北师大初一数学《有理数的乘方、混合运算及科学记数法》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.（•南昌）年初，一列CRH5型।司速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中

国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（）

A.3X106B.3X105C.0.3X106D.30X101

2.下列说法中，正确的是（）.

A.一个数的平方一定大于这个数B.一个数的平方一定是正数

C.一个数的平方一定小于这个数D.一个数的平方不可能是负数

3.式子----的意义是（）.

5

A.4与5商的立方的相反数B.4的立方与5的商的相反数

4

C.4的立方的相反数除5D.一一的立方

5

4.（•宝应县一模）（-1）的值是（

A.1B.-1C.D.-

5.计算(-1)、(-1)3=()

A.-2B.-1C.0D.2

6.观察下列等式：717,72=49,7，=343,7，=24察,75=16807,7，=117649…由此可判

断7⑼的个位数字是（）.

A.7B.9C.3D.1

7.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩

下的绳子的长度为（）.

A.米B.米C.米D.米

二、填空题

8.在（-2）"中，指数是,底数是,在-2,中，指数是,底数是

22

,在二中底数是，指数是

5—

9.（•郸城县校级模拟）计算：-（-3）J

10.一(-3)=；-25=

T

H.4-(-3)]3=,-32x(_2)3=

12.6008000=（用科学记数法表示），3.008x1（）5=（把用科学

记数法表示的数还原）.

13.1+3=2,1+3+5=,1+3+5+7=2,....,从而猜想：

1+3+5+……+20052

三、解答题

14.(春•浦东新区期中)(-3)2-(11)3x2-6*-2|3.

293

15.(秋•蓬溪县校级月考)某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次(由1个分裂成

2个).若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？

16.探索规律：观察下面三行数，

2,-4,8,-16,32,-64,•••①

_

~2f8,4,-20,28,-68,②

-1,2,-4,8,-16,32,…③

(1)第①行第10个数是多少？

(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？

(3)取每行第10个数，计算这三个数的和.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.

2.【答案】D

,1,11

【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：22=4>2；而(上)2=±<±；

242

02=0,从而A,C均错；一个数的平方是正数或0,即非负数，所以B错，只有D对.

3.【答案】B

43

【解析】-一表示4的立方与5的商的相反数

5

4.【答案】A

【解析】解：；(-1)=1,

/.(-1)的值是1,

故选A.

5.【答案】C

【解析】(-1)2=1,(-1)3=-1

6.【答案】I)

【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以7°°的个位数字应为1.

7.【答案】C

二、填空题

8.【答案】4,-2,3,2,2,2

【解析】依据乘方的定义解答

9.【答案】-9.

14

10.【答案】3,-32,——

275

11.【答案】-27,72

12.【答案】6.008X106；300800；

13.【答案】10032

【解析】1+3=2?,1+3+5=32,[+3+5+7=42,……

n4-1

从而猜想：每组数中，右边的事的底数。与左边的最后一个数〃的关系是：。.

2

所以1+3+5+……+2005=(",」)2=10032.

三、解答题

14.【解析】

解：原式=9-W2x2-6+且

8927

=9-a-6x21

48

=9-2-81

44

=9-21

=-12.

15•【解析】

解：根据题意得:100X28=25600(个)，

则经过4小时，100个这样的细菌可分裂成25600个.

16.【解析】

(1)2,-4,8,-16,32,-64,…①

第①行可以改写为：2,2x(-2),2x(-2)a2x(-2)3.……,2>(-2)叫……

由-2的指数规律，可以知道n=10时、即2x(-2)”"=T024为第①行第10个数.

(2)第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；

(3)第②行第10个数为-1024-4=-1028

第③行第10个数为(-0.5)x(-1024)=512

所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为T024+(-1028)+512=-1540.

有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3.进一步掌握有理数的混合运算.

4.会用科学记数法表示大数.

【要点梳理】指数

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做第(power).

即有：a•a....a=在中，a叫做底数，n叫做指数.

〃个底数

要点诠释：

(1)乘方与嘉不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.

(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.

(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51指数1通常省略不写.

要点二、乘方运算的符号法则

(1)正数的任何次嘉都是正数；(2)负数的奇次基是负数，负数的偶次嘉是正数；(3)

。的任何正整数次累都是0；(4)任何一个数的偶次基都是非负数，如屋》0.

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定基的符号，然后再计

算幕的绝对值.

(2)任何数的偶次暴都是非负数.

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减：(2)同级运算，从左到右进行;

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

要点诠释：

(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二

级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的

顺序进行.

(3)在运算过程中注意运算律的运用.

要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中“是整数数位只有一位的数，1W

a1<10,“是正整数)，这种记数法叫做科学记数法，如42000000=4.2x1()7.

要点诠释：

(1)负数也可以用科学记数法表示，“一”照写，其它与正数一样，如-3000=—3x103；

(2)把一个数写成axlO"形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少

【典型例题】

类型一、有理数乘方

【高清课堂：有理数的乘方及混合运算356849有理数乘方的性质】

Qi.计算：

(1)(一4)3(2)-43(3)(-3)4(4)-34

(5)(-)3(6)—(7)(2x3/(8)2x32

55

【答案与解析】

3

(1)(-4)=(-4)X(-4)X(-4)=^64；

(2)4=Tx4x4=-64.

(3)(-3h=(-3)x(-3)x(-3)x(-3)=81；

—4

(4)3=—3x3x3x3=-81e

(|下33327

(5)x—x—

555125

333x3x327

(6)—=

55

(7)(2x3)2=62=36；

(8)2x32=2x9=18

【总结升华】(一。)"与一a"不同，(一a)"=(—a).(-«).....a,而一a"=—aa••

火个〃个

表示。的n次鞋的相反数.

举一反三：

【变式】(•长沙模拟)比较(-4)3和-不，下列说法正确的是()

A.它们底数相同，指数也相同

B.它们底数相同，但指数不相同

C.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同

D.虽然它们底数不同，但运算结果相同

【答案】D.

解：比较(-4)、(-4)X(-4)X(-4)=-64,-4=-4X4X4=-64,

底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.

类型二、乘方的符号法则

▼2.不做运算，判断下列各运算结果的符号.

(-2)1(-3)3(-1.0009)2009,,-(-2)2010

【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则.

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)”运算的

结果为正；(-1.0009)双9运算的结果是负；(|)运算的结果是正；-(-2)刈。运算的结果是负.

【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是。时，结果是

0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负.

类型三、有理数的混合运算

^^3.(春•滨海县校级月考)计算：

(1)4X(-A.5)X3-I-6|；

(2)(-1)3X(-12)4-[(-4)2+2X(-5)].

【思路点拨】(1)原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；

(2)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.

【答案与解析】

解：(1)原式=12X(--1---^+2.5)-6

=-6-9+30-6

=9；

(2)原式二-IX(—12)+(16-10)

=124-6

二2.

【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

举一反三：

【变式】计算：(1)-14-(1-0.5)X1-[2-(-3)2]

(1

(2)(-2)4^(-4)X--I2

【答案】原式=-1—|—|x—(2—9)=-1----(-7)=-1----卜7=5—

\2J3666

原式=16(—4)x——1=—16x—x——1=—2

444

类型四、科学记数法

▼4.用科学记数法表示：

(1)3870000000；(2)3000亿；(3)-287.6.

【答案与解析】(1)把3870000000写成axlO"时,。=3案7,它是将原数的小数点向左

移动9位得到的，即把原数缩小到白，所以3870000000=3.87x103

(2)3000亿=300000000000,把3000亿写成axlO"时，a=3,〃的值应比300000000

000的整数位少1,因此n=\\,所以3000亿=3x10”；

(3)—287.6写成axlO"时，照写，其它和正数一样，所以—287.6=—2.876x1()2.

【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成axlO"形式，〃的确定：n比这个数的

整数位数少1.

举一反三：

【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中

760.57万人用科学记数法表示为()

A.7.6057X1()5人B.7.6057X1()6人

C.7.6057XIO’人D.0.76057X10’人

【答案】B

0>5.(•福州)计算3.8X10?-3.7X10，,结果用科学记数法表示为()

A.0.1X107B.0.1X106C.1X107D.1X106

【答案】D.

解：3.8X107-3.7X107

=(3.8-3.7)X107

=0.1X107

=ixio6.

【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，

其中n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.注意灵活运用运算

定律简便计算.

类型五、探索规律

C6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得

到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3

次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第〃次捏合抻拉得到

根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.

第1次第2次第3次

【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律.

第1次：2]=2；第2次：22=4；第3次：23=8；…；第〃次：2".

【答案】8；32；2"；6

【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：

第1次：2'=2；第2次：22=4；第3次：23=8；…；第〃次：2”.

第3次捏合抻拉得到面条根数：23，即8根；第5次得到：2$,即32根；第〃次捏合抻拉

得到2"；因为26=64,所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看

似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循.

举一反三：

【变式】已知2'=2,2，=4,2:，=8,2'=16,2，=32,…,观察上面的规律，试猜想「颂的

末位数字是.

【答案】6

【巩固练习】

—•、选择题

1.下列说法中，正确的个数为（）.

①对于任何有理数m,都有才>0；

②对于任何有理数m,都有0）2=（—m）2；

③对于任何有理数m、n（m#n）,都有（m—n]>。；

④对于任何有理数m,都有胡=（一111）3.

A.1B.2C.3D.0

2.（春•句容市校级期中）与算式炉+22+22+22的运算结果相等的是（）

A.2，B.82C.28D.216

3.设a=—3x4?,/?=（—3x4）。c=—（3x4）2,则a、b、c的大小关系为（）.

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

4.（•朝阳区校级模拟）观察下列算式：2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,2"64,2=128,

2'=256,…根据上述算式中的规律，你认为2?°的末位数字是（）

A.2B.4C.6D.8

5.现规定一种新的运算"*"，a*b=a',如3*2=a=9,则』*3等于（）.

2

A.—B.8C.—D.—

862

6.“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年

可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是（）.

A.1.30X109B.1.3X109C.0.13X10'°D.1.3X1O10

7.计算—32x1—g）—（_2）3+（_（）的结果是（）.

A.-33B.-31C.31D.33

二、填空题

8.对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则

自然数+的分裂数中最大的数是.

9.为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳

食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为.

10.若+(/?—2)~=0,则(〃+b)+ci2003

11.（春•张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为-1,则输出的结果应

13.（春•濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成

2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假

设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空.

三、解答题

14.计算：

(1)―81+2；一(-(卜-16)(2)_2；+4；+(_3)x(T)

(3)(—2)3x2^+1—5-j-f——j(4)-9+5X(-6)_(_4)"4-(-8)

(5)(-1)5--3xf-|j-l1^(-2)2

16.（•宜兴市期末）阅读并回答下列问题.

在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相西萨•班•达依尔.国

王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子,

在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样

摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就

命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度

甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底

有多少呢？即求：1+2+22+23+2*…+2负的值.如何求它的值呢？

设S=1+2+22+23+24+-+263；

则2s=2（l+2+22+23+24+—+263）=2+22+23+24+—+263+2M；

两式相减得s=2“-1.

问题1：求1+5+52+53+54+-+5的值.

问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？

(注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的

2倍；“尖头：指塔顶层.)答：尖头有________盏灯？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B

【解析】①错：当m为0时，不满足；②③对；④错：次数为3,互为相反数的两个数的

奇数次方的结果也互为相反数.

2.【答案】A.

3.【答案】B

【解析】a=-3X42=-48,b=(-3X4)"=144,c=-(3X4”=T44.故c<a<b.

4.【答案】C

【解析】解：；2'=2,2q4,2=8,2=16,

2732,26=64,2，=128,2=256,...

220的末位数字是6.

故选C.

5.【答案】A

1*,f1Y1

【解析】-*3=-=一.

2⑵8

6.【答案】B

【解析】题目中涉及的数都是准确数，A,B选项中的数是完全一样的，没必要写成A,所

以答案为：B

7.【答案】C

【解析】原式=—9x^—(—8)+；=—1+8x4=31.

二、填空题

8.【答案】15

【解析】每组数中，左边的基的底数。与最下方的数〃的关系是：n=2a-l.

9.【答案】1.6xlO10

【解析】将160亿=16000000000用科学记数法表示为L6xl(V°

10.【答案】0

【解析】绝对值与平方均具有非负性，。+1=0,0-2=0,所以。=—1,8=2,代入

计算即可.

11.【答案】7.

【解析】解：依题意，所求代数式为

(a2-2)X(-3)+4

=[(-1)2-2]X(-3)+4

=[1-2]X(-3)+4

=-IX(-3)+4

二3+4

=7.

故答案为：7.

12.【答案】一2

4

【解析】由m+2n=0得：m=-2n,所以—(二=J]——(--)2———

[mJ[-2n)24

13.【答案】230.

三、解答题

14.【解析】

49199

解:(1)-814-2--I--I千(—16)=—81x——-X—=-36--=-36—

4I4J94166464

X

_15_21+41.(-3)^-^=,c12115,°11c

(2)-1-2-H---x—x—=-1-2—+-=-3

3532133

1(3(1V99199

(3)(-2)3x2-+l4-1=_8x»(_g)=_8x]jx8=_36

(4)-9+5X(-6)-(-4)2+(-8)=-9-30+2=-37

*/2丫1、44152

(5)(-1)5--3x——-l--(-2)2=-l-(-3x----x-)=-l+-=-

、3,393433

15.【解析]解：(1)原式=(--------jx60x|------1—|

(5212)(777)

=[-x60--x60--x60|xl

(5212

=36-30-35

-29

423

(2)原式—xX一

316

43

—X—X-----------X—

344416

4

16•【解析】

解：问题1：S=1+5+52+53+54+-+5,

则5s=5(1+5+52+53+54+-+5)=5+52+53+54+-+5+5,

两式相减得4s=5-1,

52015t

s=------------------；

4

问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，(27-1)x=381,

解得x=3,

答：尖头有3盏灯.

故答案为：3.

有理数的乘方、混合运算及科学记数法(提高)

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3.进一步掌握有理数的混合运算.

4.会用科学记数法表示大数.

【要点梳理】指数

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做第(power).

即有：a•a....a=a".在中，a叫做底数，n叫做指数.

〃个底数

要点诠释：

(1)乘方与嘉不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.

(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.

(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51指数1通常省略不写.

要点二、乘方运算的符号法则

(1)正数的任何次嘉都是正数；(2)负数的奇次基是负数，负数的偶次嘉是正数；(3)

。的任何正整数次累都是0；(4)任何一个数的偶次基都是非负数，如

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定基的符号，然后再计

算幕的绝对值.

(2)任何数的偶次暴都是非负数.

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减：(2)同级运算，从左到右进行;

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

要点诠释：

(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二

级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的

顺序进行.

(3)在运算过程中注意运算律的运用.

要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中“是整数数位只有一位的数，1W

a1<10,“是正整数)，这种记数法叫做科学记数法，如42000000=4.2x1()7.

要点诠释：

(1)负数也可以用科学记数法表示，“一”照写，其它与正数一样，如-3000=—3x103；

(2)把一个数写成axlO"形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少

1.

【典型例题】

类型一、有理数的乘方

1.（•虞城县一模）下列各数：①-F；②-（-1）2;③-F：④（-1）2,其中结

果等于-1的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断.

【答案】A.

【解析】解：①-1=-1,符合题意；②-符合题意；③--=-1,符合题

意；④（-1）2=1,不符合题意.

故选A.

【总结升华】注意（一。）"与—屋的意义的区别.（一。）2"=/"（n为正整数），（一。）2日=一“2e

（n为正整数）.

举一反三:

【变式】已知a<2,且,一2|=4,则a?的倒数的相反数是

【答案】-

8

类型二、乘方运算的符号法则

C2.不做运算，判断下列各运算结果的符号.

（-2）1（-3）”,（70009）吗,-（-2）20,0

【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则.

【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：

（-2厂运算的结果是负；（-3）2」运算的结果为正；（-1.0009）20°.运算的结果是负；（|）

运算的结果是正；Y-2）刈。运算的结果是负.

【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0,指数不

为0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数,

结果为负.

举一反三：

【变式】（春•富阳市校级期中）计算（-2）+（-2）所得的结果是（）

A.~2B.2C.-2D.2

【答案】C.

解：（-2）+（-2）=（-2）（-2+1）=2X（-1）=-2.

类型三、有理数的混合运算

3.计算:

(1)-(-3)2+(-2)34-[(-3)-(-5)]

(2)[7-6X(-7)-(-1)l0]4-(-21-24+21")

x24-----

(-0.2)

【答案与解析】

(1)-(-3)2+(-2)34-[(-3)-(-5)]

=-9+(-8)4-(-3+5)

=-9+(-8)+2

=-9+(-4)=-13

(2)[7-6X(-7)-(-1)l0]4-(-21-24+214)

=(7X72-6X72-1)+(-21'+214-24)

=[7叹(7-6)-1]4-(-24)

=(49-1)+(-24)

=-2

(