2023新教材高考数学一轮复习配套学习第6章平面向量与复数

第六章平面向量与复数

第1讲平面向量的概念及其线性运算

□知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有国太小又有画方向的量；向

向量平面向量是自由向量

量的大小叫做向量的长度（或称模）

零向量长度为画色的向量记作0,其方向是任意的

单位向量长度等干画1个单位的向量非零向量a的单位向量为啮

方向相同或画相反的非零向量（又

平行向量0与任意向量平行或共线

叫做共线向量）

两向量只有相等或不相等，不

相等向量长度相等且方向网相同的向量

能比较大小

相反向量长度相等且方向画粗反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

交换律：

求两个

a+b=108|〃+a；

a

加法向量和三角形法则

结合律：

的运算

平行四边形法则(a+力+c=|09|a+S+c)

求两个

减法向量差Q-5=〃+(一。)

ZaV

的运算三角形法则

|闻=叵瓯当2>0时，

求实数

M与a的方向向相同;如a)=(A//)a;

2与向量

数乘当AvO时，痴与a的方(2+〃)a=114|瓶+;

a的积的

向回相反；当％=0时，A(a+b)=115+劝

运算

Aa=I13|o

3.共线向量定理

向量a(aWO)与8共线的充要条件是：存在唯一一个实数联使6=

知识拓展

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后

一个向量终点的向量，即A1A2+A2A3+A3A4+…+lA”=AiA".特别地，一个封

闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

2.在△A8C中，AO,BE,CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如

图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：

⑴及+怎+庆=0;(2)尼=g(油+m;(3)劭=；而+南=春瀛+忙.

3.万1=2为+〃的九〃为实数)，若点A,B,C共线，点。不在直线上,

则2+〃=1.

□双基自测

1.(多选)(2022.山东日照月考)下列命题中错误的有()

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.Q与(同向,且同>步|,则a>b

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

答案BC

解析A显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比

较大小，C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以

推出这两个向量平行，故D正确.故选BC.

2.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是

()

®AC=AB+AD-®AP=+AD)；®DB=AB-AD]@PD=PB.

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析由向量加法的平行四边形法则，知①庆=AB+AD,②酢=+AD)

是正确的；由向量减法的三角形法则，知③加=卷-疝是正确的；因为前，曲

的长度相等，方向相反，所以④电=而是错误的.故选C.

3.如图所示，向量为=4,OB=b,OC=c,A,B,C三点在一条直线上，

且危=—3丽，贝lj()

H

C

A.c=一呼+,

c31

B.c=-2

C.c=-a+2b

D.c=a+2b

答案A

解析：AC=-3CB,：.AC=^AB,：.OC-OA=^OB-OA),：.OC=^OB

[r[3

~^0A,即c=一乃+/.故选A.

4.(2022.广东湛江月考)若舒=3而，AB=(A+1)B>,贝"=.

答案-1

解析如图，由办=；丽，可知点P是线段A3上靠近点A的三等分点，则

AB=-|B>,结合题意可得"1=-|,所以石-方

AP•--------B------

5.(2022.江苏南通期末)已知向量a,b,若同=2,网=4,则-臼的取值范

围为.

答案[2,6]

解析当。与5方向相同时，\a-b\=2,当。与方方向相反时，|a-臼=6,

当a与》不共线时，2<\a-b\<6,所以M-臼的取值范围为[2,6].

6.在四边形A8CO中，对角线AC与8。交于点O,^2OA+OC=2dD+

丽,则四边形A8CO的形状为.

答案梯形

解析-：2dA+OC=2db+OB,：.2(OA-db)=OB-OC,^\2DA=CB,

：.DAIICB,且|醇|=于为I,.•・四边形ABC。是梯形.

核心若向突破I

考向一平面向量的概念

例1⑴（多选）（2021.临沂调研）下列命题中的真命题是（）

A.若回=\b\,则a=。

B.若A,B,C,。是不共线的四点，见|“丽=比”是“四边形ABCO为

平行四边形”的充要条件

C.若a=b=c,贝lja=c

D.a=）的充要条件是同=|加且a//》

答案BC

解析两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确・初=

DC,：.\AB\=\DC\^.ABIIDC,又A,B,C,。是不共线的四点，二四边形ABC。

为平行四边形；反之，若四边形ABC。为平行四边形，则电|=|比IIDCS.

AB,比方向相同，因此筋=比，B正确.•.•4=儿」.a,8的长度相等且方向

相同，又b=c,：.b,c的长度相等且方向相同，二巴c的长度相等且方向相同，

故。=0，C正确.当a//8且方向相反时，即使⑷=步|,也不能得到故同

=步|且。//6不是“=。的充要条件，而是必要不充分条件，D不正确.故选BC.

（2）（多选）（2022.山东烟台月考）给出下列命题，其中叙述错误的命题为（）

A.向量卷的长度与向量成的长度相等

B.向量a与5平行，则。与方的方向相同或相反

C.4+步|=|。一例00与力方向相反

D.若非零向量。与非零向量8的方向相同或相反，则与a,8之一的

方向相同

答案BCD

解析A正确，加与丽是相反向量，长度相等；B错误，当a,万其中之一

为0时，不成立；C错误，当凡8其中之一为。时，不成立；D错误，当5

=0时，不成立.故选BCD.

触类旁通］平面向量有关概念的四个关注点

⑴相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它

与函数图象的移动混淆.

(4)非零向量。与寿的关系：尚是与。同方向的单位向量.

即时训练1.设处为单位向量，有下列命题：①若。为平面内的某个向量,

则a=|a|ao；②若a与ao平行，则a=\a\ao；③若。与ao平行且⑷=1,则a=ao.

其中假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，。与同处的模相同，但方向不一定相

同，故①是假命题；若。与。。平行，则a与。。的方向有两种情况：一是同向，

二是反向，反向时。=-同。。，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是

3.故选D.

2.(2022.湖南常德月考)给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若。与共线，方与c共线，则。与c也共线；

③若翁与比共线，则A,B,。三点在同一条直线上；

④。与方是非零向量，若。与。同向，则。与反向；

⑤已知心〃为实数，若%=/也则a与8共线.

其中真命题的序号是.

答案③④

解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向

量相等，不一定有相同的起点和终点.②错误，若5=0,则。与C不一定共线.③

正确，A3与8c共线且有公共点B,故有A,B,C三点在同一条直线上.④正确,

》与一8反向，。与分同向，故a与一8反向.⑤错误，当2=〃=0时，a与b可

以为任意向量，满足以=独，但。与力不一定共线.

多角度探究突破

考向二平面向量的线性运算

角度1平面向量线性运算的几何意义

例2（2021•长沙一中高三月考）已知A,B,。是平面上不共线的三点，。是

11

衣

一

+-加-

△ABC的重心，动点尸满足。P22则点P一定为△ABC的

（）

A.边中线的中点

B.8C边中线的三等分点（非重心）

C.重心

D.边的中点

答案B

解析设的中点为M,贝岐龙+抽=丽=而+2醇）=；函

+|dX,gp3OP=OM+2OA,也就是加=2画，：.P,M,A三点共线，且P是

AM上靠近A点的一个三等分点.

角度2平面向量线性运算

例3⑴（2021.安徽芜湖质量检测）如图所示，下列结论正确的是（）

—33f33f31)■3

①吨=：a+9；②Fr=-ja-jb;③丽1@PR=ya+b.

A.①②B.③④

C.①③D.②④

答案C

解析由“+方=|而，知的=|a+|①①正确；由"一方=|丙，知西=|a

33131

-效，②错误；PS=PT+b,故的=永-于，③正确；PR=PT+2b=^a+^b,

④错误.故选C.

(2)在平行四边形A3CO中，DE=3EC,若AE交8。于点M,则俞=()

解析•••丽=3反「.E为线段。。上靠近点C的四等分点.显然△A8M

sAEDM,=^,：.AM==y(AE>+DE)=+4^)=7^+

故选B.

角度3利用线性运算求参数

例4⑴(2021.江西省名校联考)在△ABC中，防=反，办=2彷，BP=XAB

+/.IA.C,贝"+〃=()

A.-3B.3

C.一;D.z

答案A

解析因为防=反，分=2彷，所以疝=g福+尤=|能，所以协=拗

+|AC,^]^BP=AP-AB=-|AB+|AC,因为丽=渝+〃流，所以％=_1,

〃=],所以2+〃=-;.故选A.

（2）如图所示，矩形ABC。的对角线相交于点0,E为A0的中点，若无=2易

+uAba,〃为实数），则乃+〃2=（）

〃c

4«

51

--

A.8B.4

C.1D.T7

1O

答案A

解析丽=^^+g前=；忌+（踮=；应+：（忌+卷）=；丽_|■屐），所以

135

--

2-选

做

A贝naA

=4=4J+=

8-

触类旁通向量线性运算的解题策略

⑴向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向

量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法

则.

⑵找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一

个平行四边形或三角形中求解.

⑶利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共

线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程（组）求解.

即时训练3.已知点O,A,8不在同一条直线上，点P为该平面上一点,

且2次=2为+或，贝版）

A.点户在线段AB上

B.点P在线段A3的反向延长线上

C.点P在线段A3的延长线上

D.点尸不在直线AB上

答案B

解析因为2罚=2宓+丽，所以2份=丽，所以点P在线段AB的反向

延长线上.

4.(2021.湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形A3C。中，E为AB的

中点，尸为CE的中点，则#=()

B.^AB+^AD

C.^AB+AD

D.^AB+^AD

答案D

解析根据题意，得注=；(庆+南，又因为危=福+屐)，AE=^AB,所

以由7=56+疝+2^}=4^+.故选D.

5.(2021.洛阳尖子生第二次联考)在△ABC中，点。在线段BC上，且筋=

2皮，点。在线段C。上(与点C,。不重合).^AO=xAB+(l-X)AC,贝1Jx的

解析解法一：崩=.筋+(1-x)AC=x(AB-AV)+AC,即历-危=式麴-

AC),所以Cb=x丽，所以区Q=x.因为前)=2病，所以病=3前，则0<r(%

ICBI园

=|,所以X的取值范围是（0,1}

解法二：设也说底停，1）,则劭4+前=油+流=加诲+

Ac）=（l-2）AB+ZAC=XAB+（1-X）AC,则x=l-/lw（o,£|.

考向三共线向量定理的应用

例5（1）（2021•滨州二模）已知O,A,B,C为平面a内的四点，其中A,B,

12

C三点共线，点。在直线AB外，且满足苏=：/+；；双.其中x>0,y>0,则x

4y

+8），的最小值为（）

A.21B.25

C.27D.34

答案B

12

解析根据题意，A,B,。三点共线，点。在直线A3外，OA=-OB+-OC.

人y

设丽=2就QW0"#l）,则宓=为+放=为+2而=为+，花-访）=2说+

(1-X)OB,

1-A=",

2消去见得:+£=1,，x+8y=(x+8y)E+j=l+,£+

16217+2\^^=25（当且仅当尤=5,y=|时等式成立）.故选B.

（2）（2021•通州区一模）设向量0,62是两个不共线的向量，已知卷=20-62,

AC=e\+3ei,BD=2e\-kei,且B,C,。三点共线，则比=（用ei,

e2表示）；实数左=.

答案-ei+4e28

解析因为向量⑨，62是两个不共线的向量，且油=20-02,AC=e,+3e2,

所以反?=危-筋=-el+4e2,又由=2ei-ke2,且B,C,。三点共线，所以

一1X(—A)—4X2=0,解得％=8.

触类旁通

(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点

共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A,

B,。三点共线求参数问题，只需将问题转化为危=2拔，再利用对应系数相等

列出方程组，进而解出系数.

(2)三点共线的一个常用结论：A,B,。三点共线台存在实数九〃对平面内

任意一点不在直线3c上)满足万U%为+〃为％+〃=1).

即时训练6.已知向量。，〜不共线，且c=〃+5，d=a+(2X-1)b,若c

与d共线反向，则实数丸的值为()

A.1B.

C.1D.—2

答案B

解析由于C与d共线反向，则存在实数々使C=〃(A<0),于是〃+万=灯4

+(2A-1)Z>],整理得觞+8=版+(2乂-6).由于a,〜不共线，所以有

2=k,]

k177।整理得2/-"1=0,解得4=1或谷-5•又因为七°，所以衣°，

2AK-K=1,N

故二号.故选B.

7.(2021.济南模拟)如图，在平行四边形A8CO中，M,N分别为AB,AD±

的点，且前=辆，连接AC,MN交于点P,若9=和?，则点N在A。上的

位置为()

A.AO的中点

B.A。上靠近点。的三等分点

c.A。上靠近点。的四等分点

D.A。上靠近点。的五等分点

答案B

解析设屐病，因为协=R•应?=帝油+Wb）=今由藐f+2俞）=亮藐/

+帝江，又M,N,P三点共线，所以%另=1,解得％=|,所以俞=|屐），

所以点N在AO上靠近点D的三等分点.

课时作业

一、单项选择题

1.如图，0是平行四边形ABC。的两条对角线的交点，则下列等式正确的

是（）

D

\.DA-DC=AC

B.DA+DC=DO

C.OA-OB+AD=DB

D.AO+OB+BC=AC

答案D

解析对于A,DA-DC=CA,错误；对于B,DA+DC=2D0,错误；对

于C,OA-OB+AD=BA+AD=Bb,错误；对于D,AO+OB+BC=AB+BC=

AC,正确.故选D.

2.（2021•成都市高三高考适应性考试）设a是非零向量，2是非零实数，下列

结论中正确的是（）

A.a与觞的方向相反

B.。与的方向相同

C.|-罔，⑷

D.|-加冽川。

答案B

解析对于A,当2>0时，。与脑的方向相同，当在0时，a与觞的方向

相反，故A不正确,B正确；对于C,|-z«|=|-A||a|,由于I-4的大小不确定，

故I-训与⑷的大小关系不确定，故C不正确；对于D,|刖是向量，而|-痴|表

示长度，两者不能比较大小，故D不正确.

3.（2021.西北师大附中模拟）设a,8都是非零向量，下列四个条件中，使京

=版立的充分条件是（）

A.a=-bB.a]_b

C.a=2bD.且|a|二|A|

答案C

解析由于a,8都是非零向量，若合成立，则a与方需要满足共线同

向.

4.（2022.山东威海月考）设P是△ABC所在平面内的一点，且丽=2画，则

△孙8与△P6C的面积之比是（）

11

--

A.3B.2

答案B

解析..•丽=2/，J.P为边AC靠近A点的三等分点，二△布8与APBC

的面积之比为1：2.

5.（2021.新乡二模）在△ABC中，然=正（屈+废>。为BC边的中点，则

A.3AE=1EDB.1A£=3ED

C.2AE=3EDD.3AE=2ED

答案C

解析因为。为3C边的中点，所以屈+元=2疝，因为施瑞（屈?+危）,

所以崩=|疝，贝1J2崩二3历

6.（2021.河北省衡水中学模拟）如图，在等腰梯形A3CO中，DC=^AB,BC

=CD=DA,OE1AC于点E,则防=（）

DC

--------

-^4CB.^AB+^AC

C.^AB--^ACD.^AB+^AC

答案A

解析因为OC=%5,BC=CD=DA,DE1AC,所以E是AC的中点，可

得踮=扬+城?［（反+而+颉三虎-领三紧-紧•故选A.

7.（2021•山东济宁月考）如图，在△ABC中，点。在边上，且CD=2DB,

点E在A。边上，RAD=3AE,则用向量协，疣表示场为（）

答案B

解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得成=崩-危=；

AD-AC=1（AB+|BC^-AC=£AB+|（AC-AB）］-AC=14B-|AC.

8.（2021.河北衡水调研）一直线/与平行四边形ABC。中的两边A8,A。分

别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若卷=2屈，AD=3AF,AM=XAB-

5

&贝nT

〃3A

J一=

1

-

-1

AC.2

B,

3

-D.3

2-

答案A

解析AM=/AB-nAC=AAB-fi(AB+AD)=(2--/.LAD=2(A-〃座-

3〃赤，因为E,M,尸三点共线，所以2Q-〃)+(-3〃)=1,即2%-5〃=1,所以

-2=—].故选A.

二、多项选择题

9.(2022.辽宁丹东月考)下列各式中结果为零向量的是()

A.AB+MB+BO+OM

B.AB+BC+CA

C.OA+OC+BO+CO

D.AB-AC+BD-Cb

答案BD

解析AB+MB+BO+OM=AB,A不正确；AB+BC+G[=AC+CA=0,

B正确；OA+OC+Bb+CO=BA,C不正确；AB-AC+BD-CD=(AB+BD)

-(AC+CD}=AD-Ab=0,D正确.

10.设a,方是不共线的两个平面向量，已知的=a+sina也其中a€（0,2兀）,

QR=2a-b.^P,Q,R三点共线，则角a的值可以为（）

答案CD

解析因为。，分是不共线的两个平面向量，所以2a-8W0,即诙W0.因为

P,Q,R三点共线，所以M与球共线，所以存在实数L使苑=%也，所以。

1=2A,17兀

+sinab=2za-,所以j解得sina=-5.又a€（0,2兀），故a可为

sina=-2,20

-11兀

11.（2021.普宁市校级二模）已知点P为△ABC所在平面内一点，且成+2而

+3PC=0,若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（）

A.向量或与正可能平行

B.向量戌与无可能垂直

C.点P在线段所上

D.PE:PF=1:2

答案BC

解析,成+2而+3近=0,：.^+PC+2（PB+PC）=Q,,.•£为AC的中

点，户为BC的中点，「二而+2X2而=0,.・.丽=一2殍，二户为小的三等分

点（靠近点F）,即PE：PF=2:1,故C正确，D错误.向量或与无不可能平

1

-

行，故A错误；PAPC=(PE+E\)\PE+EC)==|两4

|AC|2,则当|府|=2|两=争两=||两时，向量也与无垂直，B正确.

12.（2021.福建福清高三模拟）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说

法正确的是（）

A.若而=；协+%2,则点〃是边的中点

B.若危=2油-比，则点M在边BC的延长线上

C.^AM=-BM-CM,则点M是△ABC的重心

D.^AM=xAB+yAC,且无+y=/则△MBC的面积是△ABC的面积的3

答案ACD

解析A中，AM=-^AB=^AC-^AM,^IBM=MC,则

点M是边BC的中点，所以A正确；B中，/防=2命-危今病-卷=筋-疣,

所以肱=西，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；C中，设8C的中点

为D,则而=-BM-CM=MB+MC=2MD,由重心性质可知C正确；D中，加

=xAB+yAC,x+y=^2AM=2xAB+2yAC,2x+2y=1.设疝=2病，所以疝

=2xAB+2yAC,2x+2y=l,可知8,C,。三点共线，所以△MBC的面积是4

ABC的面积的g,所以D正确.故选ACD.

B

三、填空题

13.向量。，dc在正方形网格中的位置如图所示.若向量以+方与c共线,

则实数2

答案2

解析由题中所给图象可得，2a+b=c,又。=〃（痴+）），所以％=2.

14.若点。是△ABC所在平面内的一点，且满足|而-比|=|彷+花-2宓

I,则△A8C的形状为.

答案直角三角形

解析因为为+厉一2dx=加一醇+近一醇=麴+/，OB-OC=CB

=AB-AC,所以|曲+病|=|成-京J,即曲•/=0,故感1废所以△4BC

为直角三角形.

15.在直角梯形ABCQ中，ZA=90°,/8=30。，AB=2小,BC=2,点E

在线段CO上（点E不与点C,。重合），若施=屐）+〃筋，则〃的取值范围是

答案0yd

解析由题意可求得AO=1,CZ）=V3,：.AB=2DC.

,・・点£在线段CO上（点£不与点C。重合），

.•.DE=2DC（O<2<1）.

―►—►—►­A-►—>—>—►­►Z//-A

■：AE=AD+DE,^AE=AD+/.lAB=AD+2//DC=AD+<A-DE,

.,岑=1,//=^.1.-0<z<l,

16.（2021.浙江高三模拟）在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,P为矩形ABC。

所在平面上一点，满足PBLPD,则|或|的最大值是1a+无I的值是

答案55

解析因为P81PO,所以点P的轨迹为以8。为直径的圆（不含点8,D）,

如图，设8。的中点为。，由题意得8。=5,所以圆0的半径r=|,由圆的性

质可得丽max=2r=5.由矩形的性质可得。也为AC的中点，所以|庆+PC\=\2PO

|=2r=5.

四、解答题

17.如图，在△A8C中，。为的四等分点，且靠近8点，E,E分别为AC,

AO的三等分点，且分别靠近A,。两点，设屈=%AC=b.

(1)试用a,b表示忒:,AD,BE；

⑵证明：B,E,F三点共线.

解(1)在△ABC中，因为施=%AC=b,

^\^BC=AC-AB=b-a,

1

++-

4Be

131

a+^b-a)=-^a+^b,

BE=BA+AE=-AB+1AC=-a+^b.

(2)证明：因为应1=

BF=BA+AF=-AB+^AD

11

=~2a+6b

苴-a+为,

-21

所以标=；砺，所以脐与丽共线，且有公共点8,

所以5E,尸三点共线.

18.经过△04?的重心G的直线与。4,0B分别交于点P,Q,^0P=m0A,

0Q=n0B,m,〃均为正实数.

(1)证明：5+:为定值；

⑵求m+n的最小值.

解⑴证明：设以“，0B=b.

一一一21—一1

由题意知0G=1义］(0A+。8)=g(a+8),

PQ=0Q-OP=nb-ma,

PG=0G—OP=Q-+下,

由尸，G,。三点共线得，

存在实数九使得苑=2用，

即nb-ma=-mja+

消去九得(+5=3,为定值.

(2)由(1)知，5+：=3,

于是加+〃=翡+%+〃)

=K2+^+«M(2+2)=3-

当且仅当加=〃=|时，〃?+〃取得最小值，为*

第2讲平面向量基本定理及坐标表示

衰础知识整合I

□知识梳理

1.平面向量的基本定理

如果4，62是同一平面内的两个而不共线向量,那么对这一平面内的任一

向量。，有且只有一对实数施，后使。=国运1上&络

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与两x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为

i,j,取｛i,/｝作为基底，对任一向量有唯---对实数尤，y,使得。=与+0,

画(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),显然一厨(1,0),/=函(0,1),0

=画(0,0).

3.平面向量的坐标运算

⑴设a=(汨，yi),b=gyi),

贝ijq+8=|08屁+型，yi+y2),

a-b=|09|(xi—举，丫1一丫2),

Aa=|10|(2xi,2yi).

(2)设A(xi,yi),8(X2,)2),

则曲=piT|(X2-xi,丫2一力),

\AB\=阿-xi)2+(丫2-y।E

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(XI,yi),b=(X2,*),其中方W0,贝Ija//方0a=劝(2WR)今叵］皿2二

X2Y1=0.

知识拓展1

1.平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量基底可以

有无穷多个.

rivi

2.当且仅当恕"#。时，。//6与：=己等价，即两个不平行于坐标轴的共线

AZ)2

向量的对应坐标成比例.

3.若。与分不共线，且痴+〃万=0,贝IJ2=〃=0.

4.已知P为线段AB的中点，若A(xi,yi),8(X2,”)，则P点坐标为

(x\+X2y+灯

I212)'

5.已知△ABC的顶点A(xi,>'i),8(x2,*),C(X3,户)，则△ABC的重心G

的坐标为产产，宁可

6.A(xi,yi),8(x2,y2),C(X3,对三点共线的充要条件为(X2-川)(户-yi)-

(必-Xi)(y2-yi)=0或(X2-xi)(y)-yi)=(%3-X2)(”-yi)或(心-尤i)(y3-yi)=(光3-

》2)。3-丁1).

□双基自测

1.已知向量a=(2,4),Z»=(-1,1),则2a+5等于()

A.(5,7)B,(5,9)

C.(3,7)D.(3,9)

答案D

解析2«+6=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.

2.下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.e\=(0,0),e2=(l,-2)

B.ei=(-1,2),ez=(5,7)

C.ei=(3,5),e2=(6/0)

D.ei=(2,-3),e2=g，-

答案B

解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量以为零向量，C,D

中两向量共线，B中eiWO,e2W0,且均与e2不共线.故选B.

3.设向量。=(-1,2),向量8是与“方向相同的单位向量，贝1］)=()

A.(1,-2)B.(一日，噌

Cd1)。.摩普

答案B

解析因为向量♦是与a方向相同的单位向量，所以♦=*=7(二］；+22(一

1,2)=^(-1,2)=(一坐,芈).故选B.

4.(2021.济南模拟)如图，在平行四边形ABO(中，/是BC的中点，CE=

-2DE,^EF=xAB+yAD,贝ljx+y=()

i2

解析因为尸是8C的中点，所以汴=］为，因为走=-2泣，所以走=可

CD,^XEF=CF-CE=^CB~^CD=-1A£)+|AB,又因为成』屈+屈)，且

ff211

施与疝不共线，所以x=g,y=~2,故x+y=4.

5.(2021•全国乙卷)已知向量a=(2,5),6=(2,4),若a//优贝lj%=.

公g8

答案5

Q

解析因为aMb,所以2X4=52,解得人亍

6.已知QABC。的顶点A(-1,-2),8(3,-1),C(5,6),则顶点。的坐标

为•

答案(1,5)

——[4=5-x,

解析设O(x,y),则由49=。。，得(4/)=(5—x,6—y),即，/解

[1=6-y,

核心考向突破I

考向一平面向量基本定理的应用

例1⑴(2021.长春三模)如图，在同一个平面内，向量为与花的夹角为a,

且tana=7,向量为与花的夹角为45°,=\OB\=\,\OC\=y^.^OC=mOA

+nOB(m€R,H€R),贝lj〃一根二.

答案2

解析解法一：作平行四边形。A'CB',如图所示，则定=。彳'+OB'

=mOA+nOB,在△。夕C中，ABOC=45°,

oA4,

sin。

ltar改=cosa=7,

AOCBf=a,OC=也由＜

sir12a+cos2a=1,

f.7^/2

sma=10,

解得Jr-sinNO夕C=sin[l80°~(a+45°)]=sin(a+45°)=需

cosa=T^,

*也+啦X啦4由不昉它理西丽ocsin/oar巾x】。7

X2+1()X2一5.由正弦正理信0B~sin/QB'C一4~4,BC

5

、历x也

OCsin/BOC25=B'C+又就|=|而=1,所以团

sin/08'C=-4—=4.所以

5

57571

于

--曲-

所

O所以

4=4=一=4=2-

中

解法二:由已知条件可知，a为锐角,

7g

sin。sina=

tana==7,10'

由彳cosa解得0

2

sina+cos2a=1,cosa=也

10'

以点。为坐标原点，OC所在直线为X轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设点A在第四象限，因为|为|=|①|=1,|反|=也，由已知条件可得

A儒-需移，阴，a啦0),因为OC=+〃。3(加6R,/1€R),

「5

]Q/M+2n=72,加=不

解得J7

所以岖返i

10m+2〃一

因心匕〃一m=；

(2)(2022•广东清远月考)如图所示，已知在△OC8中，A是C8的中点，。是

将为分成2:1的一个内分点，。。和0A交于点E,设晶=a,OB=b.

B

I)

E

①用a,b表示向量比，DC；

②若丽=2为，求实数2的值.

解①依题意，A是8c的中点，

：.20A=0B+0C,

即加=2倒一为=2@-4

DC=0C-0D=0C—~^OB=2a—b—~^b=2a—3b.

②设画=/防(oa<i),

贝lj走=无_花=%a_(2a_»=(2_2)a+4

■.・无与比共线，

,存在实数3使场前，

G-2)a+b={2a-汕解得2=去

触类旁通

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法

则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为