高观点下的初等数学选讲

高观点下的初等数学选讲1第一页，共十六页，编辑于2023年，星期六一、矩阵代数（从代数的角度看变换）1、定义2、低阶矩阵3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）2第二页，共十六页，编辑于2023年，星期六一、矩阵代数（从代数的角度看变换）4、矩阵运算

（1）加法（减法）（2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类似整数除法）注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！（3）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘法）（4）转置（共轭转置）3第三页，共十六页，编辑于2023年，星期六一、矩阵代数（从代数的角度看变换）5、数域F的n*n阶矩阵（即n阶方阵，关于以上定义的加法、乘法、数乘构成数域F上的一个n2维非交换，有零因子的代数，即运算律！）6、可逆矩阵与矩阵求逆（1）定义：（2）可逆阵的判定:

（3）基本性质4第四页，共十六页，编辑于2023年，星期六一、矩阵代数（从代数的角度看变换）（4）可逆阵求逆法（i）初等变换法（ii）公式法（iii）根据变换的几何意义求逆矩阵（iv）特别地n=2时7、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式5第五页，共十六页，编辑于2023年，星期六二、线性变换（从几何角度看变换）

1、向量空间（线性空间）定义回顾

2、低维向量空间

3、基与维数

4、线性变换的定义

5、线性变换与矩阵的一一对应关系

6第六页，共十六页，编辑于2023年，星期六二、线性变换（从几何角度看变换）

6、可逆线性变换的性质（1）将直线变成直线（2）将线段变成线段（3）将平行四边形变成平行四边形7第七页，共十六页，编辑于2023年，星期六三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵1、旋转变换设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度α，则这个变换是线性变换，求这个线性变换及对应的矩阵2、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变换3、恒等变换是特殊的旋转变换8第八页，共十六页，编辑于2023年，星期六三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵4、反射变换证明关于直线Ax+By=0的反射变换是线性变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可逆矩阵吗？

9第九页，共十六页，编辑于2023年，星期六三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原点O，倾斜角分别是α，β，设A,B分别是表示直线l1,l2的反射变换，求（1）A,B复合变换BA的矩阵（2）BA的复合AB的矩阵（3）根据矩阵说明BA,AB是什么变换？这两个变换是否相同。

10第十页，共十六页，编辑于2023年，星期六5、位似变换6、伸压变换7、投影变换

注：平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：（1）平面上不同的点被T变到不同的点（2）T将平面变到整个平面。（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵11第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期六8、根据变换的几何意义求矩阵的逆思考：保持长度不变（内积不变，距离不变）的线性变换是什么变换？三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵12第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期六

1、定理

2、推论

3、定理例1：求下面图形的面积（1）平行四边形OABC，其中A(1,1),B(-2,1)

（2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1)

（3）平面四边形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用13第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期六（4）已知矩形OBCD的顶点A(t,0),B(0,k)，矩阵T＝

代表的变换个将矩形OABC变到图形OA’B’C’，求变换后的图形OA’B’C’与变换前的图形OABC的面积比。四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用14第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期六4、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值。例2、求椭圆x2/a2+y2/b2=1（其中a>b>0）的内接菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。例3、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆x2/a2+y