高中数学知识梳理

高中数学知识梳理第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六一、数学高考介绍二、数学知识梳理三、数学试题简析四、数学解题指要名门棋牌官网

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编辑整理第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六

(’99全国)向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（

）一、高考数学命题的特点与要求高考数学命题的特点B位置↔数值

h

HV

V0

O第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六

f(

)==

f

(

x

)+f

()=1.（2002全国）已知函数f(x)=

则

f(

1

)+f(

2

)+f()+f(

3

)+f()+f(

4

)+

f()=.结构特征第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六高考数学是考查数学基础的考试①基础知识②基本技能③基本数学思想方法ａ、数形结合（转换策略）ｂ、函数与方程（分析策略）ｃ、分类讨论（分解策略）ｄ、等价转换（分析策略）第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。②以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习潜能考查的要求。③以能力立意命题拓展了命题思路。④以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自然、新颖脱俗的试题。⑤以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。。⑥以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。高考数学注重能力考查第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六

（’2001全国）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为（）°°°°°°°°AB121266683457A.26B.24C.20D.19

3+4+6+6=19D高考数学对难度和速度均有要求第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六木桶原理第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六知识要求 ①了解 ②理解和掌握 ③灵活和综合运用能力要求 ①思维能力 ②运算能力 ③空间想像能力 ④实践能力 ⑤创新意识个性品质要求高考数学的要求第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六二、高考数学知识梳理与复习高考数学知识梳理

平面向量 ①理解向量的概念，掌握向量的几何表， 了解共线向量的概念。②掌握向量的加法与减法。 ③掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六④了解平面向量的基本定理，理解平面向量

的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。⑤掌握平面向量的数量积及其几何意义，了

解用平面向量的数量积可以处理有关长度、

角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。⑥掌握平面两点间的距离公式，以及线段的

定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运

用、掌握平移公式。第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①理解集合、子集、补集、交集、并集的

概念。了解空集和全集的意义。了解属 于、包含、相等关系的意义。掌握有关 的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合。②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义。理解四种命题及其相互关系，掌 握充分条件、必要条件及充要条件的意 义。集合、简易逻辑第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六函数①了解映射的概念，理解函数的概念。②了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。③了解反函数的概念及互为反函数的函数图

像间的关系，会求一些简单函数的反函数。④理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂

的运算性质。掌握指数函数的概念、图象

和性质。第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质，

掌握对数函数的概念、图像和性质。⑥能够运用函数的性质、指数函数和对数函

数的性质解决某些简单的实际问题。第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①理解不等式的性质及其证明。②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术

平均数不小于它们的几何平均数的定

理，并会简单的应用。③掌握分析法、综合法、比较法证明简单

的不等式。④掌握简单不等式的解法。⑤理解不等式∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣不等式第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①理解任意角的概念、弧度的意义，能正

确地进行弧度与角度的换算。②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定

义。了解余切、正割、余割的定义，掌

握同角三角函数的基本关系式：

sin2α+cos2α=1，，tanαcotα=1。

掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期

函数与最小正周期的意义。③掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切

公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。三角函数第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六④能正确运用三角公式，进行简单的三角函

数式的化简、求值和恒等式证明。⑤了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图

像和性质，会用“五点法”画正弦函数、

余弦函数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图，

理解A、ω、ψ的物理意义。⑥会由已知三角函数值求角，并会用符号

arcsinx、arccosx、arctanx表示。⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用

它们解斜三角形。第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①理解数列的概念，了解数列通项公式的

意义，了解递推公式是给出数列的一种

方法，并能根据递推公式写出数列的前

几项。②理解等差数列的概念，掌握等差数列的

通项公式与前n项和公式，并能解决简单

的实际问题。③理解等比数列的概念，掌握等比数列的

通项公式与前n项和公式，并能解决简单

的实际问题。数列第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过

两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的

点斜式、两点式、一般式，并能根据条件

熟练地求出直线方程。②掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直

线所成的角和点到直线的距离公式。能够

根据直线的方程判断两条直线的位置关

系。③了解二元一次不等式表示平面区域。直线和圆的方程第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六④了解线性规划的意义，并会简单的应用。⑤了解解析几何的基本思想，了解坐标法。⑥掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的

参数方程。第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简

单几何性质。理解椭圆的参数方程。②掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。③掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线

的简单几何性质。④了解圆锥曲线的初步应用。圆锥曲线方程第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①掌握平面的基本性质，会作斜二测的画

法画水平放置的平面图形的直观图；能

够画出空间两条直线、直线和平面的各

种益关系的图形，能够根据图形想像它

们的位置关系。②掌握直线和平面平行的判定定理和性质

定理；掌握直线和平面垂直的判定定

理；掌握三垂线定理及其逆定理。③理解空间向量的概念，掌握空间向量的

加法、减法和数乘。直线、平面、简单几何体第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六④了解空间向量的基本定理；理解空间向量

坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。⑤掌握空间向量的数量积的定义及其性质；

掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。⑥理解直线的方向向量、平面的法向量、向

量在平面内的射影等概念。⑦掌握直线和直线、直线和平面、平面和平

面所成的角、距离的概念。第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六⑧了解多面体、凸多面体的概念，了解正多

面体的概念。⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画

直棱柱的直观图。⑩了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会

画正棱锥的直观图。

11了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的

表面积、体积公式○

第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①掌握分类计数原理与分步计数原理，并

能用它们分析和解决一些简单的应用问

题。②理解排列的意义，掌握排列数计算公

式，并能用它解决一些简单的应用问题。③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和

组合数的性质，并能用它们解决一些简单

的应用问题。④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并

能用它们计算和证明一些简单的问题。排列、组合、二项式定理第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①了解随机事件的发生存在着规律性的随

机事件概率的意义。②了解等可能性事件的概率的意义，会用

排列组合的基本公式计算一些等可能性

事件的概率。③了解互斥事件与相互独立事件的意义，

会用互斥事件的概率加法公式与相互独

立事件的概率乘法公式计算一些事件的

概率。④会计算事件在n次独立重复试验中恰好发

生k次概率。概率第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①了解随机抽样，了解分层抽样的意义，

会用它们对简单实际问题进行抽样。②会用样本频率分布估计总体分布。③会用样本估计总体期望值和方差。统计第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六①了解导数概念的实际背景。②理解导数的几何意义。③掌握函数y=c（C为常数）、y=xn（n∈N+）

的导数公式，会求多项式函数的导数。④理解极大值、极小值、最大值、最小值的

概念，并会用导数求多项式函数的单调区

间、极大值、极小值及闭区间上的最大值

和最小值。⑤会利用导数求某些简单实际问题的最大

值和最小值。

导数第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六设函数f(x)的导数为f(x),且f(x)=x3+2xf(1)则f(0)=()A.0B.-3C.-6D.6关键

理解f(1)是常量

∵f(x)=3x2+2f(1),

∴f(0)=2f(1).

①

又

f(1)=3+2f(1),∴f(1)=-3.代入

①式,得f(0)=-6.第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六高考复习“四字诀”实：小处不可随便活：海阔凭鱼跃 ①解题后的再思考例求证：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ（n∈z） 它的通常解法是： 证明：

（1）当n为偶数时，设n=2k（k∈z）

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ） =sinθcosθ=sin2θ

1212第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六（2）当n为奇数时，设n=2k+1（n∈z）

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ

=sin（2kπ+π+θ）·cos（2kπ+π-θ）

=（-sinθ）（-cosθ）=sin2θ

综上得：sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ

无论是n为偶数，还是n为奇数，都有：

sin（nπ+θ）cos（nπ-θ）=sin2θ，这就引起了我们的再思考。思考：上面的讨论是雷同的，是否可以回避?121212第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六②深层次挖掘教材如：{an}为等差数列，a1、a2、a9成等比数列则题目的来源：选择特殊数列为背景，最常

见、最先想到的是自然数列，易知它满足条

件，所以选an=n。再如函数这一部分，复习时可对y=和

y=logax的图象和性质进行研究。第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六广：天高任鸟飞

①全面复习，知识和能力并重 ②学会学习新：万变不离其宗 ①“旧题”新解，追求优美

例如：过抛物线y2=x上一点（4，2），作倾角互补的两条直线AB、AC交抛物线

B、C，求证：直线BC的斜率为定值。思考：

按照与作图步骤相吻合的思路来求解。

第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六解：设KAB=K，则，KAC=-K，AB的方程为

y=k（x-4）+2

因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程组的解。y2=xy=k（x-4）+2解之得XB=

·（4k2-4k+1），YB=同样的方法可得XC=

，YC=可求得KBC=第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六再思考：在解题过程中，求B点坐标的计算量比较

大，应该想办法改进。我们还再回顾一下原来的解题程序。设KAB→写直线AB、AC的方程→解出B、C→表示KBC改进：先设B、C坐标。改进后的程序为：设B、C坐标→求出KAB、KAC→表示KBC设B（，t2），C（，t2）（∣t1∣≠∣t2∣）这时KAB=，KAC=∵KAB=-KAC，即x0ABCy第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六化简得：t1+2=-（t2+2）下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是

应该明确一下本题的目标。要证明KBC是

一个定值，于是不妨先求出KBCKBC=这就好了，原来是要证明t1+t2是定值。这样，就自然想到将t1+2=-（t2+2）变形为

t1+t2=-4本题圆满获得解决。再改进：设B、C坐标→表示KBC→求出KAB、KAC②看透本质，新题通法。

第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六“知识与技能”突出思想和智慧程序性主干性这里的技能特性也有两点：独立操作性：由重复再现过渡到独立

完成； 迁移性：通过联系的思想与转换的手

段达到灵活运用、举一反三和触类旁

通的目的。三、去年高考数学试题的亮点第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例1（高考第一题第6小题）某校为了了解学生的课外

阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某

一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形

表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每

人的课外阅读时间为

A、0.6小时

B、0.9小时

C、1.0小时

D、1.5小时解析一天平均每人课外阅读时间为

=0.9（小时）故选B。时间（小时）00.51.01.52.0xy2015105人数（人）第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例2（高考第一题第8小题）设k>1，f（x）=k（x-1）

（x∈R）。在平面直角坐标系xOy中，函数

y=f(x)的图象与x轴变于A点，它的反函数

y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是

3，则k等于（）

A、3

B、

C、

D、01Axy

1Bp第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六解析:依题意A（1，0），B（0，1），

y=f（x）与y=f-1（x）的交点必在

直线y=x上。由y=k（x-1），

y=x

解得：x=

因为S四边形OAPB=2S△OPA=2·

∣OA∣·∣xp∣==3，所以k=。故此选B第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六“过程与方法”重视价值和策略例3(高考第二题第16小题)平面向量a、b

中，已知a=(4，-3)，∣b∣=1且a·b=5

则向量b=

。

[方法1]设a与b夹角为θ。则由a·b=5→∣a∣∣b∣cosθ=5→5·1·cosθ=5→cosθ=1→θ=0º

所以b与a共线且方向相同，

b=（，-)。解析解决本题至少可从这样两个角度思考第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六[方法2]设b=（x，y）

x2+y2=1x=4x-3y=5y=-或利用直线4x-3y=5与圆x2+y2=1相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（，-）b=（，-）则→第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期六“情感、态度与价值观”体现感悟和动力例4（高考第六大题）制订投资计划时，

不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考

虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根

据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别

为100%为50%，可能的最大亏损率分别为

30%和10%，投资人计划投资金额超过10

万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8

万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资

多少万元，才能使可能的盈利最大？第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期六解析设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x+y≤10，0.3X+0.1y≤1.8,x≤0,y≥0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。作直线L：x+0.5y=0，并作平行于直线L的一组直线。X+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。Y18100610x0.3x+0.1y=1.8x+0.5y=0M(4,6)

x+y=10L第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期六解方程组

x+y=10 0.3x+0.1y=1.8得x=4，y=6此时z=1×4+0.5×6=7（万元）因为7>0，所以x=4，y=6时z取最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投

资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8

万元的前提下，使可能的盈利最大。第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期六多思善想思联系，网络知识，夯实基础例1α、β是两个不同的平面，m、n是

平面α及β之外的两条不同直线，给

出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，

③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论

断作为条件，余下一个论断作为结

论，写出你认为正确的一个命题

。

四、高考数学复习解题指要第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期六思路1：题目结构中a、b、c具有轮换对称性，

可将右式分为三个部分，用综合法易证：

（a+b），（b+c）， （a+c），三式相加即得。 例2已知a>0，b>0，c>0，求证：（a+b+c）思多解，多方出击，培养思维的发散性第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期六是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。思路2：（a+b）=asin+bcos=sin（+φ）≤（a+c）≤三式相加即得。（b+c）≤第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期六

BαabAc同理：≥（a+c）三式相加即得。思路3观察左边三个根式，联系立几知识，它们

是以a、b、c为三度的长方体的三个面的对

角线长度，可构造长方体来证明，如图:∣AB∣=，a+b=∣AB∣sinα+∣AB∣cosα

=（sinα+cosα）=sin（α+）≤所以≥（a+b）第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期六思规律，找变化，触类旁通例3试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必

和椭圆相应的准线相离。例4已知异面直线a和b所成的角为50º，P为

空间任一定点，则P点且与a、b所成的

角都是30º的直线有且仅有（）

A、1条B、2条C、3条D、4条在本题中50º和30º的设置对答案起着重

要作用。因此，可通过改变50º和30º的

大小来深化对这类题目的理解。第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期六（1）若将50º改为25º，其余条件不变，则答

案是

。（2）若将50º改为65º，其余条件不变，则答

案

。（3）若将30º改为70º，其余条件不变，则答

案是

。（4）若将50º改为xº，30º改为yº，且答案为A，

则x、y的关系式为

；若答案为B，则

x、y的关系为

；若答案为C，则x、

y的关系为

；若答案为D，则x、y的

关系为

。第五十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期六例5求和S=（x+）+（x2+）+…+（xn+）错解：S=（x+x2+x3+…+xn）+(++…+)=+这是应用等比数列求和公式时很容易出现的

问题,按照等比数列求和公式,当公式q是一个不确

定的数时,求其前n项和,则要考虑q=1,q≠1两种情

况,因此应分四