2023学年完整公开课版动态问题

专题八动态问题专题点播动态问题是近几年各地区数学中考的热点题，这种题型是在几何图形上设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中存在的等量关系、变量关系、图形的特殊关系进行研究考查.问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性.动态问题通常有直线运动、曲线运动、转动和滚动等；从图形中运动的部分看有点动、线动、面动、体动等，宁夏的中考试题中一般在几何图形上设计点动型问题背景.这种题型是对几何图形性质更深层次地考查与探索，是对几何作图、图形的变化更深层次地理解与应用，要求考生具有较为综合的图形理解和运动变化的思维，培养考生的几何分析推理思维和想象能力，也为高中的几何知识的进一步学习打下更好的操作探究思维基础.在宁夏的中考数学试卷中必不可少，尤其最近几年有考查更为频繁，综合性越来越强的趋势，多以几何综合题形式出现.宁夏每年的最后一题都是动态问题(如：2016年第26题在矩形的边上设计两个动点；2015年第26题用两个三角板共顶点的面转动型问题；2014年第26题在三角形边上设计一个动点垂线(实质是线动)；2013年第26题在平行四边形边上设计一个动点作垂线(实质是线动)；2012年第26题在矩形边上设计一个动点作垂线(实质是线动)).解决动态问题需要从运动与变化的角度去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系，需要用化“动态”为“静态”，“变化”与“不变”去研究和解决.有时要把方程、函数、不等式等知识联系起来，当一个问题是求变量与变量之间的关系时，通常是要建立函数模型或不等式模型求解，当一个问题是求图形之间的特殊位置关系与特殊值时通常建立方程模型去求解.解题时要善于发现题目的突破口，具备综合的解题技巧.从宁夏近几年的中考试题看，我们要善于发现，找准共同点，从下面的经典例题中体会命题规律，探求方法，练出技巧，在中考中从容应对.考法示例［方法点拨］根据给出的题设背景和图形背景，探究图形中某些边、线段或平面内的点的运动，探究这些点在运动的过程中所构成的特征情形或特殊图形，综合方程、函数、几何知识等解决相关问题.我们可以看看宁夏此类题型的图形设计：探究几何图形中的动态问题类型1解决此类问题的关键是根据问题找到突破口，“以静探动，以动求静”，先用拟定关系或数量作为解决问题的条件，以求出问题中的待定关系或数量，也可称为“用静求动”.在解答问题时，往往需要我们重新作图操作分析.示例1如图，在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P，Q两点同时移动的时间为t秒(0＜t＜2.5).(1)当t为何值时，PQ∥AB；(2)设四边形ABQP的面积为y，当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值.

［点评］本题主要考查的是二次函数和相似三角形的性质和判定的综合应用，利用相似三角形的性质求得PE的长，从而得到y与t的函数关系式是解第(2)问的关键.1.(2016·宁夏)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由.变式训练

［方法点拨］以平面直角坐标系为载体，在几何图形或函数图象上设置动点，综合运用点的坐标、函数的解析式解决相关的动态问题.宁夏的中考试题中此类问题的设计较少.解决此类问题的关键是根据问题找到突破口，用含字母的代数式表示动点的坐标是关键，先用已有的条件或关系式，确定问题中的动点坐标，也可称为“用变量定坐标”.在解答问题时，往往需要我们重新作图操作分析.探究平面直角坐标系中的动态问题类型2示例2如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为(4，0)，(4，3).动点M，N分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设两动点运动了t秒.(1)写出直线AC的解析式；(2)记△MPA的面积为S，求S关于t的函数关系式(0＜t＜4)；(3)若点Q在y轴上，当S=1.5且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式

变式训练

精题精练1.（2018·潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是()D2.如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是()A.①B.③C.②或④D.①或③D3.(2018·枣庄)如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___________.124.（2018·盘锦）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为____________.245.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）.（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.解：(1)把B(3,0)代入y=-x2+mx+3，得0=-32+3m+3,解得m=2.∴y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点坐标为（1,4）.(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P，连接AP，此时PA+PC的值最小.设Q是直线l上任意一点，连接AQ，CQ，BQ.∵直线l垂直平分AB,∴AQ=BQ，AP=BP,∴AQ+CQ=BQ+CQ≥BC,BC=BP+CP=AP+CP,即AQ+CQ≥AP+CP.设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).把B(3，0)，C(0,3)代入，得∴∴直线BC的解析式为y=-x+3.当x=1时，y=-1+3=2.∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2).0=3k+b,3=b,k=-1,b=3.

点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.∴OD=OB=OC=OA.∵△CED和△COD