)=x|x|在定义域内不是减函数,

故c错误.

对于D,N=l°g广的定义域为(0,+8),故该函数不是奇函数，故D错误.

故选：B

4.【答案】C

【分析】利用特例法，判断选项即可.

【详解】解：不妨令。=3,6=Lc=l,a=,，

3

第6页/共共页

则@=3,2=3,.'A、B不正确；

cd

巴=9,2=1,r.D不正确，C正确.

dc

故选：C.

【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题.

5.【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式卜+@）的展开式为=屋仁―/2"

令5—2r=—1,解得r=3,

所以/,优=10/=]O,q=i

故选：B

6.【答案】D

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

4

【详解】sin（7i-<z）=sina=--,cosa>0,

所以cosa=-sin2a=—，

cosa3

故选：D

7.【答案】A

【分析】判断命题“角a与角£的终边关于夕轴对称”和“sina=sin/?”之间的逻辑推理关系,

可得答案.

【详解】由题意知，角a与角厂的终边关于J轴对称时，则&+夕=兀+2E,左eZ,

故a=兀一/+2版,后€Z,则sina=sin（兀一/7+2E）=sin£/eZ,即sina=sin〃：

当a=P+2E#eZ时，此时sina=sin/7,角a与角，的终边不关于V轴对称，

即“sina=sin/?”成立不能得出“角a与角£的终边关于夕轴对称”成立，

故”角a与角§的终边关于V轴对称”是“sina=sin尸”的充分而不必要条件，

故选：A

8.【答案】C

【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项.

【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1;

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第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1,

第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+2,2+1,1即为1,3,3,1,

第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+3,3+3,3+1,1即为1,4,6,4,1,

第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+4,4+6,6+4,4+1,1即为1,5,10,10,5,1,

第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1即为1,6,15,20,15,6,1,

故小球落入D区的路线数有20条.

故选：C.

9.【答案】B

【分析】根据直线Z8的斜率以及|4a=6求得P,从而求得抛物线的方程.

7T

【详解】直线幺8的斜率为⑺，倾斜角为!，

过A作4/7_L/,垂足为，，连接

由于==所以三角形/〃/是等边三角形,

所以/川=；|/用=3,

冗13

由于/人“8=—，所以F=一|”周=一，

622

所以抛物线方程为必=3x.

10.【答案】C

【分析】把平移到共起点以B的起点为原点，B所在的直线为x轴，B的方向为x轴的

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正方向，求出痴的坐标，则根据伍-个伍-B)=o得"的终点得轨迹，根据.的意义求

解最大值.

【详解】把平移到共起点，以B的起点为原点，B所在的直线为x轴，B的方向为x轴

的正方向，见下图，设/=&3^=2,双=入则"一2=%,工—否=就

又.•.4C_L8C则点c的轨迹为以Z8为直径的圆，又因为

同=后,阿=1,(词=?,所以8(1,0)4(11)故以AB为直径的圆为

(x-l)2+^-1j=],所以忖的最大值就是以43为直径的圆上的点到原点距离的最大

值，所以最大值为

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.【答案】%=2"

【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.

【详解】数列｛4｝中，%=2,%+「2a,=0(〃eN*)

则。,,H0,否则与％=2矛盾，

故誓=2,即数列｛%｝为首项为2,公比为2的等比数列，

所以%=2",

故答案为：an=T

12.【答案】①.v=±与②.8

2

【分析】求得a,6,由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得忸6|

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【详解】依题意a=2,b=右，所以双曲线的渐近线方程为y=土正x，

由于|尸凰=4=2%所以P在双曲线的左支,所以|P闾=2°+|尸凰=8.

故答案为：V=+^-X!8

2

13.【答案】①.5②.(##60°

【分析】根据余弦定理可求b,再根据余弦定理看可求/C.

【详解】由余弦定理可得64=b2+49-2xbx7x—=/—2b+49,

7

故—2b—15=0,故b=—3(舍)或6=5,

64+25-4917t

故cos/C;一>=上,而/C为三角形内角，故NC='.

2x5x823

故答案为：5,.

3

14.【答案】5

【分析】求出直线丁=任+2所过的定点，当点(0,2)在圆上或圆内时，直线丁=丘+2与

圆(x—l)2+/总有公共点,列出不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知左eR,直线歹=代+2过定点(0,2),

当点(0,2)在圆上或圆内时，直线y=去+2与圆(x-Ip+/=凡。>o总有公共点，

即(0-1尸+2?<a,:.a>5,

即a的最小值为5,

故答案为：5

15.【答案】①②④

【分析】建立正四面体模型，数形结合分析.

【详解】如图所示

..•用一个平行于底面的平面截三棱锥,

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且P-48C为正三棱锥，O是底面-8C的中心

.•.三棱锥。为正三棱锥，故①正确：

•••正三棱锥P-ABC的六条棱长均为。，。是底面“BC的中心，

三棱锥P一ABC的高为尸。，

的高为C。，且CD=Ba,OC=ZcD=^a,

233

•••PO=\a1-=^-a,故②正确

\I3J3

，•••4,4，G点不与顶点尸，/,6,c重合，

V6,

—a一h/r

4A=X£(0,4),设。一4耳。］的高为〃，则一二3,得，7=(a—X),

。。63

——a

3

2

/(x)=—8£=}“环/=~~x-sin1-y^(x-a)=寻％_x),

f'(x)=^-ax-^-x2=-^-x(2a-3x)>在(0,?)上/"(x)>0，(=,“)上/、'(x)<0,

641233

所以/(x)在(0,g)上递增，(g,a)上递减，故在(0,。)上有最大值，无最小值，故③错误:

当外=*时，点4,4，G分别为线段PA,PB,PC的三等分点，

P43

故④正确；

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

TT

16.【答案】(1)/(x)=2sin(2x一一)；(2)[2,+a)).

6

、

JT/兀

【分析】(1)化简/(x)=2sin(2(yx-2),若选①，将点彳,2代入求得①=1,可得答

6133/

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案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得&=1,可得答案；选②，由函数的最小

正周期可确定0=1,可得答案；

(2)由xe0,[确定学]，从而求得/(X)的范围，根据不等式恒成立即可

_2」666

确定实数〃?的取值范围.

【小问1详解】

/(X)=6sin26yx-cos26yx=2sin(2&)x--^)；

选①：函数/(x)的图象经过点(三,2),则25沦(20乂(-*=2,

所以26yx二一二=—+2kn,keZ,则①=l+3k,keZ,

362

由0＜。＜2,可得。=1,则/(x)=2sin(2x-.；

选②：函数/(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，

即/(x)=2sin(2ox-3)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，

6

JT

则0=1,贝!l/(x)=2sin(2x——).

6

选③：函数/.(X)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为万，

2兀

则函数的最小正周期为兀，故2@=—=2,.・.G=1,

71

故/(x)=2sin(2x--).

【小问2详解】

当xw。,彳时，2%一/w[-]乎]，则sin(2x—四)w[—,1]»

.2」66662

故/(x)=2sin(2x—U)e[—1,2],

6

又当xe0弓时，关于x的不等式/(x)W7〃恒成立，故加22,

即实数机的取值范围为[2,+8).

17.【答案】(1)—

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(2)

X012

3

P

555

£（X）=1

（3）E（y）＜£（x）

【分析】（1）直接计算事件发生概率：

（2）X可能取值为0,1,2,分别计算出概率，再列分布列，计算期望值;

（3y可能取值为0,1,2,分别计算出概率，计算期望值，再比较大小.

【小问1详解】

“不粘性”性能都是I级的品牌有5个，

记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是I级，

C15

则P(4)=|

33

【小问2详解】

前六个品牌中性能都是I级的品牌有3个，X可能取值为0,1,2,

p(x=o)=

5

3

P(X=1)=

5

2

p(X=2)=

5

.•・X分布列为

X012

3£

P

555

【小问3详解】

后六个品牌性能都是I级的品有2个，Y可能取值为0,1,2,

「22

产『。）=才子

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pgb等4

p（y=2）爷q；

.•.y数学期望为

aQi2

£（r）=Ox-+lx—+2x—=

v7515153v7

18.【答案】（1）证明见解析;

⑶比

5

【分析】（1）先证明平面NBC,进而证明//〃CG，从而根据线面平行的判定定

理证明结论：

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面280的法向量,

根据空间向量的夹角公式即可求得直线4G与平面所成角的正弦值;

（3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点4到平面N8G的距离，即可

求得直线44到平面Z8G的距离.

【小问1详解】

证明：由题意C/1平面C4u平面Z8C,故平面Z8C人平面

又侧面Z844为矩形，故力/_LZ8,

而N/u平面Z844平面NBCc平面工844=46，

所以//工平面又C£J■平面N8C,

所以z/〃CG,而z/u平面CGa平面/844，

故CG〃平面Z844.

【小问2详解】

因为C平面/8耳4，Z8u平面故CA1AB,

而Z/1平面/BC,

故以/为坐标原点，分别以的方向为X轴，y轴，Z轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系，

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z

因为AAX—AC-4,CC}=2,AB=3,

则力(0,0,0),8(3,0,0),C(0,4,0),C,(0,4,2),A}(0,0,4),

则AB=(3,0,0),AC{=(0,4,2),福=(0,4,-2)

n-AB=0

设平面/BQ的法向量为石=(x,y,z)，贝i"_.,

n-AC}=0

3x=0_

即3+2Z=。'令、=L则〃=(0/，一2)，

设直线4G与平面ABC,所成角为仇。€[0,学，

l।•八।/,/,\n,A.C,I84

则sin0=\cos〈〃,4G〉=一_L_L=-7=——产=—.

|〃114Gl275x755

【小问3详解】

因为侧面ABBH为矩形，所以/蜴//AB,

而u平面Z8C,44Z平面Z8C,故同4〃平面ABC,

则直线44到平面ABC,的距离即为点4到平面ABC,的距离，

福=(0,4,-2),平面ABC,的法向量为3=(0,1,—2),

故点4到平面ABC｝的距离为d=-~?=忑=飞一，

即直线44到平面ABC,的距离为竽.

19.【答案】(1)—+^=1,2vL

42

(2)存在，直线/:x=0.

【分析】(1)由题意椭圆过点(2,0)可得。=2,根据离心率求得c,继而求得6,可得答案.

(2)假设存在直线/,使得是以点P为顶点的等腰三角形，讨论直线斜率是否存在

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的情况，存在时设出直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，设的中点为点。,

根据题意可得左“BX的°=-1,化简计算，求得上的值，进行判断，可得结论.

【小问1详解】

由题意知椭圆。：马+，=l（a>6>0）过点（2,0）,且离心率是

则。=2,且3=立~,：.c=6，S=a"-c2=2,

a2

故椭圆。的方程为:+券=1,短轴长为2b=2后.

【小问2详解】

假设存在直线/,使得AP4B是以点P为顶点的等腰三角形，

由于直线/过点（0,3）,当直线斜率不存在时，直线/为x=0,

此时48为椭圆的短轴上的两顶点，此时JAB是以点P为顶点的等腰三角形;

当直线/斜率存在时，设直线方程为丁=任+3,

y=Ax+3

联立\x2v2，得（2左2+1）x2+12履+14=0,

—+—=1

142

当直线歹=丘+3与椭圆C有两个不同的交点46时,

7

该方程八=（12左）2—4x14（2左2+1）>0,整理得上2>—,

4

设ZU，凹）,8（々,%）,

,12k14

则rlX.+x=---;——,X,X,=―;——，

1-22k2+\-2炉+1

所以凹+外=（履1+3）+（fcc2+3）-k（xx+x2）+6=--

设Z5的中点为点。，则。（当生■，无及），

6k3

即D（-2公+1'2公+1）则PDLAB,

当——3—=1时，尸。斜率不存在，

2k2+\

76k

此时48的斜率4为0,不满足《2>,，故--.-#1,

42k2+\

第16页/共19页

3

由题意可知=—1,即左X—2.+1—=-1,

----0-----1

2公+1

1,71

解得左=—1或4=一一，由于左2＞一，故左=—1或左=一一不适合题意，

242

综合以上，存在直线/:x=0,使得APZB是以点P为顶点的等腰三角形.

【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否存在的问题时.，一般是先假设存在,

然后设直线方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据

题设即AP/3是以点尸为顶点的等腰三角形，设的中点为点。，得到e8x%/1o=-l，

然后结合根与系数关系化简求值，即可解决问题.

20.【答案】(1)y=(e-l)x+l

(2)答案详见解析(3)证明详见解析

【分析】(1)利用切点和斜率求得切线方程.

(2)求得/'(x),对掰分类讨论，由此来求得/(x)的单调区间.

(3)结合(2)求得/(x)在区间(0,+8)上的最小值，由此证得结论成立.

【小问1详解】

当加=0时，/(x)=e*-xJ'(x)=ex-1,

/(O)=lJ〈l)=e-l,

所以切线方程为y-1=(e—l)x,j/=(e-l)x+l.

【小问2详解】

依题意，f(x)=ex+me~-Xx+(/n-l)x,m<0,

rv

m/(e-l)(e+/»)

/r(x)=eA-me-x+(7w-l)=eA

——？+(加—)ev

当加=0时，/"(x)=e"-1=。，解得x=0,

则/(X)在区间(一8,0)J'(x)<0J(x)递减;在区间(0,+8)J'(x)〉0J(x)递增.

当"?<0时，/"(x)=0解得x=ln(-〃?)或x=0,

当一1<加<0时，/(x)在区间(-0。,皿一〃。),(0,+00),/'(%)>0,/(%)递增；

在区间(ln(-〃?),0),/'(x)<0J(x)递减.

当加=-1时，/'(x)N0J(x)在R上递增.

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当〃?<-1时，/(X)在区间(T»,O),(ln(-优),+oo),