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文档简介

.椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义.PQL交OA于BO为椭圆的中心F为焦点AAO|PF||QF|④e=e,则e=②e=QFPD⊥L于D,AD于F,设椭圆的离心率为|BF|BO|PD||FOAF||e=e=⑤ |AO|BA|PDQABFO评AQP为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得,①②④。a2∵AO|=a,|OF|=c,∴有⑤;∵AO|=a,|BO|=∴有③。 cx2y2题目1椭圆+=1(a>b>0)为F1F2以F1F2为边作正三角形若椭 a2b2圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e?ABF1:A点在椭圆外,找a、b、c的关系应借助椭圆,所以取AF2的中点B,连接BF1,把已知条件放在椭圆内,构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解:∵F1F2|=2c|BF=c|BF|=3ccc+3c=2a∴e==3-1ax2y2变形1+=1(a>b>0)为F1F2点P在椭圆上使OPF1为正 a2b217/1.POFF三角形,求椭圆离心率?3-21O∠F1PF2=90°图形如上图,e==|OF1|=|P|,OF2解:连接PF2,则|y2x2是椭圆上一AB为椭圆的顶点P椭圆+=1(a>b>0的两焦点为F1F2变形2:b2a2求椭圆离心率?PF2∥AB,点,且PF1⊥X轴,BPAFO=a|OB|=b|O=解:∵PF1

b2|F2F1|=2c abPF1||a2-c2∵b=∴PF2∥AB=又 aF2F1||5∴a2=5c2e=5方程的c点评以上题目构造焦点三角形关系推导有关a与式二、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2x2是短轴的一个顶点,∠B是右焦点1(a>b>0)A是左顶点,F+:椭圆题目2b2a2e?°,求ABF=9017/2.BAOFa2+b2=|BF|=a|B|AO=a|OF|=ca2两边同除以a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2 a2-c2-ac=055-1--1+)(舍去e2+e-1=0e=e=225x2y2-1+是短轴的一个B是左顶点+=1(a>b>0)是右焦点e=,A变形椭圆2a2b2ABF题的中分析各边,案90°5-1引申此类e=的椭圆为优美椭圆2焦点与相应准线之间的3ABFB1四点共圆。则°2、假设下端点为B1,性质1、ABF=90距离等于长半轴长。结合解斜三角形找各边的表示,总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义,的方程式。公式,列出有关ey2x2两AB60°的直线交椭圆与=1(a>b>0)点F1且倾斜角为题目3+b2a2e?,求=2|BF1|点,若F1ABF2|=2a-am|AF2解:设BF1|=m则|2a-cc2=m(2a-c):a2–?式相除两?中,由余弦定理得:BF1F2在△AF1F2及△ 2(a2-c2)=m(2a+c) 2a+c21?e== 32y2x2|是以F1F2、F2(c,0),P(:椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1c目4b2a2为直径的圆与椭圆的一个交点,且e?求PF1F2=5∠PF2F1分析此题有角的值可以考虑正弦定理的应用PF2|F1F2||F1P==解:由正弦定理: sinPF1F2 sinF1F2PsinF1PF2根据和比性质:|PF2||F1P+||2 sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F217/3.sinF1PF2|F1F2|=变形得: nF1P||PF|+|2c=e= 2a°PF1F2=75°∠PF2F1=15∠6°sin90=e= sin75°+sin15点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知sinF1PF2e= sinF1F2P+sinPF1F2x2y2变形1:椭圆+=1(a>b>0)为F1(-c,0、F2(c,0,P是椭圆上一点,b2a2且F1PF2=60°,求e的取值范围?分析:上题公式直接应用。解:设F1F2P=α,则F2F1P=120°-αsinF1PF2sin60°=e==-α)sinα+sin(120°sinF1F2P+sinPF1F2111≥ ∴e<12)α2+30°2sin(x2y2变形2:已知椭=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点M为椭圆上任意一点(M不与 21β1长轴两端点重合)设∠=α,∠1=若n<n<,求e的取值范围?232分析:运用三角函数的公式,把正弦化正切。α+β+β2sincos22sinF1PF2sin(αβ)解;根据上题结论e===β-βα+sinF1F2P+sinPF1F2sinα+sin2sincos 22βαβcoscos-sinsin 2222= ββαnn2222β1-tantan 22==eα 1-tantan 2211-e111∵<< ∴<e< 21+e332三、以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找e所符合的关系式.x2y2题目5:椭圆+=1(a>b>0),斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、Bb2a2→→OAOBa=(3,-1)共线,求两点+与17/4.)A(,YO)B(X,Y e?A(x1,y1),B(x2,y2)法一:设b2x2+a2y2=a2b2?

y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0-2b2c2a2c2a2c-2c=x1+x2=y1+y2= a2+b2a2+b2a2+b2→→OBOA,与(3-1+)共线,=(x1+x2,y1+y2)6 a2=3b2?→→OBOAON=N,则2+AB法二:设的中点x12y12?

e==3(y1+y2)既-(x1+x2)3①+=1 b2a2?②得: ①y22x22?②+=1 b2a26b2b2x1+x2y1-y2既a2=3b2 e==-∴1=-(-3)3x1-x2y1+y2a2a2由图形中暗含的不等关系,求离心率的取值范围。四、y2x2→→MFMF=02满(c,0)1F2两焦点为=1(a>b圆6题目+>0)F1-c0、b2a2总在椭圆内部,则的点Me的取值范围?17/5.O1→MFMFO上,与椭圆没有交点。F1F2为直径作圆M分析:∵·1在圆2=0∴以c<b解:20<e< a2=b2+c2>2c2 ∴2y2x2上为右准线2P,的两焦点为F1(-c0:椭圆题目7b>0)b2a2的取值范围?eF2F1P的垂直平分线恰过点,求一点,PMF21O的不等关系、cF2M垂直,根据向量垂直,找a、b如图分析:思路1,F1P与e:根据图形中的边长之间的不等关系,求思路2a2-c ca2y0)F2(c,0)P(),y0M(,解法一F1(-c,0 2c 2a2y0b2→PF+c,y0) 1=-(,既() 22cy0b2→→MFMFPF2=01·) 2=-(-c, 22c17/6.y0a2b2)=0(-c,(+c,y0)· 22cy02b2a2=0-c)+ (+c)·( 22cc3e<1a2-3c2≤0 ≤3=2cPF2|2:2|=|解法a2a2a2-c3c≥|-c则2c≥ |PF2 ccc、3e<1则3c2≥a2 ≤32xFF)0?b?1(a,使,如果椭圆上存在点设椭圆的左、右焦点、分别为P 212ba90?FPFe的取值范围求离心率211利用曲线范围 解法0F,(c,F(?c0,则设P(x,y,又知21??)ycFP?(x?cFP?(x,y)2??,知FP?FP由?FPF?901??0FP?则F?2120y?(x?c?(?c2c得x??y将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得222b?caa2?x 22b?a?90?FPF由椭圆范围及21 2x?0知?2222bca?a2a??即022a?b22222aca??可得cb即c且?c2?且e1得e?aa22,1e[所以 2 解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知222a?4F||||PFPF?2PF?||PF?a?|?2PF21212117/7.知又由FPF902122224FFPF|?PF|?2121 22a则可得PF|PF221222的两个实根,因此2au?2a??c0这样,PF与PF是方程u212220?4a)?(a?c?21c2??22a2?e?22)e?[,因此 2:利用三角函数有界性 解法3??,由正弦定理,?PFF?PFF??记2FF|F1?????sin90sinsinPFPF?|21|F??F 21??sin?sin,则有2c2a,FFPF又?F?11c1???e????????????sinsin?acos2sncs222???90而0???|?45?知0? 2 ??1?s 2221而可得?2解法4:利用焦半径由焦半径公式得PF|?a?ex,PF?a?ex21222,所以有F|PF?又由PF|?2121222c?2cx?ex?4a?a?2cxex?22a2c?22222即a?ex2c,x? 2e22,即ax0a?)在椭圆上,且(又点Pxyx则知?7/8.22ac22a?0? 2e2得e?2利用基本不等式 解法5PFPF?2a?由椭圆定义,有平方后得21222222PF?2PF4a?PF?|??PF?2(PF?PF)?2FF8c21c2?得[e所以有,)? 222a解法6:巧用图形的几何特性cF?2?FPF?90?,知点P由在以为直径的圆上。2121在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点又点P222ca?c?c?b?故有离心率的五种求法1e10?e?e?1,抛物线的离心率椭圆的离心率双曲线的离心率ac求解一接求出cca?e易可利用率心率公式来解决。已知圆锥曲线的标准方程或a226????1一条准线与抛物线 2aD.B.

)双曲线的离心率为(3323.C.23222233c1?a2?x?6??x?,则的准线是,即双曲线的右准线解:抛物线22cc32c22c?D??e0?2?c233?a,解得,故选, 3a????00F,F31, 1、若椭圆经过原点,且焦点为变式练习,则其离心率为(2112314432????0,F03,F13cc?2c?1?1??1c?a?

D. C. B. A.,知,∴由解:又∵椭圆过原点,∴21c?1a2c?C. a为6变式练习26332D C. B. 217/9.3ce?3a2c2c?6C 2a2yx0?b?a1??P1-3P3且方向椭习)的左准线上,过点:点22ba?2?5,?2a反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为的光线,经直线为 (3 C BA35?3y?1?2?(对称关系入射光线为解,关于22?a3c3??3a?e0y5x??21c则故选解得Ac? 3a?0??5c?5?3于1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 2 2221为2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 1),0,(F(3F,3.若椭圆经过原点且焦点为则椭圆的离心率为 2 1DAABCDABBB两点的椭圆的离心率为。4.已知矩形,4322yx)?(a?b?1PF?PP,则椭圆圆5.短轴端点为满足 212ba2?e。22yx1?0n?(m?.为6..已知21取得最小值时椭圆则当mn 22nmnm3 2 22yxNMx0)1(a????F,2222椭圆7.轴的交点分别为的焦点为,两条准线与 212ba??2 F?MN≤F,1,P则该椭圆离心率的取值范围是若???212?? AFPFAFB8已知为椭圆的左焦点当、PB分别为椭圆的右顶点和上顶点,⊥为椭圆上的点,2?eOPOA。∥(为椭圆中心)时,椭圆的B111离心率为 2 17/10.ba22yxFF、P?已点左知是>右0上是椭圆椭一+9.=1(圆>焦,??PFFF,2?PF21212ba3?ba??椭圆的离心率为?,3?FPF?PFF15,?PFF?若,则是椭圆的两个焦点P10??21已知122126椭圆的离心率为32,焦点到相应准线的距离为1在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,则该11.2椭圆的离心率为222yx?abFlFx轴的弦)的右焦点为设椭圆,若过=1(右准线为>且垂直于>012.ab1l的长等于点111

2yx??122122(a>b>0)的两顶点为A(a,0)B(0,b),若右焦点F到直线AB椭圆13.的距离22ab61等∣AF∣,则椭圆的离心率是。 3222yx?1(a>b>0)的四个顶点为ABCD14.形ABCD的内切圆恰好过22b? 椭圆的离心率是222yx??1(a>b>0)的顶点A(a,0、15.已知直线L过椭圆B(0,b),如果坐标原点到直22a6a线L3222yxa?ba???半径O在平面直角坐标系中,椭圆为圆心,的焦距为1(0)2,以16.22b2?a2e,0=作圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心??2c?ce的齐次式,解出二、构造、cacb的关系(特别是齐二次式,进而根据题2设条件,借助之间的关系,构造、ee。得到关于的一元方程,从而解得离心率22yxa?0,?0FFFF??2为边的两焦点以线段是双曲(例已知、2abMFFMF若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是(三角形12123?1D.C.B.1?3?4?31/1.ca?F?F?PP

17,则解:如图,设,由焦半径公式的中点为的横坐标为p122cc??cc?a??c???0???22,解得,得即???2a??aa??ce??1?3D31?舍去,故选(a2yx????1??b00acba?0L两:设双曲线)的半焦距为(过,直线变式练22习1ab3c,则双曲线的离心率为( 点已知原点到直线的距离为)4233222??B. .. 3bx?aya?L,??2公式,得由已知,直线的方程为解:a3c42b?2422222c?3abca316a?c??ac,整理得两边平方,得,,又∴42?16?0?16e3e,2222bc?ab4222????2e?14?4?eba?,∴,得,又,∴或223aaae2,故选∴A0FF120MF??FM,两个焦点为,双曲线虚轴的一个端点为变式练习2:2121曲线的离心率为3663 C ABD32????00cF0,bF,?cM,,则如图所示,不妨设解???212bMcMF2c,,又212122FFMF?MF?11?cos?FMFM??????在由余弦定理,得中,2121MF?2MF21 221?bcc4?1cb?b?????即??22222c?b2b?c217/12.21?a6322222???c3b?c??2B,∴,∴,故选∵,∴,∴22222ac?23.已知椭圆的焦距、短是12点F圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆3?1MF与圆相切,则椭圆的离心率是的左焦点为F,211直线3.以点F为圆心O并且与椭圆交于MN两点,?如果MF∣=∣MO∣,则椭圆的离心率是4.设椭圆的两个焦点分别为F、F,过F11圆长轴的垂线交椭圆于点P若FPF为等2?1腰直角三角形椭圆的离心率是5知F、21122??F是椭圆的两个焦点,过F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两△ABF3是正三角2112??形,则这个椭圆的离心率是322yx3c0a?b??1?FF、是其右准线上纵坐标为6.设的左、右焦点圆P22abcFFFP为距)的1222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解FFPFFP若于点设椭圆的个焦点分别为,过,例3:22121为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。c2c2c2c1?2??e????解:F?2aPFa1c2?222c?21四、根据圆锥曲线的统一定义求解2yx??1lFF??0,ba,若过)的右焦点为设椭圆,右准线为(例4:2ablFx的距离,则椭圆的离心率是到且垂直.轴的弦的长等于点1DllAD?FFxDB的于解如图所示到准线是过且垂直于∴轴的弦,∵112???,ADAD1应准线为变式练习在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为2 则该椭圆的离心率122 CABD22217/13.AF2222e??解: 2A1五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。ruuuuuuur0?MF?MFFFM总在椭圆内部则椭圆离1已知是椭圆的两个焦点满足的点21212)(0,心率的取值范围是 2 ?FF90PF?F的椭圆离心率P是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且2.已知e212??2?1,取值范围2?? ?F、F0?FPF的P是椭圆上一点,且3.已知e,椭圆离心率是椭圆的两个焦点,212??1,?取值范围2??22yx??0oF点Q∠FQFa>b>0221222261e的取值为 椭圆离心率e 3 7CABCB△AB??co,则该椭5中在 183?e圆的离心率.8 22yx0??ba1??F,F,P分圆6.设()的左、右焦点,若在其右准线上存在 2122ba??3FPF1,的中垂线过点使线段,则椭圆离心率的取值范围是???213??2yx??0,?(1.设双曲线准线重合,则此双曲线的方程为()22222y2xxyx1???D.B.

配套练习2ba2x?y4C. 396122448322x1? 32.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于()17/14.221 B. .D2322yx41??xy?)3 .已知双曲线,则双曲线的离心率为(的一条渐近线方程为3ba3455D22B C 2,则该,焦点到相应准线的距离为.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为412212BD 椭圆的离心率为C 221,则该,焦点到相应准线的距离为5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2双曲线的离心率为()2222 DAC B 222yx1??FF0a?0?,bOBA是以分别是双曲线)的两个焦点,和6.如(2baOFABF?是等边三形为圆以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且21)则双曲线的离心率为(51?533DAB222yx1??FF0b?a?P是其右准线上纵坐(、分别是椭圆)的左、右焦点,7.2122bac3PFFF?c()标为则椭圆的离心率(为半焦距点且221215?3?1D AB C 222222yx1??FFA,使的左、右焦点,若双曲线上存在点分别是2双曲线8设122ba0AF?3AF90?F?AF则双曲线离心率(且212105155 A2BCD22217/15.22yx01??600b?a?0,

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