2023人教A版高中数学函数的应用（二）讲义

第四章指数函数与对数函数

4.5函数的应用（二）

例1求方程lnx+2x—6=0的实数解的个数.

分析：可以先借助计算工具画出函数y=lnx+2x-6的图象或列出x,），的对应值表，为

观察、判断零点所在区间提供帮助.

解：设函数/（x）=lnx+2x-6,利用计算工具，列出函数y=/（x）的对应值表（表）,

并画出图象（图）.

表4.5-1

Xy

1-4

2-1.3069

31.0986

43.3863

55.6094

67.7918

79.9459

812.0794

914.1972

由表和图可知，/(2)<0,/(3)>0,则/(2)/(3)<0.由函数零点存在定理可知，函数

/(%)=ln%+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.

容易证明，函数/(x)=ln%+2%-6,xe(0,+o。)是增函数，所以它只有一个零点，即相

应方程lnx+2x—6=0只有一个实数解.

例2借助信息技术，用二分法求方程2,+3x=7的近似解(精确度为0.1).

解：原方程即2'+3x-7=0,令/(x)=2'+3x—7,用信息技术画出函数y=/(x)的

观察图或表，可知/⑴/(2)<0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点%.

取区间(1,2)的中点西=1.5,用信息技术算得了(1.5)70.33.因为/⑴/(1.5)<0,所以

x0€(1,1.5).

再取区间(1,L5)的中点々=125,用信息技术算得/(1.25)x-0.87.因为

/(1.25)/(1.5)<0,所以/e(1.25,1.5).

同理可得,x0€(1.375,1.5),x0e(1.375,1.4375).

由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,

所以，原方程近似解可取为1.375.

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系

列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.MR版,s,1766—1834)

就提出了自然状态下的人口增长模型》=丫声”，其中f表示经过的时间，%表示，=0时的

人口数，，•表示人口的年平均增长率.

表是1950~1959年我国的人口数据资料•：

年

1950195119521953195419551956195719581959

份

人

□

55196563005748258796602666145662828645636599467207

数/

万

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),

用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实

际人口数据是否相符；

(2)如果按表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？

分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量为和年

平均增长率r.

解：(1)设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为彳，r2,4.由

55196(1+^)=56300,

可得1951年的人口增长率勺a0.020.

同理可得，»0.0210,4^0.0229,r4»0.0250,«0.0197,rb«0.0223,

个0.0276,钎0.0222,0.0184.

于是，1951~1959年期间，我国人口年平均增长率为厂=(/+弓+…+与)+9a0.0221.

令%=55196,则我国在19507959年期间的人口增长模型为y=55196e°022",reN.

根据表4.5-4中的数据画出散点图，并画出函数y=55196e°s2”(teN)的图象(图4.5-

6).

由图可以看出，所得模型与19507959年的实际人口数据基本吻合.

由计算工具得，a38.76.

所以，如果按表4.5-4的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的

人口就己达到13亿.

例42010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行

碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,能否以此推断此水坝大概

是什么年代建成的？

分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选

择函数y=依'(ZeR,且我。()；«>(),且建立数学模型.

解：设样本中碳14的初始量为鼠衰减率为p),经过x年后，残余量为y根据

问题的实际意义，可选择如下模型：

y=k(\-pY(keR,且ZHO；0<p<l；%>0),

由碳14的半衰期为5730年，得伙1—p)573°=gh

于是1—/?=，

(IT}'

所以y=A[57,5.

([TV

由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，k57.^-=55.2%%,

解得x=logr；-0.552•

由计算工具得XB4912.

因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成

的.

例5假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为

选择投资方案提供依据.

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xeN*)进行描述；方案二

可以用函数y=10x(xeN')进行描述；方案三可以用函数y=0.4x2*T(XGN*)进

行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要

对它们的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表).

X方案一方案二方案三

增加量/增加量/

yyy增加量/元

元元

140100.4

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

7400701025.612.8

8400801051.225.6

94009010102.451.2

1040010010204.8102.4

3040030010214748364.8107374182.4

再画出三个函数的图象（图）

由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的

函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回

报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其

"增长量''是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长

速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第b3天，方案一最多；在第4

天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案

三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元

下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下（表）.

天数

方案

1234567891011

—■4080120160200240280320360400440

二103060100150210280360450550660

三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应

选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.

例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销

售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单

位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三

个奖励模型：y=o.25x,y=log7x+l,y=L0021其中哪个模型能符合公司的要

求？

分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金

总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一

般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间［10,1000］上，寻找并验证所选函数是否满足

两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的

25%,即y<0.25x.

不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

解：借助信息技术画出函数>=5,y=0.25x,y=log7x+l,y=1.002,的图象

（图）.观察图象发现，在区间［10,1000］上，模型y=0.25x,y=1.002、的图象都有一

部分在直线y=5的上方，只有模型y=log71+l的图象始终在y=5的下方，这说明只

下面通过计算确认上述判断.

先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.

对于模型y=0.25x,它在区间［10,1000］上单调递增，而且当x=20时，>=5,因此，

当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；

对于模型y=1.002,,由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（805,806）内有一个点

%满足1.002*=5，由于它在区间口0,1000］上单调递增，因此当x>x0时，V>5,所以

该模型也不符合要求；

对于模型y=log7》+l，它在区间［10,1000］上单调递增，而且当x=1000时，

y=log71000+1«4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

再计算按模型y=log7X+l奖励时，奖金是否不超过利润的25%,即当xe［10/000J

时，是否有y40.25x,即log7X+140.25x成立.

^/（x）=log7x+l-0.25x,XG［10,1000］,利用信息技术画出它的图象（图）.

VA

-300

由图象可知函数/(X)在区间［10,1000］上单调递减，因此/(X)</(10)«-0.3167<0,

HPlog7x+1<0.25x.

所以，当xe［10,1000］时，y<0.25x,说明按模型y=log,x+1奖励，奖金不会超过利

润的25%.

综上所述，模型y=k)g7X+l确实能符合公司要求.

4.5.1函数的零点与方程的解

练习

1.图(1)(2)(3)分别为函数y=/(x)在三个不同范围的图象.能否仅根据其中

一个图象，得出函数y=/(x)在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

【答案】不能，理由见解析

【解析】

【分析】

根据零点存在性定理只能判断存在零点，但零点个数需要借助函数的单调性进行判

断，由此可判断结果.

【详解】解：不能，如仅依据图(1)易得出“X)在(-200,200)内仅有一个零点

的错误结论，

要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，

还需证明该函数在该区间上是单调的.

【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需掌握零点存在性定理只能判断是否

有零点，不能判断零点个数，属于基础题.

2.利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：

(1)f(x)=-V—3x+5；

(2)〃x)=2xln(x-2)-3；

(3)/(x)=er-1+4x-4；

(4)/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

【答案】(I)图像见解析，(F,+8);

(2)图像见解析，(2,+8)；

(3)图像见解析，(-8,+8)；

(4)图像见解析，(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点；

【解析】

【分析】

作出各个函数的图像，利用零点存在性定理即可判断函数的零点所在的区间.

【详解】作出函数图象(如图).

因为/⑴=1>0,/(1.5)=-2.875<0,

所以/(*)=—/_3%+5在区间(1,1.5)上有一个零点.

又因为一⑴是(7,+℃)上的减函数.

所以/(X)=---3x+5在(-00,4-00)上有且仅有一个零点.

作出函数图象(如图)，

因为/(3)<0,/(4)>0,

所以/(x)=2xln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点,

又因为/(》)=2幻11(1-2)-3在(2,+«))上是增函数，

所以/*)在(2,+℃)上有且仅有一个零点

作出函数图象(如图)，

因为"0)<0,/(1)>0,

所以/(x)=ei+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.

又因为/(%)=ei+4x-4在(3,+8)上是增函数，

所以/(X)在(-oo,+oo)上有且仅有一个零点.

(4)作出函数图象(如图).

因为/(—4)<0,/(-3)>0,/(-2)<0,/(2)<0,/(3)>0,

所以/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,一3),(-3,-2),(2,3)上各有一

个零点.

【点睛】本题考查了零点存在性定理，需熟记定理的内容，属于基础题.

4.5.2用二分法求方程的近似解

练习

3.借助信息技术用二分法求函数/(力=丁+1.卜2+0.9%_1.4在区间(0,1)内零点的

近似值(精确度为0.1)

【答案】0.625.

【解析】

【分析】

利用计算机软件画出函数图象，可判断函数在区间(0,1)内有一个零点，再用二分法

依次计算，直到求出想要的精度为止.

【详解】解:利用计算机软件画出函数图象如图所示：

由题设可知/(o)=—L4<0,/(l)=L6>0,

于是/(0>/。)<0.又因为函数/(x)在(。，1)内单调递增，

所以函数/(x)在区间(0,1)内有一个零点.

下面用二分法求函数/(力=丁+1.卜2+0.9%-1.4在区间(0,1)内的零点

取区间(0,1)的中点/=0.5，用计算器可算得“0.5)=-0.55.

因为/(0.5)•/⑴<0,所以不«0.5,1).

再取区间(051)的中点々=075,用计算器可算得“0.75卜0.32.

因为了(0.5)•/(0.75)<0,所以/e(0.5,0.75).

同理可得毛e(0.625,0.75),厮€(0.625,0.6875).

由于|0.6875-0.625卜0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取为0.625.

【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.

4.借助信息技术，用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).

【答案】2.5625.

【解析】

【分析】

原方程即x+lgx-3=0,令〃x）=%+lgx—3,再用二分法依次计算，直到求出想要

的精度为止.

【详解】解源方程即》+怆》一3=0,令〃x）=x+lgx—3,

〃2卜-0.70,/（3）«0.48，于是/（2）./（3）＜0,

又因为函数/（X）在（2,3）内单调递增,所以这个方程在区间（2,3）内有一个解.

下面用二分法求方程》=3-建工在区间（2,3）的近似解.

取区间（2,3）的中点玉=2.5,用计算可算得/（2.5卜-0.10.

因为〃2.5）/（3）＜0,所以为e（2.5,3）.

再取区间（2.5,3）的中点々=275,用计算器可算得〃2.75卜0.19.

因为/（2.5）•〃2.75）＜0,所以％G（2.5,2.75）.

同理可得/£（2.5,2.625）,%€（2.5625,2.625）.

由于|2.625-2.5625|=0.0625＜0.1.

所以原方程的近似解可取为2.5625.

【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.

4.5.3函数模型的应用

练习

5.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口

为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.

(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世

界人口是1970年的2倍？

(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达

到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

【答案】(1)1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；

(2)指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况.

【解析】

【分析】(1)设1650年后〃年,人口是1650年的2倍,即有5(1+0.3%)"=10；设1970

年后加年，人口是1970年的2倍,即有36(1+2.1%)”，=72,两边取对数，计算即可得

到所求值;

(2)由题意可得此指数模型不适宜时间跨度较长的人口增长情况.

【详解】解：(1)设1650年后〃年，人口是1650年的2倍,

即有5(1+0.3%)"=10,

两边取常用对数，可得〃3.003=k2,

即有〃=1g2=231；

1日伙1.003，

设1970年后加年，人口是1970年的2倍,

即有36(1+2.1%尸=72,

两边取常用对数，可得加gl.021=/g2,

即有，〃=窑?7"33.

/g1.021

则有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍;

(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿;

而2003年世界人口还没有达到72亿.

由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.

6.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1

万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年?

【答案】大约需要23年.

【解析】

【分析】

12

设经过X年后的1万只野兔有y只，根据倍增期为21个月可得y=i（）4.2T,令

y=108可得所求的年数

12

【详解】设经过％年后的野兔有y只，由题意知丫=1（）4.2万，，

444

y=10、2，二令y=10，即IO"*.27V=]08,贝

447

两边取常用对数得=丁彳，x=—«23.

7lg2lg2

所以大约需要23年.

【点睛】本题考查指数函数在实际中的应用，注意根据倍增期来计算函数模型

、=?》中的参数厂,本题属于基础题.

7.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其

中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%,能否以此推断二里头遗

址大概是什么年代的？（碳14的半衰期为5730年）

【答案】大概是公元前1892年的.

【解析】

【分析】

t

设这批古建筑群距今已，年，初始量为G，则现存量,由

C（r）=Q,*62.76%可求时间t.

I

【详解】设这批古建筑群距今已，年，初始量为g，则现存量c（f）=c0（；J73°，

由题设得=C°.62.76%»所以2-闹=0.6276,

^5730xlgQ.6276%3851

-lg2

ffi]3851-1959=1892.

所以大概是公元前1892年的.

【点睛】本题考查指数函数模型在实际中的应用，注意利用半衰期求函数关系式,

本题属于容易题.

练习

8.某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,61,68为了预测以

后各月的患病人数，甲选择了模型y=ar2+bx+c,乙选择了模型y=oo'+r,其

中N为患病人数，x为月份数，仇c、,p,q,r都是常数。结果4月，5月，6月份的

患病人数分别为74,78,83,你认为谁选择的模型更符合实际?

【答案】采用模型y=〃/+，•与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.

【解析】

【分析】

根据各月对应的患病人数算出函数解析式，再预测4月，5月，6月份的患病人数,

与实际数比较后根据误差的大小决定更优模型.

【详解】若按模型y=法+c,将（1,52）,（2,61）,（3,68）代入

52=a+b+c,CI=-1,

得6\-4a+2b+c,解得，8=12,,所以y=—r+i2x+4L

68=9a+30+c,c=41,

若按模型y=pqx+r,将（1,52）,（2,61）,（3,68）代入,

729

P=—7—

52=pq+r,1

-7

/729⑺185

61=*+r,解得,q=x，所以y+---.

-19149)2

68=pq+r,

_185

r----

2

模型比较:

X456

y=-x2+12元+41737677

729(7丫185

y=-------H------73.477.781

14⑼2

实际人数747883

比较发现，采用模型丁=20'+厂与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际.

【点睛】本题考查二次函数、指数型函数在实际中的应用，注意较优函数的选择要

依据误差的大小来考虑，本题属于中档题.

9.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加，2008-

2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：

时

间/20082009201020112012201320142015201620172018

年

肉

鸡

数7690785080008150831084608620870892090809230

量/

吨

同期该地的人口数如下:

时

间201

2008200920102011201220132014201520172018

/6

年

人

口

100.101.102.103.104.106.107.108.111.112.

数110.

0246914737

/

万

(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；

(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满

足市场的需求？

(3)按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？

【答案】⑴M=155X+7690,%=L22X+100；(2)2018年能满足市场的需求；

(3)保持现状即可.

【解析】

【分析】

(1)画出两组数据对应的散点图，根据散点图可选择一次函数来拟合，用待定系数

法可求函数的解析式.

(2)计算出2017年人均消费的肉鸡数量和2018人均费的肉鸡数量后比较它们的

大小后可得正确的结论.

(3)因2017、2018人均消费的肉鸡数量基本保持平衡，故保持现状即可.

【详解】(1)取自变量x为0,1,2,...»10,...»对应年份为2008,2009,

2010,2018,肉鸡数量为%,人口为万，依据表画出,与尤，刈与x的对应

点的散点图，如图1、图2.

由图1、图2知，乂与x,%与x均大数为线性关系.

设y=qx+4，必+H将((),7690),(2,8000)代入v=qx+4,

仿=7690fa=155

得，，解得4',所以％=155x+7690.

8000=20+“4=76901

仿2=100a,=1.22

2

将（0/00）,（5,106.1）代入%=。2%+么，得＜,解得I

106.1=5%+A&=100

所以％=1.22x+100.

（2）2017年人均消费肉鸡¥尸据-8.16（kg）,

111.3x10000

2018年人均消费肉鸡怯警黑a8.19（依）＞8.16（总），所以2018年能满足市

112.7x10000

场的需求.

（3）保持现状即可.

【点睛】本题考查一次函数在实际中的应用，此题最后一问为开放性问题，可从不

同角度分析（如从人均消费的肉鸡数量或从健康的角度减少人均消费的肉鸡数量）

均可，它考查了学生的数学建模的数学素养，本题属于中档题.

习题4.5

复习巩固

10.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是.（填写

上所有符合条件的图号）

【答案】①③

【解析】

【分析】

根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.

【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用

二分法求

故答案为：①③

【点睛】本题考查二分法的应用问题，关键是明确二分法只能用来求“变号零点”，

属于基础题.

11.已知函数y=/(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

Xi23456

y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064

函数y=f(x)在哪几个区间内一定有零点？为什么？

【答案】在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点，理由见解析

【解析】

【分析】

根据零点存在定理可确定结果.

【详解】由对应值表可得：/⑵•/⑶<0,〃3>〃4)<0,〃4)•/⑸<0

由零点存在定理可知：/(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点

【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.

12.已知函数=1-2x+l,求证：方程/(x)=x在(-1,2)内至少有两个实数

解.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

令g(x)=/(x)-x,由零点存在定理可确定g(x)在(-1,2)内至少有两个零点，由此

可得结论.

【详解】由=x得：/一3彳+1=0

令g(x)=V—3x+l

则g（—1）=一l+3+l=3>0,g⑴=1-3+1=-1<0,g⑵=8-6+1=3>0

，g（T>g⑴<。，g⑴・g⑵<。

・•.g（x）在（T1）内至少有一个零点，在。,2）内至少有一个零点

，g（x）在（-1,2）内至少有两个零点，即方程/（力=%在（-1,2）内至少有两个实数

解

【点睛】本题考查利用零点存在定理确定方程在给定区间内解的个数的问题，关键

是能够将问题转化为函数在区间内的零点个数的问题，利用零点存在定理来进行求

解.

2

13.利用信息技术，用二分法求函数/（x）=lnx—-的零点（精确度为0.1）.

x

【答案】2.375

【解析】

【分析】

由零点存在定理可确定零点所在区间为（2,3）,根据二分法的原理来不断确定零点所

在区间，直到满足精确度为止，从而得到结果.

【详解】•〃2）=ln2-la-0.31<0,/（3）=ln3-1®0.43>0

,-./（2）-/（3）<0.-./（x）在区间（2,3）内存在一个零点八

下面用二分法求函数/（力=11-嚏在区间（2,3）内的零点

取区间（2,3）的中点％=2.5,用计算器可算得了（2.5卜0.12

-/（2）-/（2.5）<0,所以.”0«2,2.5）

再取（2,2.5）的中点％=225,用计算器可算得〃2.25卜-0.08

因为/（2.25>/（2.5）<0A0G（2.25,2.5）

同理可得：与«2.25,2.375）,/G（2.3125,2.375）

|2.375-23125|=0.0625<0.1二函数的零点为2.375

【点睛】本题考查利用二分法求解函数的零点问题，关键是能够利用零点存在定理

确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.

14.利用信息技术，用二分法求方程0.8'-l=lnx的近似解（精确度为0.1）.

【答案】0.8125

【解析】

【分析】

将方程化为0.8、-l-lnx=0,可令/（x）=0.8-l-Inx,根据零点存在定理确定方

程在区间（051）内有解%；利用二分法不断确定方程解所在区间，直到满足精确度

为止.

【详解】原方程可化为：0.8v-l-lnx=0,令”x）=0.8-l—Inx

用计算器算得了（0.5）之0.59,/（1）=-0.2

/（0.5）-/（1）＜0这个方程在区间（0.5,1）内有解方

下面用二分法求方程0g-1=Inx在区间（65,1）内的近似解

取区间（051）的中点玉=0.75,用计算器可算得了（0.75）々0.13

,/（0.75）-/（1）＜0.-.x0€（0.75,1）

再取（0.75,1）的中点々=0.875,用计算器可算得〃0.875卜-0.04

因为/（0.875）-/（0.75）＜0.・.受40.75,0.875）

同理可得：e（0.8125,0.875）

|0.8125-0.875|=0.0625＜0.1原方程的近似解可取为0.8125

【点睛】本题考查利用二分法求解方程的解的问题，关键是能够利用零点存在定理

确定零点所在区间，再根据二分法原理来进行求解.

15.一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分自身复制

一次，复制后所占内存是原来的2倍.那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内

存（1MB=1O24KB）?

【答案】45分钟

【解析】

【分析】每过一个3分钟，所占内存是原来的2倍，故〃个3分钟后，所占内存是原

来的2"倍，再利用指数的运算性质可解

【详解】解：因为开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占

内存是原来的2倍，

所以3分钟后占据内存2?K8,两个3分钟后占据内存2?K8,三个3分钟后占据

内存24他，

故〃个3分钟后，所占内存是原来的2"倍，

则应有2*64x21°=*,."=15,15x3=45,

故45分钟后该病毒会占据64MB内存；

综合运用

16.设函数/(幻="2+云+c(a>O/,ceR),且“l)=g求证：函数/(x)在

(0,2)内至少有一个零点.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由/(1)=--可得到^=--"一C,由此化间得到/(2),./(0),确定

2/(1)+/(2)+/(0),可知/(2)与〃0)中至少有一个为正；利用零点存在定理可

证得结论.

【详解】f(\)-a+b+c-——:.b=-----c

''22

3a

---c+c-a-c

2

又/(0)=c.-.2/(l)+/(2)+/(O)=2x+«-c+c=0

2/(l)=-«<0.•./(2)+,/(0)>0.・・/(2)与/(O)中至少有一个为正

X-./(l)=-|<0⑴・〃0)<0或/⑴"(2)<0

函数/(x)在(0,2)内至少有一个零点

【点睛】本题考查零点存在定理的应用，关键是能够通过确定区间端点处的函数值

的正负，从而利用零点存在定理确定是否存在零点.

17.已知函数函(彳)=一/一3「一2,8(/)=2-"(方］2.

(1)求函数y=g(x)的解析式；

(2)利用信息技术，画出函数y=g(x)的图象；

(3)求函数y=g(x)的零点(精确度为0.1)

【答案】(I)g(x)=-x4-6x3-13x2-12^-2；(2)图见解析；(3)-2.75或-0.25

【解析】

【分析】

(1)将/(力代入g(九)整理即可得到结果；

(2)利用计算机可画出函数图象；

(3)根据图象确定零点所在区间，由二分法原理不断确定零点位置，直到满足精

确度为止.

【详解】(1)由题意得：

g(x)=2-=2-(彳2+3X+2)~--X4-6x3—13x2—12x-2

(2)函数图象如下图所示：

(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点

取区间(―3,—2)的中点玉=-2.5,用计算器可算得g(—2.5)=1.4375

g(-3>g(-2.5)<02.5)

再取(-3,-2.5)的中点々=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)。0.28

g(-3)•g(-2.75)<0x0e(-3,-2.75)

同理可得：x0G(-2.875,-2.75),G(-2.8125,-2.75)

因为；卜2.75—(—2.8125)|=0.0625<0.1

，原方程在区间(-3,-2)内的近似解可取为-2.75

同理可求得函数在区间(-1,0)内的零点可取为-0.25

函数g(x)满足精确度0.1的零点为-2.75或-0.25

【点睛】本题考查函数解析式和函数图象、二分法求解函数零点的问题；关键是能

够通过函数图象确定函数零点所在区间，进而通过二分法原理确定结果.

18.如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间1(单位：月)的关系为

y=a’.关于下列说法：

①浮萍每月的增长率为1；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30疗；

③浮萍每月增加的面积都相等；

④若浮萍蔓延到2加2,3加2,6加2所经过的时间分别是a//,则4+弓=.3,其中正

确的说法是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由图象过(1,2)可求得函数解析式为y=2，；由=3=1知①正确；由25=32>30

知②正确；验算可知为，知③错误；利用对数运算可证得4+L=4,

知④正确.

【详解】图象过(1,2)点“=2,即a=2.-.y=2,

./=以2=1；.每月的增长率为1,①正确；

2'2'

当「=5时，y=25=32>30,②正确；

第二个月比第一个月增加%f=22-2=2(加2)

第三个月比第二个月增加%-%=爱-22=4M)w%-y,③错误；

2=2'，3=2",6=2"­,•tt=log22,t2=log23,t3=log26

+J=log22+log,3=log26=4,④正确.

故选：C

【点睛】本题考查利用给定函数模型求解实际问题；关键是能够通过函数图象所经

过点确定函数的解析式，涉及到指数和对数运算的问题，考查了函数的实际应用.

19.一种药在病人血液中的量保持在1500〃织以上时才有疗效，而低于500〃zg时病

人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药2500mg,果药在血液中以每小时

20%的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药(精确到

0.1/2)?

【答案】应该在用药2.3小时后，7.2小时以前补充药

【解析】

【分析】

根据题意建立起含药量y与注射后的时间，的函数关系式，从而构造不等式，解不等

式求得r的范围，从而得到结论.

【详解】血液中含药量y与注射后的时间f的关系式为：y=2500(1-20%)',

则由500W2500(*]<1500得：2.3<Z<7.2

lioj

故应该在用药2.3小时后，7.2小时以前补充药

【点睛】本题考查建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建

立起合适的函数模型，进而通过模型来构造不等式.

20.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从力3(1丁8=102468)升到

PBQPB=1024TB),EB(1EB=1024BB)乃至ZB(1ZB=1024E6)级别，国际数据公

司(IDC)的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB,2009年的数据

量为0.8ZB,2010年增长到1.2ZB,2011年的数量更是高达1.82ZB,而到了2020

年，预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44倍，为了较好地描述2008

年起全球产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据上述数据信息，从函数

/(x)=kx+b和g(x)=中选择一个，并求出解析式.

【答案】g(x)=0.32x1.53,

【解析】

【分析】

根据已知可列出数据表，由数据表画出散点图，从而确定所选函数模型；代入两点

坐标构造方程可求得参数，进而得到所求结果.

【详解】设2008,2009,2010,2011,…,2020年分另IJ对应第1年，第2年，第3年，第4

年，…，第13年，由已知列表如下：

X123413

・・・

y0.490.81.21.8280.08

画出散点图如下:

L

80

70

60

50

40

30

20

1o0

由散点图知，5个点在一条曲线上，应选择函数g(x)=a"

将数据(1,0.49),(13,80.08)代入得:onnoq，解得：、…

[80.08=ab[6^1.53

.-.g(x)=0.32x1.53"

【点睛】本题考查函数模型的求解问题，关键是能够通过散点图确定所选的函数模

型，进而代入已知点构造方程求得函数解析式.

21.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.

身高/

60708090100110120130140150160170

cm

体重/

6.137.909,9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

kg

(1)根据表格提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这

个地区未成年男性体重与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的关系

式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那

么这个地区一名身高为175的，体重为78依的在校男生的体重是否正常？

【答案】(1)y=2x1.02,；(2)这个男生偏胖.

【解析】

【分析】

(1)画出散点图，考虑y=a•"作为函数模型，代入数据计算得到答案.

(2)根据函数解析式，代入数据x=175得至Uy“63.98,计算得到答案.

【详解】(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，

根据点的分布特征，可考虑以y=.作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高

关系的函数模型.

yi

79=a-/?70

取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y='得：'_

用计算器算得a=2,/?«1.02.

这样，我们就得到一个函数模型：y=2xl.02,

将已知数据代入上述函数关系式，或作出上述函数的图像，可以发现，这个函数模

型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与

身高的关系.

⑵将x=175代入y=2x1.02',^y=2xl.02175,由计算