常见递归数列通项公式的求解策略

1常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，那么数列为周期数列。例1、数列满足a1=2，an+1=1－，求an。解:an+1=1－an+2=1－=－,从而an+3=1－=1＋an－1=an,即数列是以3为周期的周期数列。又a1=2，a2=1－=,a3=－12,n=3k＋1所以an=,n=3k＋2(kN)－1,n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an=f(an-1)〔n,n〕及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1=f(n)an＋g(n)，其中f(n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n的函数。〔一〕当f(n)=p时，g(n)=q〔p、q为常数〕时，数列是常系数一阶线性递归数列。〔1〕当p=1时，是以q为公差的等差数列。〔2〕当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。〔3〕当p1且q0时，an＋1=pan＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。例2、：=且，求数列的通项公式。解：=恐－内=紫即数制列是堪以为饼公比互，巷处为首此项的量等比使数列肿。坦〔二婚〕当缓f(不n)灵，g父(n毙)至枕少有象一个睁是关鸽于n少的非跑常数贺函数煎时，锯数列郑｛a捕n｝义是非胶常系岸数的姓一阶援线性呼递归雹数列搜。夸〔1顽〕当壮f(殃n)便=矛1时咱，化坦成a吼n＋鬼1=责an项＋g逐(n绸),晴可用歉求和肉相消芽法求避an妄。牢例3竖、〔伏20涛03抄年全咏国文息科高冶考题缘〕已港知数垦列｛蚁an塘｝满泡足a茫1=护1,袋an忠=3躺n-百-1丘＋a面n－宜1厦(n兼2)次,记(广1)独求a裕2盼,a方3袄;柄(2畜)捷证明功：a范n=颜.蝴屡(1称)解钳：颤a1工=虹1,崇a风2=略3＋临1=张4运,还a3翼=3眨2＋颜4=恨13抓.构趟(2脆)证耀明：艘a渗n=周3n芳--覆1＋离an律－1正(眠n2更)芦,扯an杆－a围n－备1=刷3n蔑—1惊,旬钓an倦－1黑－a邪n－棋2=富3n个—2姻,奸贝an刚－2望－a心n－坚3=奉3n水—3钻咽……招,目a4哄－a枪3=威33缓,维走a3盐－a叨2=脖32恰,汁介a2贝－a弓1=称31乖靠将以畅上等斧式两趋边分弦别相填加，勤并整朗理得心:业an鸭－a验1=绪3n洲—1抓＋3旋n—凯2＋战3n替—3打＋…肥＋3斑3＋广32对＋3悬1责,斑即a怨n=辩3n旦—1电＋3杰n—爱2＋战3n侍—3丛＋…营＋3井3＋报32聋＋3课1＋饰1=最.染笑〔2究〕当德g(根n)村=0轰时,岗化为次a慎n＋姿1=就f(词n)浙a虫n啊，可吗用求闯积相顶消法梨求a届n废。娃例4示、已县知数秤列｛找an罗｝满庄足a这1壤=－元2医,悄a忘n=臣3n列a桌n－子1，谊求通坦项a令n虽。沉解：背a捆1碍=－船2都,坟a已n=秒3n缓a臂n－凭1弓a殃n－孩1=行3n涝－1店a择n－歌2吸，叉a戴n－轧2=漠3n嫌－2贷a辱n－疲3物，售……器，册a茫4=佳34群a书3芳，后a驻3=划33绳a驱2诵，缎a2帖=絮32帽a坑1央将以巡上等恢式两桌边相菜乘并垫整理络得：糊哄a端n=跨3n睁·3县n－倾13姨n－嫩2·踩…·丸34叨·3鞭3·补32亮·a普1=口－2层·3昏2+绘3+卡…+系n孔=－械2·乖3谊〔3驴〕当绝f(呼n)余是非穗1的使常数糠p时右，a搏n＋鬼1命=p嫁a造n＋肠g(宰n)触可挥用两就边同巾除以艺pn腾+1肯得骑，稀令b稳n+烘1=恩，在那么b砖n+酷1=蹈bn井＋，冲仿照沃〔1聋〕求阁出狸bn历之后炮，再查求出卫an芽.洲始例5蒙、设率有数荷列｛雀an巷｝:鞭a枝1汗=1诊,锦a挡n＋鲁1英=添an呈＋拉，求胶an测.搭何解：坊an手＋1奸=草a悦n＋家2苏n+尖1a周n＋击1=罚2n疲an邻＋2能组令b椒n+自1=市2n晓+1摄an作＋1吓，廉那么b贷n+攀1=辞b虚n＋倦2，接即｛汪bn嗽｝是魔以2旋为公课差，约b1俭=面2a惑1=滴2为磁首项涛的等执差数孙列，哑剂故有这bn迈=2黑＋(愈n－拜1)赛·2禾=2相n，叙从而镜an减=，加即a吃n=外乌一般莫情况绳，当芹f(丢n)顺不普是常融数时侧，仿纯〔3早〕可浙求敞例6标、已妈知｛想an赖｝中密，a菊1汉=2变,绪n洞a严n＋朝1=撒(n役＋1舱)疤an让＋2扔，求域｛a臭n｝愤的通押项公践式。想快解：轿n故a府n＋慰1=签(n翻＋1晃)晌an稍＋2裂章令b诉n+渠1=顾，帖那么b蛾n+支1=路bn负＋丙，仿执〔1希〕可消求得倍拌bn既=b初1＋着2[前＋＋逃…＋殃]=督a港1＋爪2(楼1桌－)露=2污＋2然(1世－)老=4绩－排an载=n愤b粒n=迈4n吴－2恋凝2、享二阶镜线性启递归剖数列仰：由赔三个脊连续秩项的汽关系录式义an复＋1光=f俭(a灿n叉,致an为-1永)妥(n等,框nN沃)及非两个祥初始罢值a岗1,经a铃2弹所确菠定的较数列谷，且赶递推溪式中绸，各村an楼都是陈一次正的，尽叫二线阶线壶性递多归数霜列。菌序设数寻列｛等an嘴｝满涛足a炮n＋晌1生=p籍a刘n＋章q欢an张-1鸣，孝那么其顿通项拌an为的求渔法如筹下：第〔1椒〕写锅出递挽推式莫所对蠢应的衰特征雷方程峰x2成=p誓x＋床q查；〔灿2〕险解特警征方保程得叮到两侧个根誓x1隙,患x耀2牢；(派3)欣如果省x巧1x闭2锦，那么舅可设批an很=a可x运1n湿＋b忙x纷2n订；艺如果赵x1挪=喊x2蹲，竖那么可龟设a晋n=搁(c降＋d郑n)虹x找1n坐；吩〔4踏〕由管初始值值a颤1,催a高2云求出业a抹,炒b在或c采,既d气.丑坐例7度、已划知数痕列｛宫an告｝满壁足a论n＋揉1粱=－祸2抽an全＋3箱a镰n-找1峡，且蝴a1践=1是,线a2奉=5状，求惜通项迟公式芽an秧.锹诞解：璃关于均an假设＋1帖=疼－2令a棉n＋营3董an沫-1普所膀对应福的特拔征方恐程是窑x2疮=－免2x紫＋3侵，其积两个绸根为圆1和转－3穴。烘设黄an好=a唯＋b睛(－迅3)农n圾,拉因为今a1婶=1缺,顽a2授=5固,蜜所丘以低a＋雾b(桥－3亦)=蚕1绿a＋编b=年5污解得渴a=境2缘,怕b=设，填所以肿an也=2清＋(翁－3届)n具.仁框例8衬、已板知数告列｛迷an弊｝中胖，a确n＋装2屋=6拉a片n+琴1－犁9聪an廉，平且a舒1=档1,扰a啦2=罢2墓,求垒an糊抢解：衣递归症关系拼an烫＋2久=支6抚an径+1策－9惹a非n诉所对继应的刺特征销方程讨是根x2旁=6首x－态9财，其区根是理二重炼根3冷.朵设a冠n=葛(c劣＋d呈n)泄3晓n夫,政a1坊=1铲,害a2摔=2炎,书恼3(即c＋粪d)贪=1溪纯9(粒c＋龄2d刺)=众2黑解得顺c=售,滥d版=－泛，唱所以贝an策=(要4－填n)姨3旋n-锈-2蹄漂三、杠其它隔递归浆数列捕训1、姐形如撒an深+1皆=p常an怜q望(p齿>0旬,洞a售n>诚0)汇型的芳递归饼数列雾，可亚用对胆数代擦换法侵求a灭n缴例9限、设克数列释｛a盼n｝极满足幅a1效=4重,派an劈+1重=5直an请2于，求践an秀.扔欺解：壮由a裤n+三1=绸5a片n2眨可础知a返n>母0，季所以酱两边却取对键数，有得l痒ga妄n+驰1=共2l累ga象n＋绍lg毅5狭，令汪bn务=l舟ga碍n，鱼那么b婚n+刮1=脸2富bn顽＋l究g5裹，格化为撒惨bn毛+1悄＋l雅g5被=2弟(b板n＋场lg饱5)跌，香即｛吼bn明＋l撑g5事｝是注以2践为公魂比，绿b1葛＋l尾g5亲=令lg手a1返＋l究g5尚=l享g2垂0为汉首项汉的等损比数启列，删从而蝶有：勒模bn凡＋l斩g5钓=(质lg鞭20丽)2鞠即粗bn橡=(俩l苍g2魂0)旧2－恼lg尊5，饼所以历lg脂an铁=l嘉g,填妖即a申n=币揭2、抖形如迁n+碑1=挖型揭的递户归数彼列，星可用舱倒数去代换丑法求呈(0崭)熔例1粗0、黄究数列怖｛n通｝满氏足n些+1肤=，政且a张1=佛－2闸,疗求通油项公狭式n廉辟解：糊n极+1仔=何两边蒸取倒定数得云，装令b熄n=族，那么倍b荒n+漠1=颂bn嚷＋狭，可尤化为图bn四+1双－2蕉=(叉bn晚－2搞)，肝即｛下bn傲－2剖｝是座以为恩公比愧，以是b铁1－博2=申－为丝首项灾的等闭比数城列，登b货n－荒2=削－裁即－删2=抹－抵,前n=零闸3、套分式涉递归见数列冲n+纷1=铃(c看0,削)惊型的懂通项烛公式内的求饼法：奴(1纱)写讨出递惑推式浮所对唯应的势特征罚方程剧=纤；〔沫2〕莲解特榨征方搜程得运到两腾个根饺x1希,私x仅2乌；〔显3〕斑如果凡x1尖x育2，倚那么数鹅列｛袖｝是饥等比瑞数列迁；输如果茫x1寺=椅x年2，平那么数续列｛玩｝是追等差茧数列巧；〔宜4〕乏由等坦比数崖列或芽等差尿数列死的通魂项公惩式求铺n钳例1山1、洲〔1鸣98药7年塞中国国数学渔奥林嫁匹克贴集训决队习始题〕益设｛惧n｝完满足济=2软,捆n伶=(绕n1科)，心求n栏磨解：绿由递盗推式属n=芽所对任应的浩特征概方程兄=得旦其根眉为x物1炊=－贼2仰,偶x2该=3绸,译顶÷=顶×=源－4渔催数列膀｛｝污是以搏－4富为公喇比，异=－荐4为茶首项榆的等杜比数阳列，厌那么有惩=－班4·辅(－大4)快n甩n=斧孔线性过二项桥递归钉数列健的通乐项及到应用

哗一个皱数列葱{a且n}贞，如依果它样的第观n项抚an厕与项埋数n矩之间强的函粪数关产系可务以用莲一个闻公式争an混=f业(n皱)笨表示音时，先这个吼公式现叫做衫这个匪数列比的通皆项公友式。锹一般预地说尺，给蜜出一糟个数返列，灯就是绵给出压它的蓬构成瓦规律鞋。常匠见的郑用解要析式爷给出饿它构努成规窃律的筹方法矿有通诱项公铁式法恼以及哲递推博公式态法。招“给划出数袋列的书递推县公式灾，求距通项腿公式努〞是于数列筛教学泄的一巩个难泊点。庭下面究先就掏一道危习题快的解完法对俭“线耻性二药项递达归数胳列的饮通项绪〞求商解方傅法做壁一简引单小逮结。

夜例：周逐数列辛{a弦n}袄满足纪a1连=3陕,a滔n+升1=般2a喜n+熄7,奥求{拳an叶}的凯通项础公式桌。

茂解法向一：庸〔配磁凑法详〕

尘∵钻a1甚=3洞,a存n+辉1=欧2a航n+桥7

卖令嫩an为+1晒–p涨=2冻(a博n-倦p)

枯那么a求n+保1=跳2a库n-励p,悉

证比拟龄系数缺得p抬=-推7

卧那么

望

英

益

罩=2申(常番数)

蹄由定蒸义知锦，数匠列{浓an泉+7勿}名是公冠比q慢=2樱的等醒比数愿列，

序那么展an慎+7扒=(顽a1局+7志)·艰2n刷-1变

已

鼻又锯∵亚a1饿=3亮,那么钞得出攀数列昼{a胳n}阵的通风项公穷式为忠：

改an击=1庆0·鬼2n课-1吸-7

掘解法舅二：浑〔叠扰加法程〕

蹄∵利an奥+1资=2练an崖+7

叉∴艺an先=2盯an玻-1哨+7

理2a眉n-裕1=萍22颂an惰-2狮+2厌×7

仔22拳an伐-2舅=2进3a凑n-瘦3+甚22挪×7

说…

兵2n败-2贱a锄2=灯2n咐-1次a健1+服2n毕-2其×7

尘将以滴上n疮-1兴个式删子叠璃加，帮两边纠相消桌得：

豆an早=2滚n-副1·倾a1延+7笑(1霸+2位+2奥2+魂…+斩2n全-2斥)

绪

般

照

配

螺

靠=忧2n楼-1懒·a泽1+粪7(唯2n链-1斯-1简)

削由于眉a棕1=景3

笔∴唐得a刃n=燥10呢·2府n-旬1-押7

览解法贱三：佳〔解险方程延组法摸〕

渠

证∵平an渠+1威=2抖an慕+7扰

跪

仿

触①孔

之

范∴旗an点=2惜an讲-1炉+7胞

马

溉斗②袭

倡

丹①违－歇②侵得：

粒an曲+1阻-a微n=鸽2(夹an唯-a味n-坟1)

兽设b字n=妨an浆+1界－a右n,萌那么糕

挖

爸

那=2

薄

b花1=亭a2蒜－a勿1=恐2a锦1+丈7－参a1德=1买0

泽

b坑n=隙10具·2两n-桂1

什

a威n+笨1－臣an政=1默0·跃2n你-1

怠联立柴方程偶组叫解得费an磁=1氏0·片2n峰-1欣－7

刮解法士四：亏〔递绩归法斧〕

统∵嫌an烛+1演=2羡an膏+7

伯∴蚀an饺=2红an陪-1菠+7

叶=2晋(2鞭an愈-2愈+7鼓)+凶7=仪22祸an菜-2辆+2蜻×7晋+7

蓝=2汽2(请2a狮n-全3+台7)优+2学×7坑+7

拴=2珍3a休n-毕3+晃22视×7轿+2纹×7惧+7

厨=…哄…

信=2叠n披-1邻a像1+洋(2幼n-任2×争7+唤2n山-1厕×7锅+…目+2线×7些+7携)

然=2近n-臂1·吊a1寻+7繁(2静n-伯1－董1)

孤∵颠a1弄=3余

固

爽∴父an猪=1宵0·怀2n疾-1疮－7

板解法驶五：礼〔不努动点缺法〕

运设f肾(x救)=精ax素+b捆(a航1蒸,b剥0革),港那么f观(x份)的阳不动熟点是

硬f(报x)潜的n报次迭轻代函棉数的策解析呼式可仆表示淋如下粉：

下f[衡n]笛(x俩)=犁an腊(x非-

国

汗)+暗

月∵寸an京+1阶=2陷an乌+7危,a队1=叹3

眨∴忍an灾=2笋an束-1渣+7

同=2疑n-浸1(膝a1夜-

苍

液)漏+

黎=1搜0·层2n誓-1裙-7

胖解法酿六：通〔特点征根看法〕

框假设数元列{巴an孕}中伟,a巩1已悼知,远an速+1厨=a掉·a钱n+斯b(状a≠脆1,或b≠扭0)

清那么称五x=猾ax难+b相为{左an双}的脉特征具方程喊，其喝根x命=

烤

暖称为乔特征聚根。

扔这时痰有如楼下结旨论：

委an陶=(捷a1雄-x丙)·掏an焦-1亏+x

竖对于场此题匆，由甜于a把1=乒3,敞a=道2,采b=垒7.畏∴催x=材

贱

普=-铺7

举∴序an条=1峰0·授2n占-1滔-7

侧[应雨用举泰例]

所

济例1塘：小进王贷求款a腐元用镇于购启房，瓣采用关月均哭等额事本息宰还款裳方式蚁，假设寒m个翼月将潮款全妥部还寿清，望月利惨率为远r，恰求每籍月还努款额倘x。

葬解：初设第耍n(纲n≤聋m)斗次还傻款后归，小狂王还展欠a侧n元前钱，渠这a丛n元劈钱到医下月升增值奔到a恢n(哥1+解r)采元，辨还x突元后抚，还龙有a剂n+荡1=柿(1锈+r总)a框n-绳x。

绣可知方小王近每次材还款志后仍撑欠银置行的吹钱依筛次形禁成一惩个数洗列{交an雨}，唤其中许a1抚=a卫(1扒+r获)-甘x,诉an道+1骄=(副1+测r)料an辣-x夹

解

存

牲所以叠有，晚

叹an救=(华1+按r)计an波-1刑-x

浸=(宅1+扯r)觉[(步1+淹r)售an苹-2础-x虎]-蜜x

马=(看1+点r)斑2a惕n-妹2-捧(1库+r昂)x魔-x

障=(下1+卡r)鸣3a握n-蝇3-玉(1端+r椅)2绝x-蝴(1叹+r术)x津-x

劝=(真1+穗r)欣4a筐n-与4-遮(1父+r煎)3扶x-摄(1捷+r胳)2岁x-逢(1撒+r久)x义-x

保=L安L

寻=(呜1+喷r)炼n倾-1贺a彩1-佛x[准(1吵+r那么)n睛-2危+(冬1+慕r)受n-版3+黄L+灾(1塘+r守)+饥1]

告=(睡1+愈r)饰n-蚂1[殖a(如1+询r)稍-x永]-嘱x[县(1座+r镜)n膝-2咏2+扔(1它+r献)n托-3曲L刚+(号1+剪r)平+1永]

演=(焰1+购r)循na扩-x栋[驼(1尊+r花)n续-1遥+(接1+窄r)索n-肿2+植L+育(1李+r秩)+邮1]

远=(鼓1+抄r)望na狡-

房

玩

射

裹x芝=(固1+穿r)拳na句+

忆

应

件

胞

旷x

寒题意羞可知诸am陕=0域,即凤am故=(历1+幼r)坡ma现+

范

秋

帅

瑞

取x=效0

疲所以切，撇x=

炸例2嚷：某匹林场尺原有驻森林堂木材假存量专为a雹万立树方米杂，木漂材每靠年以脆25逼%的忘增长殃率增版长，妇而每三年冬仓天要膊砍伐坐的木耀材量随为x绘万立双方米佛。为谈了实熟现经弯过2茶0年处到达背木材盟存量拿翻两僚番的西目标遗，那么锣x的勾最大侵值是蝶多少肺？

拘解：石设第痰n年怒底木矿材存姿量为社an竹万立仪方米西，那么

爬a1炊=a徐(1踩+2宇5%村)-株x=搅

类a-痛x

强an段+1夕=(搏1+米25过%)帽x=绵

总a宏n-西x

妹Qa范n+腾1=霉

趣an赏-x粉

气(异an掌+1呢-4撞x)永=

顶(巴an屠-4猛x)

廉数列披{a旬n-并4x膀}是完公比亩为，亩首项马为a控1-戏4x命的等第比数仗列，哀那么

升an旱-4辅x=歪(a舍1-掘4x由)·绕(弹)n踪-1枯=(丝)圾a-搅5x牙·(觉)肢n-狡1

疤an摄=4介x+假设(a例-4朴x)暑·(角)站n

友令a尚20炊≥耀4a涉,即誓4x峡+(偏a-此4x楚)·指(妥)2呜0≥淡4a

使解得俊x≤贺

丑a死一闸.肝教学颜内容袭：属数列健求和爹的几匠种方略法、组数列列的实痒际应绘用问毅题

开二谈.振教学窜难点枣：闷数列休的实念际应饰用问山题

极三桥.咐课标睡要求卷：首1.萄扛探索央并掌规握一翁些基嫂本的呼数列笑求前约n页项和染的方约法；上2.录三能在旨具体劫的问慎题情吗境中妈，发用现数庸列的台通项奶和递真推关劲系，寺并能枪用有鄙关等卡差、乱等比铲数列经知识恢解决锣相应司的实西际问扯题．

校四帐.扰命题种走向炭：苍数列制求和捕和数递列综制合及碎实际疗问题咏在高侨考中妙占有竭重要酒的地器位，喂一般劝情况刊下都去是出闯一道旱解答煮题，激解答致题大展多以盛数列随为工啦具，桶综合枪运用欢函数狮、方册程、舞不等亩式等系知识续，通走过运翠用逆另推思波想、赴函数铺与方帮程、沃归纳腊与猜仅想、均等价蔬转化浊、分柿类讨永论等蝶各种螺数学徐思想穿方法酿，这赢些题晋目都狠考查盗考生董灵活纯运用兄数学遇知识容分析朴问题衡和解鉴决问锻题的茎能力姿，它旨们都支属于创中、酬高档青题目溜．腰有关戚命题彻趋势竞：破1.字馅数列熟是一漏种特伟殊的倍函数穷，而宪不等剑式那么丧是深牧刻认附识函西数和让数列或的有粪效工引具，遍三者夸的综紫合题燥是对般根底局和能镇力的年双重置检验也，在苍三者她交汇止处设荣计试萝题，那么特别卖是代歪数推县理题湾是高考考的嫌重点挖；疾2.盲奏数列载推理翻题将批继续盘成为府数列旗命题悔的一首个亮边点，拥这是隔由于技此类果题目誉能突丈出考示查学未生的纹逻辑处思维跃能力离，能刺区分含学生批思维著的严留谨性夹、灵袜敏程围度、嫌灵活掀程度朱；就3.稼跨数列仪与新纳的章那节知渴识结感合的籍特点鸟有可白能加赴强，哑如与妈解析血几何税的结竭合等草；三4.熟丽有关欢数列巾的应袋用问敞题也咏一直努备受所关注湾．

约【教搜学过饭程】臣一、蓄根本栏知识纳回忆祸1.揭错数列堂求通割项与吼和仪〔昨1辰〕数籍列前休n丛项和贞S代n苗与通刃项晓a清n比的关枪系式狸：四a断n腔＝宾

对扭．某〔廊2美〕求宵通项花常用腔方法认①桑作新死数列陡法．牺作等题差数地列与考等比徒数列稿．阶②获累差始叠加此法．禾最基洲本的器形式午是：面a飘n朝＝〔油a瓶n倚－璃a甜n剥－疾1巾〕＋即〔于a躲n放－请1证＋部a睁n捷－休2繁〕＋插…芝＋〔宋a罢2历－助a容1茅〕＋屿a歪1问．融③绣归纳贿、猜李想法户．催〔规3纸〕数该列前垮n残项和沸①茄重要聪公式请：等独差和南等比锯数列计的求硬和公旋式缩1萌＋傍2更＋网…姻＋杀n晚＝寺n阁〔焦n顷＋矮1墨〕；匆1厨2男＋虽2界2壶＋电…仔＋燃n预2址＝解n们〔茅n收＋竖1男〕〔副2n稻＋闸1打〕；娱1邀3叨＋透2邪3隔＋啊…胡＋辉n舱3批＝〔想1辆＋熟2昼＋为…集＋民n册〕磁2涉＝自n敢2别〔毫n态＋甚1蓬〕何2叔；隙②慎裂项盐相消谎法镜将数仿列的蔬通项巴分成画两个含式子坐的代纳数和扯，即碍a乏n妥＝场f遗〔敏n荐＋誓1兰〕－身f寻〔斩n慈〕，缸然后敬累加后抵消幼掉中寿间的哨许多秃项，黑这种怠先裂是后消损的求念和法葡叫裂狱项求不和法太．用岛裂项输法求恭和，评需要步掌握箩一些壶常见撕的裂商项，滚如：吵、饥＝贞－移等．卖③玻错位跌相减敬法〔俱可用梅于推粉导等谦比数松列前乓n佩项和取公式江〕龄对一始个由串等差卸数列逃及等汇比数术列对圆应项捡之积慧组成傻的数概列的份前裳n幸项和蔼，常让用错葬位相漂减法林．趟，唇菜其中承是等妖差数体列，磨暑是等恐比数发列，杂记贿，那么肤，趣…合④窄分组锤转化罗求和窗把数随列的纸某些煤项放淡在一牵起先槽求和云，然鼻后再嚼求物S版n凳．寇⑤照倒序船相加薪法〔恼可用花于推袋导等亲差数棍列前肃n尼项和额公式剧〕偶2.住色递归傅数列似数列堪的连驱续假设驶干项概满足滥的等饲量关喘系系a华n留＋丑k喘＝纽f为〔隐a课n英＋白k丈－肝1骡，煎a露n生＋炼k德－伴2唯，婆…葵，描a昼n修〕称年为数饶列的胞递归材关系哗．由蓝递归环关系不及欢k斯个初麦始值争可以托确定阅的一券个数炉列叫蜜做递凳归数咏列．耽如由甚a拣n疗＋牌1诸＝垄2a婚n跃＋阔1思，及熔a富1李＝蜘1蝶，确标定的仿数列缺即为饮递归茫数列档．生递归逐数列堵的通成项的营求法寻一般仰说来捧有以历下几樱种：趁〔纲1屠〕归何纳、蜂猜测形．割〔柿2悼〕迭艳代法帆．葡〔协3菌〕代润换法诸．包示括代输数代缠换，削对数倒代数公，三选角代检数．犁〔有4只〕作介新数也列法闷．最孟常见燕的是远作成逢等差榴数列击或等显比数企列来波解决默问题担．

拦【妨典型垒例题碰】授例仪1.辩昆茎数列挂为等虽差数婆列，奖且公驶差不魄为债0谷，首棉项也盘不为客0狼，求洲和：利．枝解：射首先亲考虑钞，那么麦＝穿．贿点评浑：洋缠数列恢为等这差数已列，烘且公这差不惧为舱0敬，首持项也幻不为荡0猾，下在列求硬和蕉也可疑用裂惠项求楼和法故．

盟例联2.廊葬求惧．丝解：绵，新点评佩：不裂项蜻求和乳的关畜键是雕先将掠形式哗复杂需的因邻式转远化的个简单己一些堤．

咐例骂3.定揭设刷，利证用课林本中双推导体等差丸数列坝前朱n贝项和每的方榜法，跌可求梨得激的值巡为军__新__炕__卧__果__挽__管解：雷课本竖中推奏导等爬差数妈列前搬n杆项和狭的方秧法为美倒序新相加张法苦.舟因为所以泳原式补＝瓦6绝＝访点评硬：热此题滋曾为飘上海衣高考厅题，河主要州考查守考生失对课塞本的蒸熟练脱程度斤和倒幕序相滴加法锁的应削用，叮其中萄有函蒙数式地子的逢变化绵，计浊算能挤力的宰考查虎．

巧例毕4.限换城，数享列念是首屿项为集a寄，公育比也你为恰a景的等售比数桶列，机令上，求映数列鱼的前馅项和油．慧解：悄，役①准－撕②把得：它，庙点评勇：量设数路列栗是等织比数殖列，然数列购是等玉差数山列，妻那么对猫数列膏的前苗项和甲进行叔求解灶，均被可用松错位订相减箩．莫

以例羊5.葵乖数列指…右的前刺多少六项和呢为最干大？玉解：阿是以跑为首洞项，叫以幻为公寿差的秤等差抓数列胡，式对称穷轴土比拟有起来目更靠屡近对胆称轴无∴省前婚项和昌为最紫大规

默另法斗：由洁，得强点评院：沙求和祝的最那么值关篇键在衰于找状分界翠点秩.

叮例迅6.避局求数蛮列辫1凤，幸3落＋枕，愿3辛2迁＋傻，秋……牲，帅3户n轰＋领的各俱项的宿和．嘉解：纱其和顺为〔啊1营＋械3源＋竞…炼＋磨3域n尾〕＋指〔辱＋俭…恨＋乒〕＝莲＝掌〔灵3昆n包＋谁1音－翅3尝－四n那么〕．皆点评剧：涛分组振转化鞠法求偶和仿.

霜例葛7.饱别〔封20袜06丈年浙候江卷迷20窃〕已威知函装数步＝妄x卧3钢＋搞x浇2变，数腊列贺{x残n照}疼．餐〔狭x最n使＞通0苦〕的球第一言项丧x级1砌＝浊1虽，以犯后各呀项按坝如下极方式鞠取定泰：曲贩线讽y俱＝革在咱处的每切线录与经贤过〔寿0仅，尼0匠〕和乔〔扫x渴n载，樱f比〔碗x剑n久〕〕锐两点莲的直讽线平守行〔忠如图云〕．承求证污：当远n披时：洁〔登I竿〕菊；盖〔路II越〕耕．亲解：指〔挺I胀〕因捆为破所以旺曲线是在眼处的傲切线桨斜率淡因为无过前和塔两点搜的直鲜线斜菜率是探所以愁.队〔口II群〕因胡为函笛数雾当俗时单拳调递演增，而榴所以弱，即因此根又因堪为令那么搭因为耐所以因此故僚点评蛛：字数列锤与解堡析几卷何问悦题结赵合在贺一块鸭，数乒列的誉通项杰与线泉段的铸长度雕、点族的坐舌标建愁立起豆联系愈．

澡例脆8.盟舟〔蛛20距05嫩上海述高考总20围.围〕假径设某拒市爷20铁04悉年新椅建住袜房骂40康0报万平身方米物，其珠中有陡25匠0勾万平业方米滔是中雀低价优房企.川预计失在今乔后的窄假设干土年内愧，该读市每剂年新矮建住鸟房面肠积平育均比耗上一轮年增塌长绑8%膛.份另外当，每页年新略建住吊房中破，中成低价宋房的路面积万均比耐上一汉年增馋加型50遗万平拳方米毯.猜那么扑，到猜哪一损年底舅，负〔摘1蝇〕该翁市历暗年所藏建中火低价亩房的忆累计蠢面积蔑〔以吗20暖04口年为比累计魔的第景一年悠〕将食首次傻不少伶于赴47默50恰万平夹方米盾?足〔框2科〕当案年建偷造的砍中低刺价房黄的面嫩积占致该年偏建造冶住房着面积菌的比贪例首林次大奇于匠85骆%?劲解：性〔乳1份〕设宿中低戚价房谷面积书形成笑数列狭{a脆n耀}哲，由致题意出可知喝{a悲n掌}面是等音差数批列，叨其中斥a汪1自＝用25犹0测，院d事＝册50涉，那么聋S预n今＝舍25拆0n茅＋策＝甜25纱n醒2险＋肉22鸽5n穷，孔

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略到每20双09绍年底田，当颤年建初造的滨中低渣价房辫的面脸积占突该年愤建造涛住房庙面积牲的比颜例首放次大并于叫85结%缠．海点评帅：蚀此题挺考查豆等差舟、等顿比数贼列的粗应用害题，翅关键掌是如社何把阴实际山问题海转化河为数子列问牲题，纽注意丘解应烫用题割的设寺、列梦、解歪、答细四个盾步骤秩．

剥例痕9.陈锁某企较业进脖行技搬术改埋造，好有两尚种方肠案，轰甲方浩案：宽一次栏性贷欺款三10抹万元挽，第宜一年壮便可欠获利冤1袄万元疗，以堂后每援年比砌前一姥年增岂加旅30弄%摔的利博润；们乙方睡案：播每年诞贷款谈1决万元肉，第骄一年登可获环利躁1雅万元杆，以坡后每闭年比偷前一傅年增次加惰5午千元下；两续种方贿案的吧使用却期都佛是叠10山年，在到期氏一次课性归谷还本成息．稠假设银蹈行两站种形段式的傅贷款贷都按怜年息荣5%衣的复程利计饭算，遇试比须较两糊种方堵案中尝，哪接种获妇利更纹多？星〔取凤〕狡解：逆甲方姻案是袋等比后数列扇，乙济方案胶是等巩差数求列，虏①罢甲方鹿案获贪利：跌〔万羞元〕茧，歉银行蚕贷款对本息练：治〔万肌元〕诞，哄故甲训方案父纯利铃：澡〔万横元〕快，蜜②爬乙方端案获旱利：棒〔万撕元〕灾；断银行氧本息林和：扬〔万穴元〕老故乙动方案兴纯利卷：略〔万奥元〕渡；式综上连可知拍，甲在方案肿更好吴．蜻点评钩：掌这是垦一道真比拟矛简单馅的数燥列应拦用问恳题，络由于兄本息盐与利悦润是赵熟悉赵的概诞念，患因此扶只建毛立通该项公勉式并记运用关所学犁过的围公式梦求解盈．

眼例顿10狸.孤〔候20济07呜山东章理禽17划〕设秩数列必满足叨，酬．绢〔淘Ⅰ激〕求籍数列铅的通遇项；猴〔朽Ⅱ聚〕设烟，求盐数列张的前展项和厚．兔解：后〔请I壶〕闪验证橡时也姻满足根上式俯，悬〔倘II应〕句，面

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稳例恳12兰.宇卷〔过20恋07繁福建虾文柄21擦〕数休列杜的前肚项和幼为京，染，赤．姿〔哪Ⅰ乞〕求狗数列岸的通健项谜；个〔检Ⅱ立〕求售数列疾的前劲项和常．镜解：毙〔垒Ⅰ貌〕奏，，．又，晋数列舞是首恶项为题，公呢比为掉的等较比数夹列，手．糕当粮时，伯栗，踢〔尸Ⅱ窗〕挥，前当鲁时，棋；身当疯时，锹，盏……虑……墙①妈……防……雕……植……具…②得：．．皱又共也满套足上裙式，．摆点评为：答本小鼓题考陆查数房列的股根本斧知识趟，考跑查等晓比数册列的伙概念剥、通盐项公城式及打数列去的求痒和，团考查蚁分类蹲讨论塌及化海归的盖数学清思想分方法皮，以演及推绑理和降运算毒能力三．满演分件12厨分．

朋［思棒维小也结］养1.散跟数列荡求和悄的常些用方饥法领〔盈1秤〕公爱式法愤：适滩用于欺等差拜、等攻比数农列或允可转差化为永等差斗、等您比数缴列的魄数列辅；盯〔败2惰〕裂臭项相掌消法敬：适忍用于直其中窄{篇}龄是各满项不捉为胀0敞的等母差数棋列，梨c糊为常欧数；败局部威无理迈数列蛙、含愧阶乘筹的数项列等胸；梯〔处3泳〕错垄位相架减法绿：适黄用于体其中谢{朴}楚是等疲差数松列，男是各脚项不立为着0哄的等屋比数蜂列．重〔晶4贴〕倒投序相期加法稼：类贡似于白等差家数列拆前饲n韵项和烛公式屠的推滴导方苦法胁.欠〔扁5狐〕分堵组求器和法式2.兽水常用腐结论说〔预1锻〕直1弄＋代2符＋乘3诵＋摸..课.着＋扰n挖＝壳窃

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惊〔牲2剃〕之1滨＋底3枕＋那么5距＋猎..侍.劝＋〔毅2n纤－气1去〕全粉＝抖〔下3畜〕毒

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