北京沙河中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析

北京沙河中学2021-2022学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象是

（

）

参考答案：B2.顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是(

)A．y2=x B．x2=yC．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y参考答案：D【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）∴9=4p，解得p=，∴y2=﹣x．（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为x2=2py（p＞0）∴4=6p，解得：p=．∴x2=y∴抛物线方程是y2=﹣x或x2=y．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A.18

B.36

C.54

D.72参考答案：D4.复数的共轭复数的虚部为（

）A.1 B.3 C. D.参考答案：D【分析】根据复数的除法运算、共轭复数的定义求得共轭复数，从而可知虚部.【详解】

的共轭复数为：虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数除法运算、共轭复数的求解、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（

）A.有两个内角是直角

B.至少有两个内角是直角C.有三个内角是直角

D.没有一个内角是直角

参考答案：B6.命题“若，则”的否命题是（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则

（D）若，则参考答案：A7.关于x方程||=的解集为（）A．{0} B．{x|x≤0，或x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】利用绝对值的意义，即可得出方程的解集．【解答】解：由题意，≥0，∴x≤0，或x＞1，∴方程||=的解集为{x|x≤0，或x＞1}，故选：B．8.为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（）A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，15参考答案：B【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的方法的要求，确定抽取间隔即可得到结论．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到005号，以后每隔10个号抽到一个人，∴抽取的号码构成以5为首项，d=10为公差的等差数列．∴an=10n﹣5．由10n﹣5≤155解得n≤16，即第一营区抽中的人数为16人．由156＜10n﹣5≤255，即n=17，18，…26，共有26﹣17+1=10人，即第二营区抽中的人数为10人．则第三营区的人数为40﹣16﹣10=14人．故选B．【点评】本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．9.抛物线的准线方程是

(

) （A）4x+1=0 （B）4y+1=0 （C）2x+1=0 （D）2y+1=0参考答案：B10.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(

)．A．简单随机抽样

B．系统抽样C．分层抽样

D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．【解答】解：由正弦定理，∴故答案为12.若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.

参考答案：【分析】选出的男女同学均不少于1名有两种情况：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解.【详解】从5名男同学和2名女同学中选出3人，有种选法；选出的男女同学均不少于1名，有种选法；故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：.【点睛】本题考查排列组合和古典概型.排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.13.若对所有正数不等式都成立，则的最小值是

.参考答案：.解析：由当时取等号，故的最小值是.14.全称命题“?x∈R，x2+5x=4”的否定是． 参考答案：【考点】命题的否定． 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题， 即， 故答案为： 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 15.全称命题“”的否定是

.参考答案：略16.，，则实数的取值范围为 参考答案：略17.设函数是奇函数，则实数的值为

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．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

（I）求证：A1C//平面AB1D；

（II）求二面角B—AB1—D的大小；

（III）求点C到平面AB1D的距离.

参考答案：略19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质求得样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G，用列举法求得所有的抽法有21种，而满足条件的抽法有10种，由此求得所求事件的概率．【解答】解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100）有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是8以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，F），（a，G），（b，c），（b，d），（b，e），（b，F），（b，G），（c，d），（c，e），（c，F），（c，G），（d，e），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），（F，G），共有21个基本事件；其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有（a，F），（a，G），（b，F），（b，G），（c，F），（c，G），（d，F），（d，G），（e，F），（e，G），共10个，所以抽取的2名同学来自不同组的概率．20.已知函数f（x）=过点（1，e）．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，求的最小值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据题意得出b的值，求出导函数，得出函数的单调区间；（2）构造函数）令g（x）=，求出导函数g'（x）=，根据导函数判断函数的极值即可．【解答】解：（1）函数定义域为{x|x≠0}，f（1）=e，∴b=0，∴f（x）=，f'（x）=，当x≥1时，f'（x）≥0，函数递增；当x＜0或0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴函数的增区间为[1，+∞]，减区间为（﹣∞，0），（0，1）；（2）令g（x）=，g'（x）=，当在（0，2）时，g'（x）＜0，g（x）递减；当在（2，+∞）时，g（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）=为函数的最小值．21.已知数列{an}是递增等比数列，Sn为其前n项和，且a1+a4=28，a2?a3=27．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=（3n+1）?an，求其前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的通项公式，列方程组，即可求得a1及公比q，即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得bn=（3n+1）×3n﹣1，利用“错位相减法”即可求得其前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由数列{an}是递增等比数列，首项a1＞0，公比为q＞1，an=a1qn﹣1，a1+a1q3=28，①a1q?a1q2=27，②解得：，∴数列{an}的通项公式an=3n﹣1；（Ⅱ）由bn=（3n+1）×3n﹣1，则前n项和Tn=b1+b2+…+bn=4×1+7×3+10×32+…+（3n+1）×3n﹣1，则3Tn=4×3+7×32+10×33+…+（3n﹣2）×3n﹣1+（3n+1）×3n，两式相减得：﹣2Tn=4+3×3+3×32+…+3×3n﹣1﹣（3n+1）×3n，=1+3×﹣（3n+1）×3n，=（﹣3n+）3n﹣，∴Tn=（﹣）3n+=，∴数列{bn}前n项和Tn=．【点评】本题考查等比数列的通项公式，等比数列前n项和，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．22.(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）

非体育迷体育迷合计男

女

1055合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差附：，

0.050.013.8416.635参考答案：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：

非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式