高中数学知识点总结-不等式的性质与证明

高中数学知识点总结-不等式的性质与证明高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第1页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第1页。第一篇：高中数学知识点总结_不等式的性质与证明要点重温之不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；2222当a<0,b<0时，a>bab|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由01x<2推得的应该是：x>或x<0，而由1x>2推得的应该是：（别漏了“013f(x)1f(x)3[举例]若f(x)=2x,则g(x)为。的值域为；h(x)1的值域解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得13f(x)3>或3-f(x)<0得13f(x)<0,∴g(x)∈(-,0)∪（1a1b13,+)；f(x)+3>30<1f(x)3<1高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第2页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第2页。baab[巩固1]若0，则下列不等式①abab；②|a||b;|③ab；④2中，正确的不等式有A．1个B．2个C．3个D．4个（）[巩固2]下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a>b,c>d则a-d>b-c；④若a>b,则a>b；⑤若a>b,则lg(a21)lg(b21),⑥若aab>b；⑦若a|b|；⑧若aa>b>0,则acabcbbaab2；⑨若a>b且1a1b,则a>0,b<0；；其中正确的命题是。[迁移]若a>b>c且a+b+c=0，则：①a>ab，②b>bc，③bccaba的取值范围是：(-12,1)，的取值范围是：（-2，-12）。上述结论中正确的是。2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第3页。[举例]已知函数f(x)ax高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第3页。解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c≤－1①；2≤4a+c≤3②由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：113≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：163≤9a+c≤13⑦，即163≤f(3)≤13。错误的原因在于：当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a－4c=8且4a+c=3时⑥式中的可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的正解是待定系数得f(3)=∴7≤f(3)≤343163113=c成立，此时，a=53，c=113；=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤103；163≤高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第4页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第4页。。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，53c=－2时，不等式c=113≤f(1)和163≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=34353，时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。[巩固]设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则的最大值是：A．(ab)cB．abcax+byC．a2bcD．(ab)3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy≥0|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第5页。|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第5页。[举例1]若m>0,则|x-a|C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件。解析：|x-a|m,∴|x-a|解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0log2x>0x>1∴不等式的解集为（1，+)。[巩固1]a,b都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|；④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是：（填条件序号）。[巩固2]方程|x2xx1|=|x2|+|xx1|的解集是。2abab4．若a、b∈R，则+ab≥ab2≥ab≥；当且仅当a=b时等号成立；其中包含常用不等式：ab≥ab2(ab)；(ab)（1a1b)≥4以及基本不等式：ab2高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第6页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第6页。若：a、b∈R，则a2b2≥2ab；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。[举例1]若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x+y-4x-2y-8=0的周长，则值为。解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,1a2baba2a2bbba2ab21a2b的最小=3322,当且仅当a=b=时等号成立。[举例2]正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3ab-2ab-3≥0等号成立。a+b=ab-3≤（ab≥3ab≥9，当且仅当a=b=3时ab2)-3(ab)4(ab)120a+b≥6,当且仅当a=b=3时等号成立。注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。[巩固1]在等式119中填上两个自然数，使它们的和最小。[巩固2]某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为a，第三年的年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则A．xab2高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第7页。a高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第7页。ab2（）ab2B．xC．xD．x[迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．不能确定谁先到教室5．比较大小的方法有：①比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；②比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；③变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；④寻求中间变量，常见的有0，1等；⑤数形结合。用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。[举例1]已知ab0且ab1，若0c1,plogp、q的大小关系是（）abc2,qlogc（1ab),则A．pq解析：记x=ab2B．pqC．pqD．pq,y=（1ab)2,直接比较x、y的大小将大费周章，但：x>2ab2=1,y=1ab2ab1ab2x高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第8页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第8页。12ab2=4，∴x>y，又0[举例2]x0是x的方程a=logax(0如右，它们的交点为P（x0，y0）,易见x0<1,y0<1，而y0=ax=logax0即logax0<1,又0a,即aln22ln33ln552a2、、,q=2a4a2[巩固2]设a>2，p=aA．p>qB．pq与p=q都有可能D．p>q与p[迁移]设定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②当x>0时,f(x)>1；判断并证明函数f(x)的单调性。6．放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a1a；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：lg3lg5（lg3lg5)（lg）(lg)lg4；n(n1)n(n1)等；④利用常用结论：下列各式中kN（Ⅰ）kk(k1)k1（Ⅱ）k1k1k11k高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第9页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第9页。112k1k；（Ⅲ）1k!k(k1)k11k(k1)1k111k(k2)；k(k1)1k1(Ⅳ)1kk11(k1)(k1)2k1(a1k1(k2)；b高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第10页。c1高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第10页。[举例]已知a、b、c是⊿ABC的三边长，A=1a1b,B=,则：A．A>B,B．Ac1c=11c1<11ab1=ab1ab=a1abb1aba1ab1b=A[巩固]若n∈N﹡,求证：(n1)1(n1)n1n[迁移]已知an=2n-1,数列{an}的前n项和为Sn，bn=对一切自然数n，恒有Tn<2。简答1Sn,数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1．[巩固1]B，[巩固2]②③④⑥⑦⑨⑩；[迁移]①③④⑤；2、[巩固]A；3、[巩固1]①④，[巩固2]（-1，0]∪[2,+);4、[巩固1]4，12；[巩固2]B，[迁移]B；高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第11页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第11页。ln55<ln22<ln55,[巩固2]A，[迁移]递增；6、[巩固]有理化，[迁移]放缩：1n(n1),(n2)。第二篇：高中数学知识点：不等式的证明及应用不等式的证明及应用知识要点：1．不等式证明的基本方法：ab0ab（1）比较法：ab0abab0ab用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2|aa0;a2b22ab;a3b3c33abc等），推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。（3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。2．不等式证明的其它方法：（1）反证法：理论依据AB与BA等价。先否定命题结论，提出假设，由高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第12页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第12页。（2）放缩法：理论依据a>b,b>ca>cB（3）函数单调性法。3．数（式）大小的比较：（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函数单调性法4．不等式在函数中的应用：（1）求函数的定义域（2）求函数的值域（3）研究函数的单调性5．基本不等式法求最值：（1）均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。（2）绝对值不等式|a||b||ab||a||b|的应用。其中|ab||a||b|取等号的条件是ab且|ab|。|a+ba|+|b|取等号的条件是ab。6．方程与不等式解的讨论（1）一元二次方程ax2a0,b2bxc0有严格的顺序性：及x1,2b2a4ac0,bx1x2acxx12a。（2）函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。第三篇：高中数学知识点总结_第六章不等式高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第13页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第13页。1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）（3）abacbc（加法单调性）（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法单调性）（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0a(nZ,且n1)（开方法则）3.几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a20（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第14页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第14页。(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么11abab（当仅当2a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：2222abababab22特别地，ab(（当a=b时，())ab）2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1nn1)（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).22则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第15页。1g(x)0定义域f(x)g(x)f(x)0高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第15页。○2f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)1234②yx(1x)y()y223272类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x与1同号，故取等)222xxx第四篇：高中数学不等式证明常用方法本科生毕业设计（论文中学证明不等式的常用方法所在学院：数学与信息技术学院专业：数学与应用数学姓名：张俊学号：1010510020指导教师：曹卫东完成日期：2014年04月15日）高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第16页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第16页。本文主要是对高中学习阶段不等式证明方法的概括和总结.不等式的证明方法多种多样,其中有比较法,分析法,综合法,反证法,数学归纳法,放缩法等常见的方法,另有一些学生比较不熟悉但也经常采用的方法,如构造法,向量法,求导法,换元法等等.关键词:不等式的证明;函数的构造;极值;导数ABSTRACTThispaperismainlyonthehighschoolstagetheinequalityproofmethodandsummarized.Theinequalityproofmethodsvaried,includingcomparison,analysis,synthesis,reductiontoabsurdity,mathematicalinduction,scalingandothercommonmethods,andsomestudentsarenotfamiliarwithbutalsothemethodsused,suchasconstructionmethod,vectormethod,derivationmethod,methodandsoon.Keywords:Theinequalityproof;function;extremevalue;derivative目录1.构造函数法·········································11.1移项法构造函数·································11.2作差法构造函数·····························21.3换元法构造函数·····························21.4从条件特征入手构造函数······················31.5主元法构造函数··································31.6构造形似函数····································42.比较法·············································42.1作差比较法······································42.2作商比较法······································53.放缩法············································54.判别式法············································65.反证法············································76.向量法···········································87.不等式证明的具体应用································9参考文献··············································11江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）众所周知,生活中存在着大量的不等量关系.不等量关系是基本的数学关系,它在数学研究与应用中起着不可忽视的作用,因此,研究不等式的高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第17页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第17页。1.1移项法构造函数【例1】已知函数f(x)ln(x1)x,求证：当x1时,恒有11ln(x1)x.x1分析：本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数11,从其导数入手即可证明.g(x)ln(x1)x1证:先证左边,令g(x)ln(x1)111x1,则g(x)x1x1(x1)2(x1)2当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0,即g(x)在x(1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0,∴当x1时,g(x)g(0)0,即ln(x1)110x1∴ln(x1)1再证右边,f(x)1(左边得证).x11x1x1x1∴当1x0时,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上为增函数,当x0时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上为减函数,于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0,1江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）因此,当x1时f(x)f(0)0,即ln(x1)x0∴ln(x1)x(右边得证).综上可知,当x1时,有11ln(x1)xx1【启迪】:如果f(a)是函数f(x)在区间上的最小（大）值,则有f(x)f(a)（或f(x)f(a))那么要证不等式,只要求函数的最小值不超过0就可得证．1.2作差法构造函数【例2】当x(0,1)时,证明:(1x)ln(1x)x.分析:本题是一个单边不等式,很难直接看出两者有什么联系,因此联想到采用作差的方法,将两个函数变为一个函数.作差法是最直接把两者结合的方法且求导后能很容易看出两者的联系.证:做函数f(x)(1x)ln(1x)x,易得f(0)0，221x)2x,当x0时,f'(x)0高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第18页。而f'(x)ln(1x)2ln(又得,f''(x)22ln(1x)222[ln(1x)x]，1x1x1x当x(0,1)时,f''(x)高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第18页。∴f'(x)在x(0,1)上递减,即f'(x)f'(0)0,即f(x)在(0,1)递减∴f(x)f(0)0,从而原不等式得证.【启迪】:本题先构造出一个函数并利用所设函数的导数判断函数的单调性,再根据单调性的性质来证明原不等式如果一阶导数无法判断两个关系,可以采用二阶导数来先判断一阶导数关系,再来判断原函数的关系.1.3换元法构造函数122xxyy3.1xy2【例3】已知,求证:222分析:本题看上去毫无联系,但发现xy经常出现在三角代换中.于是可以采用换元法进行尝试,则结果显而易见.证:因为1其中12x2y22,所以可设xrcos,yrsin，22r22,02.1212∴xxyyrrsin2r(1sin2)江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）1sin2,222121322r(1sin2)rr22232121而r3,r222122xxyy3.2【启迪】:当发现不等式题目中含有x2y2,或者别的与x,y有关的不等式,可以采用换元法.将x,y进行替换,再找两者的关系来进行论证.1.4从条件特征入手构造函数【例4】若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常数a,b满足0ab,求证:af(a)xf(x)，(x)f(x)此时可以得到F(x)的导数为xfF(x)0,所以F(x)在R上为增函数，f(a)f(b)af(a)bf(b)0ab,得证.【启迪】：把条件进行简单的变形后,很容易发现它是一个函数积的导数,因此可以构造出F(x),求导后即可得到证明结果.1.5主元法构造函数【例5】设a,b,c,dR,且满足(abc)求证:abbcca22(a2b2c2)4d，3d高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第19页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第19页。不等式入手,对其进行变换.证:把a看成未知量进行化简,得一元二次不等式2(bc)a(bc)24d022xaf(x)x2(bc)x(bc)4d用替换,构造一个函数a2x2前面的系数大于0,所以该抛物线开口向上且当xa时,f(a)0.224(bc)4[(bc)4d]0其判别式江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）d.同理把b,c看成未知量,可得cad,abd叠加可得abbcca3d.化简,得bc【启迪】:有些复杂的不等式可以看成一个未知量的简单不等式,再找几个未知量之间的关系,进行证明.1.6构造形似函数【例6】当abe时,证明ab.分析:要证ab,只要证lnababablnba,即证明blnaalnb0,也就是要证明blnxxlnb,因此构造函数f(x)blnxxlnb,然后只需要证明证:要证ab,只要证lnabaf(x)单调递减就可以了.blnbxblnba即证blnaalnb0设f(x)blnxxlnb(xbe),则f(x)be,xblnb1,b1f(x)0xf(x)在(e,)上单调递减.abf(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb0ba即blnaalnbab.【启迪】:在证明简单不等式时,可以采用求导等变换来构造出一些相似的函数,再利用函数的单调性来证明简单不等式.2.比较法2.1作差比较法【例1】若0x1,证明loga(1x)loga(1x),(a0,a1).分析:用作差法来做,则需去掉绝对值,必须要分a1和0a1两种情况来考虑问题.证:(1)当0a1时,01x1,11x2高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第20页。loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第20页。0x1,01x1loga(1x)0,得证.（2）当a1时,01x1,11x2loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)0x1,01x122222江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）loga(1x)0,得证.综合（1）（2）可得loga(1x)loga(1x).【启迪】:当不等式两边的式子比较相近,或者是对数式子时可以采用作差法来尝试.2.2作商比较法【例2】设a,bR,且a0,b0,求证(ab)ab22aabb.分析:发现作差变形后符号很难判断,且无法化简,考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值和1的大小关系,从而来证明不等式.证:ab0,(ab)abab20,将不等式两边相除，ba2baa()2baabb得(ab)ab2aab2bbaa21.当ab时,()baab10,当0ba时，b2baaa02()()1.由指数函数的单调性可知,bbbaaa0aab2()()1.10当0ab时，,同理可得bbb2综上所述,对于任意的正实数a,b都有(ab)ab2aabb.【启迪】:当遇到作差法无法解决的问题时可以采用作商法来证明不等式,使用作商法的前提条件是不等式两边均要大于0,一般为指数函数的形式.3.放缩法2n1an(nN)【例1】已知数列an的前n项和为sn12(1)设xn(2n1)sn,求证:数列xn为等差数列.11115..........(2)当n2时,2.222xnxnxx321n22n分析:本题分为两小题,第一小题是考察数列的知识,是为第二小题做的铺垫,在做第二小题时,需要采用放缩来证明,来把不等式的左边放大来比较.2n1(snsn1)证:(1)当n2时,sn12江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）化简,得(2n1)sn2(2n1)sn1由已知条件得xn其通项公式为xnxn是以首项为x1xn12,高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第21页。即xnxn1高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第21页。2公差d2的等差数列，2n.1111..........(2)2222xnxnxx1n22n11111......][22224n(n1)(n2)(2n)11111......][4n(n1)n(n1)(n1)(n2)(2n1)(2n)1111111[()()()......4n1nnn1n1n2111111n1()]()()2n12n4n12n42n(n1)1n142(n1)26(n1)411442(n1)6n14令f(n)2(n1),当n2时,f(n)的值随着n的增大而增n1大,f(n)f(2),111136即444f(2)616322(n1)6n1111152.222..........xnxn1xn2x2n32【启迪】:采用放缩法题目一般比较开放,且没有固定的放缩范围,一般比较灵活,且方法较多.4.判别式法7【例1】已知xyz5,xyz9,求证x,y,z都属于1,3222江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）分析:实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是:b记4ac0、b24ac0、b24ac0．b24ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式.此题含有三个未知数,所以要进行替换.222z5xyxyz9中证:有条件可得,代入化简可得:x2(y5)xy25y80xR,且方程有解,根的判别式b24ac02277y1,.即(y5)4(y5y8)0,解得1y,即3377同理,替换x,y可得z1,,x1,.33得证.【启迪】:本题看似复杂,含有三个未知量,其实只需要简单的几个步骤就解决了,因此在解决这类问题时,第一步是替换未知量,第二部把另一个未知量看成已知量,再高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第22页。用根的判别式来确定范围.5.反证法【例1】设0a,b,c1,求证:(1a)b,(1b)c,(1高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第22页。盾.证:假设(1a)b,(1b)c,(1c)a三个数都大于,则有(1a)b111,(1b)c,(1c)a444又0a1,0b1,0c1111(1a)b,(1b)c,(1c)a.2227江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）(1a)b(1b)c(1c)a2ab1abab(1a)b又由基本不等式得，221bc1ca(1b)c,(1c)a,把上面三个式子相加得(1a)b(1b)c(1c)a32显然与相矛盾,所以假设不成立.(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.4【启迪】:命题中出现“至少”,“都”,“同时”,“至多”等字样时,可以采用反证法,反证的关键在于找出与命题相反的结论,然后再用假设的条件推出矛盾.6.向量法a2b2c212.【例1】设a1,b1,c1,证明:b1c1a1分析:本题只有一个已知条件,且结论也无法化简,因此可以想到高中最直接的方法向量法,构造两个向量.利用向量的知识进行解决.m证:设(a2b2c2，),n(b1,c1,a1)b1c1a1m则na2b2c2b1c1a1b1c1a1abc222abcabc3cosb1c1a1a2b2c2abc3b1c1a1a2b2c2abcb1c1a1abc33abc3abc323江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）a1,b1,c1.a2b2c212.两边同时平方可得b1c1a1得证.7.不等式证明的具体应用1125【例1】已知a0,b0,且ab1,求证(a)(b)ab4分析:本题是高中阶段一道普通的不等式证明题,如让学生独立完成,可得到如下解决高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第23页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第23页。1125(a)(b)要证，ab4222只要证4ab4ab25ab40，即证4ab233ab80，1ab或ab8.即因为a0,b0,ab1,所以ab8不成立.1ab又因为1ab2ab,所以.得证.解法二:作差比较法ab1,a0,b0ab2ab,ab41125a21b2125(a)(b)ab4ab44a2b233ab8(14ab)(8ab)04ab4ab1125(a)(b).ab4解法三:三角代换法ab1,a0,b0江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）故设asin,bcos,0,21122)(cos)则原式(sin22sincossin4cos42sin2cos224sin22(4sin2)21624sin222sin214sin2413.1122.(4sin2)1625,24sin241125(a)(b).ab422本题归纳与小结:本题一共采用了3种不同的方法,第一种是从问题入手,对问题进行一步步的剖析,有逆向思维的方式,是把问题具体化,把所要证明的问题转化为所学的知识,或者已知条件.只要分析的过程合理,一般过渡的结论很容易得到.第二种方法也是根据问题入手,不同的是它把问题直接改变为一道运算式,这样就把问题变为运算式结果与零比较大小,因为题目所给的数字往往让在解题时无从下手,无法想出这个数字从何而来,一但转化为零后,解题时只需要考虑对算式的变形,最后只需判断算式的正负高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第24页。号.第三种方法使用范围比较小,它一般具有特殊的条件如ab1,a2b2高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第24页。角的范围,一般学生在采用代换时往往忘记角的范围,从而无法确定三角函数值的范围,容易产生多解或错解.这种方法好处在于已经知道了三角值的范围,且三角函数含有多种变形方式可以对式子进行更好的化简.并且利用三角值的确定性能很快的得到所求式子的范围.本题三种方法均可采用,根据学生个人的掌握程度来选择方法.本论文主要对高中不等式的常用证明方法进行简单的总结,使中学生在证明不等式时有法可依,能尽快的找到适合的方法,主要介绍构造法,作差法,放缩法,判别式法,反证法,向量法这些常用的方法.江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）参考文献[1]雷小平.证明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55[2]丁海军.证明不等式的常用方法.自然科学版[J],2009:55～57[3]曹军芳.高中数学中不等式证明的常用方法.佳木斯教育学院报[A],2014(1):220～221[4]孔凡哲.证明不等式正确性的几种常用方法.武汉教育学院报,1995(3):31～33[5]刘志雄.谈不等式证明的常用方法.重庆师专学报,1999(4):101～103[6]徐志科.王彦博.利用导数证明不等式的几种方法.自然科学版[A],2013(7):7～8[7]李天荣.曹玉秀.中学数学不等式的证明方法.临沧师范高等专科学校学报,2013(2):88～90[8]严万金.浅谈中学数学不等式的证明的常见技巧及方法策略.数学教育[A],2012(2):64[9]封平平.不等式证明方法初探.新课程学习[J],2012:72～73[10]黄俊峰.袁方程.证明不等式中的常用方法.数学教学研究[J],2012(8):28～30[11]程勋跃.不等式证明的方法与技巧.课程教育研究[A],2012:60～61[12]孙桂枝.不等式证明方法集萃.数学学习与研究[J],2012:81～82[13]甘志国.例谈常用方法证明不等式.理科考高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第25页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第25页。[A],2012(4):108～109第五篇：数学教案【不等式的性质及证明】一、教学内容：不等式性质及证明．二、教学目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．2.理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法．三、重点难点：1.了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件．2.利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．四、教学过程：（一）知识要点1、不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a、b，都有abab0；abab0；abab0．（2）比较两实数a、b大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小．2、不等式的性质定理定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba．说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性．定理2：若ab，且bc，则ac．说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性．定理3：若ab，则acbc．说明：①不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；②定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第26页。高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第26页。④不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．定理3推论：若ab，且cd，则acbd．说明：①推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；②这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；③同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式．定理4：如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc．推论1：如果ab0且cd0，那么acbd．说明：①不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；②两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；③推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)．定理5：如果ab0，那么nanb(nN且n1)．例题1对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．（1）若ab，则acbc；（2）若ab，则acbc；（3）若acbc，则ab；（4）若ab0，则aabb；（5）若ab0，则22222211ba；（6）若ab0，则．ababcc．ab◆应用Ⅰ证明简单的不等式例题2.1已知ab0，c0，求证：应用练习设a、b是非零实数；若ab，则下列不等式成立的是（）A.abB.ababC.◆应用Ⅱ判断命题的真假高中数学知识点总结-不等式的性质与证明全文共29页，当前为第27页。例题2.2对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（）A.“acbc”是“ab”的必要条件B.“acbc”是“ab”的必要条件