广东省深圳市菁华中英文实验中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

广东省深圳市菁华中英文实验中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则A∩B=A.(1,+∞) B. C. D.参考答案：A,所以，选A.2.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设，，，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.半径为2的球的内接三棱锥，则三棱锥的高为A. B. C. D.3参考答案：D【分析】在三棱锥P﹣ABC中，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球心O在PM所在直线上，在三角形PBO中利用余弦定理可得∠BPM，然后求出∠PBM＝60°，进一步算出PM．【详解】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝＝∴∠BPM＝30°，∴在Rt△PMB中，∠PBM＝60°，∴PM＝PBsin∠PBM＝3．故选：D．【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．5.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.若集合A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩（?RB）=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】集合．【分析】根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={y|0≤y＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，全集R，∴?RB={x|x≤﹣1或x≥1}，则A∩（?RB）={x|1≤x＜2}．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7.函数的值域为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（

）A.120种 B.240种 C.480种 D.600种参考答案：B【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9.一个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(

)A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β参考答案：D因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l.因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确．因为AB∥l，l?β，AB?β.所以AB∥β.故C也正确．因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（极坐标与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为，圆：（为参数）上的点到直线的距离为，则的最大值为

.参考答案：12.已知球的表面积为64πcm2，用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，则截面与球心的距离是

cm．参考答案：2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求出球的半径，再利用勾股定理，即可求出截面与球心的距离．解答： 解：球的表面积为64πcm2，则球的半径为4cm，∵用一个平面截球，使截面球的半径为2cm，∴截面与球心的距离是=2cm．故答案为：2．点评：本题考查截面与球心的距离，考查球的表面积，求出球的半径是关键．13.设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若的最小值存在且为，则称为曲线M，N之间的距离.（1）若曲线M:为自然对数的底数），曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

；（2）若曲线M：，曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

．参考答案：，【知识点】单元综合B14：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．

∵y′=ex，∴ex0=1，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切线方程为y=x+1．

∴曲线M，N之间的距离=．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．

设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），由曲线N：x2+1+y=0，y′=-2x，

令-2x=-1，解得x=，y=-．切点P(，-)到直线y=-x的距离=．

∴曲线M，N之间的距离为．【思路点拨】（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1），

代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出．14.已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．参考答案：6+9【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d?|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．15.已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B=

．参考答案：{﹣2，0，3}

【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，∴A∪B={﹣2，0，3}．故答案为：{﹣2，0，3}．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．16.若复数（i为虚数单位是纯虚数，则实数的值为

．参考答案：-2略17.设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=．参考答案：{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，∵M={0，1，2}，∴M∩N={1，2}，故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．参考答案：解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

19.(本小题满分16分)已知函数(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)若时，函数在实数集上有最小值，求实数的取值范围．参考答案：(1)因为时，，所以令，则有，当时恒成立，转化为，即在上恒成立，………2分令p(t)＝t－，，则，所以p(t)＝t－在上单调递增，所以，所以，解得．……6分(2)当时，，即，当时，即，；当时，即，．……………9分当时，，令，，则，当时，即，；当时，即，，此时无最小值；……12分所以，当时，即，函数；当时，，函数无最小值；当时，，函数无最小值．…………15分综上所述，当时，函数有最小值为；当时，函数无最小值．所以函数在实数集上有最小值时，实数的取值范围为．……………16分20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．解答： 解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，过D作DH⊥BC，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF=F，所以CD⊥平面PBD．点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．21.（12分）（2015?庆阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）设A1C∩AC1=0，根据O、D分别为CA1、CB的中点，可得OD∥A1B．再利用直线和平面平行的判定定理证得A1B∥平面AC1D．（2）由题意可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥CE．再根据B1BCC1是正方形，D、E分别为BC、BB1的中点，证得C1D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D．（1）证明：设A1C∩AC1=0，则由三棱柱的性质可得O、D分别为CA1、CB的中点，