北京市海淀区2022届高三数学查缺补漏试题理科北师大版含答案

2022年高三数学查漏补缺题

理科

1.函数y=cos(4x+?)图象的两条相邻对称轴间的距离为

A.-B.-C.-D.n

842

2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

3

A.y=e'B.y=sin2xC.y=-xD.y=\og}x

2

3,若向量。力满足|a|=|b|=2,且。・6+bl=6,则向量。力的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

7TTT

4.已知函数/(x)=xsinx,则/(R),〃一1),/(—三)的大小关系为

A./(-^)>/(-D>/(JJ)B.〃一1)>*)>呜)

TT7TD

C./(-)>/(-1)>/(--)--)>»

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____,

体积为一

6.设团、〃是不同的直线，a、P丁是不同的平面，有以下四个命题:

①若a//,a//y,则4///②若a_L/7,ml则〃?JL/7

③若〃?_1,。,机/〃？，则a_L/?④若tn//n,〃ua,则m//a

其中所有真命题的序号是

x-2y>0

7.设不等式组x+2y-440表示的平面区域为D,若直线2x+y=6上存在区域D上的点,

y>0

则b的取值范围是一

0<x<2,

8.已知不等式组x-y+220,所表示的平面区域为卬，则W的面积是—

3x+2y-4>0

设点P(x,y)eW,当炉+产最小时，点p坐标为—

9.(4+3)•，的展开式中的常数项为

x~

10.计算j（2x+，）dx=.

11.若直线/的参数方程为=其中r为参数，则直线/的斜率为

b=i-2f,

12.如图，已知是圆。的切线，切点为A,PO交圆O于两点,

PA=®PB=1,则=,ZACB=.

13.如图所示，正方体4?CD-A9C'。的棱长为1,£尸分别是棱AA,CC'的中点，过

直线的平面分别与棱88'、DD交于M,N,

设6M=x,xe[O,l],给出以下四个命题：

①平面MENF_L平面BDDB；

②四边形上但VF周长乙=/(x),xe[O,”是单调函数;

③四边形MENF面积S=g(x),xe[O,l]是单调函数；

④四棱锥C-/的体积V=力。)为常函数；

以上命题中正确命题的个数()

A.1B.2C.3D.4

14.直线丁=依+〃与抛物线>=,犬+1相切于点p

若P的横坐标为整数，那么/+炉的

4

最小值为.

'2"-1,n<4,

15.已知数列｛«„｝的前〃项和S,,=<若公是｛为｝中的最大值，则实

—H"+（。-1）/2,n>5.

数。的取值范围是

解答题部分：

1.已知函数/(x)=cos2x+26sinxcosx-sin2x

(I)求/(x)的最小正周期和值域；

A

(H)在A钻C中，角AB,C所对的边分别是a,b,c,若《)=2且YQc,试判断A钻。

的形状.

2.如图，在直角坐标系xO)，中，点P是单位圆上的动点，过点P

作x轴的垂线与射线y=6x(x20)交于点。，与x轴交于点

M.记XMOP—oi»且aw(—,—).

22

(I)若sina=g,求cosZ.POQ；

(II)求AOPQ面积的最大值.

3.已知函数/(x)=cos2x+asin(x-1)+l,且/(£)=1+◎

(I)求a的值.

(II)求函数，(x)在区间［0,兀］上的最大和最小值.

4.数列｛%｝的各项都是正数，前〃项和为S“，且对任意nwN+,都有

a：+a；+£++a；=S；.

(I)求证：a：=2S„-an；

(ID求数列｛%｝的通项公式.

5.已知正三角形ACE与平行四边形MCD所在的平面互相垂直.

又NAC£>=90,且C。=J5,4C=2,点。,尸分别为AC,A。的中

点.

(I)求证：CF±DE

(II)求二面角O—DE—C值.

6.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

(I)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

(H)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记J为摸出两球中白球的个数，求J

的期望和方差.

7.已知函数/(x)=-61n(ax+2)+/x2在％=2处有极值.

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若直线y=丘与函数尸(x)有交点，求实数k的取值范围.

8.已知函数/(x)=e"・(3+a+l)，其中aN-1.

X

(I)求/(x)的单调递减区间；

(II)若存在X[>0,x2<0,使得/(2)</02)，求。的取值范围.

9.设函数/(xxgar3+版2+cx(a</?<c),其图象在点A(1J⑴)，处的切线

的斜率分别为0,—a.

(I)求证：0<2<1；

a

(H)若函数/(x)的递增区间为[s,4，求|s-”的取值范围.

221Q

10.已知椭圆C:5+马=1(。>6>0)的离心率为一，且经过点A(l二).

a"h~22

(I)求椭圆C的方程；

(II)设M,N为椭圆C上的两个动点，线段MN的垂直平分线交y轴于点尸(0,%),求先

的取值范围.

11.如图，已知例(-3肛0)(m>0),N,P两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足

MNNQ=0,NP=、PQ.y

(I)求动点。的轨迹方程；

M0\"

(II)若正方形ABCD的三个顶点A,8,C在点Q的轨迹上，〈

求正方形ABCD面积的最小值.

12.动圆过点/(0,2)且在x轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C.

(I)求曲线C的方程；

(II)已知P,Q是曲线C上的两点，且|尸。|=2,过P,Q两点分别作曲线C的切线，设两

条切线交于点求面积的最大值.

Y2

13.已知椭圆C:\+v、=1的左右两个顶点分别为A,8,点M是直线/:x=4上任意一

点，直线MA,MS分别与椭圆交于不同于A,3两点的点P,点Q.

(I)求椭圆的离心率和右焦点F的坐标；

(ID(i)证明P,尸,。三点共线；

(I])求AFQ8面积的最大值。

2022年最后阶段高三数学复习参考资料答案

理科2022年5月

题号12345

答案BCCA3371，30兀

题号678910

答案①③[0,8]5(122415e2

“339

题号1112131415

、53

答案-21,30B1a>—

5

解答题部分：

1.解：(I)/(x)=cos2x+2>/3sinxcosx-sin2x

=A/3sin2x+cos2x

71

-2sin(2x+—)

所以丁=I,/(X)£[—2,2]

<II)由/(令=2,有/(令=2sin(A+令=2,

■JT

所以sin(A+—)=l.

因为OvAvi,所以A+工=工，即4=生.

623

由余弦定理/=加+/-20ccosA及/=be,所以(b-c)2=0.

所以人=c,所以8=C=q.

所以AABC为等边三角形.

TTTT

2.解：依题意NMOQ=§,所以NPOQ=/MO。—/MOP=]-a.

因为sina=,，且(一工,四)，所以cosa=2^.

3223

所以cos/POQ=cos(三一a)=cos1cosa+sin]sina=

(II)由三角函数定义，得尸(cosa,sina),从而。(cosa,函cosa)

所以S此OQ=—|cosa||V3cosa-sincr|

=—|V3cos2a-sinacosa\

2

1IG,6cos2a1.15/3.7C

2222223

jG111

2242

因为aw(—四;)，所以当。=一工时，等号成立

2212

所以AOPQ面积的最大值为且+工.

42

3.解：(I)a=-2

(II)因为/(x)=cos2x-acosx+l=2cos?x+2cosx

设t=cosx,因为xe[0,7t],所以te[-1,1]

所以有y=2/+2f,1,1]

由二次函数的性质知道，丫=2『+2『的对称轴为/=-3

所以当t=--,即/=«)5》=一工，X=生时，函数取得最小值-4

2232

当f=l,即/=cosx=l,x=0时，函数取得最大小值4

4.证明：(I)当〃=1时，

因为6>0,所以q=1

当〃N2时，a：+蟾+a；++a：=S：①

+a；++a吁i=S；T②

①一②得，a：=a“(2q+2a2++2a“_|+a.)

因为a“>0所以可=2%+2a2+…+2a”_i+%，

即a：=2S„—an因为a1=1适合上式

所以a：=2S—an(neN+)

(II)由(I)知晓=2S“一a“(〃eN+)③

当心2时，a3=2S,i-%④

③一④得a；,~=2(5,-5,,.!)~a„+a,,.,=2a,-a„+a,,.,=a„+%

因为a„+an_{>0,所以an-an_{=1

所以数列{a,J是等差数列，首项为1，公差为1，可得4=〃

5.(I)因为在正三角形ACE中，。为AC中点，

所以EO_LAC

又平面ACEJ_平面ABCD,且平面ACE।|平面ABCD^AC,

所以EO_L平面48a>,所以EO_LC/

在RtAACD中，tanZFCO=—,tanZODC=-

22

所以ZFCO=NODC,所以NFCD+/O3C=90,

即CFJ_DC),又。OiOE=O

所以CFJ■平面。OE,所以

(II)以O为坐标原点，。£。4。后所在直线为坐标轴建立坐标系，

/y

则0(0,0,0),F(—,0,0),A(0,1,0),C(0,-1,0),£(0,0,0^3),0(72,-1,0)

2

由(I)得平面。OE的法向量为C尸=(丫一,1,0)

2

设平面DCE的法向量为n=(x,y,z)

因为CO=(V2,0,0),C£=(0,1,73),

CDn=0,泮小x=0厂

所以解得《l，取〃=(0,3,-后

CE/?=0,y+j3z=0

所以,

所以二面角O—DE—C的值为2.

4

6.解：(I)记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件4,

摸出一球得白球的概率为2*,

5

3

摸出一球得黑球的概率为1,

233212

所以〃(#=-X-+-X-=—

555525

答：两球颜色不同的概率是三12.

25

(II)由题知J可取0,1,2,依题意得

32332233211

PC=0)=二x—=二，P(^=l)=-x-+-x-=-,P(e=2)=-x-=—

5410545455410

3314

贝=二•+lx—+2x—=—,

105105

耳=(0一＜]x—+x-+f2--1x—=—.

I5)10V5)515)1025

咨摸出白球个数g的期望和方差分别是丁9

7.解：(I)因为f(x)=—6ln(6fx+2)+—x2,

所以/(%)=-6—--+x

ax+2

由/(2)=0,可得a=2

经检验。=2时，函数“X)在x=2处取得极值,

1,

f(x)=-61n(2x+2)+—x*-,

-6x2+x-6(尤+3)(x-2)

/(x)=---4-X=

x+lx+1x+1

而函数/(x)的定义域为(-1,+00)，

当X变化时，/(X)，/(%)的变化情况如下表:

X(-1,2)2(2收)

—

f(x)0+

/(x)极小值A

由表可知，/(%)的单调减区间为(-1,2),/(幻的单调增区间为(2,+00)

(II)若/(x)=Ax,则有V+1_6=区2+依，其中%＞一1,

所以(％—1)/+(2—]n+6=0有大于一1的根，

显然kw1,设g(旬)=伏-1)/+伏一1»+6

则其对称轴为x=-'，根据二次函数的性质知道，

2

只要△=(%_1)2_24(左_1)之0

解得女225或女＜1.

8.(I)解：[⑶=3+可咛归I]

x~

①当〃=一1时，令尸(x)=0,解得x=-l

f(x)的单调递减区间为(一8,一1)；单调递增区间为(-1,0),(0,+O0)

当时，令/(x)=0,解得％=-1,或x二」一

a+1

②当一IvavO时，/(x)的单调递减区间为(-oo,T),(」一,+oo)

a+1

单调递增区间为(-1,0),(0,—匚)

③当。=0时、/(x)为常值函数，不存在单调区间

④当。>0时，/(X)的单调递减区间为(-1,0),(0,—)

a+\

单调递增区间为(-8,-1)，(一匚,+8)

a+\

1JL

(II)解：①当”>0时，若xe(o,4w),/(x)=/(——)=ea+1(a+l)2>l

mina+\

若xe(-8,0),/(x)^=/(-l)=e-0<1,不合题意

②当a=0时，显然不合题意

a~

③当一1<。<0时，取则/(xj=e2(«-1)<0

取々=7，则/(々)=尸>0，符合题意

④当a=-l时，取玉=1,则/'(xJ=-eT<0

取马=-1,则符合题意

综上，。的取值范围是-1,0).

9.解：(I)证明：f'(x)=ax2+2bx+c,由题意及导数的几何意义得

f\l)=a+2b+c=0,(1)

f'(m)=am2+2bm+c=-a,(2)

又a〈b〈c,可得4a<a+2Z?+c，<4c,即4a<0<4c,故a<0,c>0,

由(1)得c=—a—2b，代入a<h<c,再由a<0,得

--<-<1,(3)

3a

将。=—〃一2b代入(2)得aW+2b〃t-2b=0,即方程ar?+2以一2人=0有实根.

故其判别式A=4/+8岫》0得-^-2,或(4)

aa

h

由(3),(4)得0〈一vl；

a

(II)由/'(x)=ax1+2bx+c的判别式△'=4/?2-4ac>0,

知方程:（幻=以2+2法+。=0（*）有两个不等实根，设为玉,马,

又由/'⑴=a+2b+c=0知，%=1为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得

2b

%+马=---，X?-竺-1<05,

aa

当X<%2或时，/'（x）<0,当人2<1〈工1时，f'M>0，

故函数/（X）的递增区间为|%2,2］，由题设知次2,X』=［S，〃，

QI1

因此|s-t|=3-巧1=2+之,由（I）知ow2<i得

aa

Is-f|的取值范围为［2,4）.

10.解：（I）椭圆。的方程为：—+^=1.

43

2222

（II）设M（X"）,N（X2，%），则y+y=1>y+y-l.

依题意有|PM|=|PN|,即"x；+（9-%产=+（%-Xi,

整理得（X：-》；）+（必2一£）一2%（%-%）=。.

将x；=4-半，e=4一竿代入上式，消去

得（必2-¥）+6%（%一%）=。・

依题意有必―％工0,所以为=—

6

注意到|）\区6,|y21<73,且M,N两点不重合，从而-26<y+%<.

所以

11.解：⑴设。（x,y）,因为NP=gp。,所以N（O,—多,

加（一3加,0）,所以加=（3见—］），NQ=（x,与），

3

由已知MN•NQ=0,则3/wc--y2=0

y2=4〃tv,即Q点轨迹方程为=4，nx.

（II）如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A、8在x轴的下方（包括x轴）,

记A、B、C的坐标分别为（西,乂）,（,,力）,（£,%），其中%>。2%>必

并设直线/W的斜率为k（k<6

%一,=左（々一七）

则有11……①

>3->2=_7（/一4）

IK

又因为AB、C在抛物线丁=4,nx上，故有

222

王二五/②:）匕七二工代入①式得

4m4〃z4加

4小

X=-------%，％=-4，欣-%....②

k

因为|AB|=|BC\

即JOi-zf+O]-%）2="（》3-々）2+（%-%>

所以（%—y）=——当）将②代入可得:

4/77

y-+y=-k(-4mk_2y2)

2k2

即-4mk2--=-2(-/:+1)%,

k

.4777

4mkj2+

得为二--------幺

22(+1)

2

正方形的边长为IAB|=41+%2(%-y2)=yl\+k(^mk-2y2)

,,74m

十——

____4fnk~犬+

=Jl+F(~4mk--------------)=4mA1

-k+\♦(—，+1)

A,1+人(尸+1)

=4tn-------------------

-k(-k+l)

所以"综得"3"

易知?的陪4,

所以正方形ABCD面积的最小值为32m2.

12.解：（I）设圆心坐标为（x,y）,那么22+b「=。一2）2+%2,化简得f=4y

(II)(X|,y),

解法一：设尸Q(X2,y2)

设直线图的方程为y=履+b,代入曲线C的方程得X?-46-46=0,

所以西+々=4^,xtx2=-4b,A=+16b>0

因为|PQ|=2,所以（1+心）［（占+々）2—4%也］=4,二（1+42）口6〃+16句=4

所以，4（1+&2）［公+切=1,.•.公+匕=――

4（1+k*2）*

过P、。两点曲线C的切线方程分别为y-弘=A（x-x,）,y-y2=^（x-x2）

22

两式相减，得上-%=女王一9）+用工

2222

x2-x.X.、X,—X］x,+x2n.

-4=5（$_%2）+-2，玉工％2，x~~'~2~=

代入过P点曲线C的切线方程得，y-M=?（美三-%）

2

••・，一?=5（号一%），.-.y=^=-b

即两条切线的交点M的坐标为（2k「b）,所以点"到直线的的距离为

/\2k2+2b\2\k2+t\i

Jill7ViTF20+k2y

当左=o时，*x=g，此时APQM的面积的取最大值5鹏=：忖。卜4皿=；

y?）,c

解法二：设P（小必），Q（X2,则过只。两点曲线的切线方程分别为

y-y=y（x-x,）,y-y2=^（x-x2）

XX

两式相减得y2-y,=|（x）-x2）+^~',

2222

-X.Xz、X,—%X.+Xj

:•一4”=5（"々）+'—，西工々，=

代入过尸点曲线C的切线方程得，y—y=5（上产一玉）

即两条切线的交点"的坐标为（卫玉，弘士聂）

22

设网中点为C,则C的坐标为（纪也，江丝），所以MC平行于y轴，所以

22

设点"到直线网的距离为d,那么=®】卫匚（当且仅当%+x2=0时等号成

立）.

又因为|PQ|=2,所以J（X]—