2023年高考数学一轮复习（艺考）第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式高频考点（原卷版）

第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率

公式（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：相互独立事件的概率

题型二：条件概率

题型三：全概率公式的应用

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：相互独立事件

对任意两个事件/与6,如果P（/8）=°（/）P（8）成立，则称事件/与事件6相互独立（mutually

independent）,简称为独立.

性质1：必然事件不可能事件0与任意事件相互独立

性质2：如果事件/与8相互独立，则/与5，7与B,7与豆也相互独立

则:尸（/同=尸（42（矶产（初）=“卜⑻,P（）办咐所）

知识点二：条件概率

P（BM）=P（"3）

1、定义：一般地，设“，8为两个随机事件，且°（/）＞°,我们称尸（“）为在事件〃发生

的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件〃与8,若P（/）＞°,则P（/6）=P⑷♦P（8M）

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.我们称上式为概率的乘法公式.

3、条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设则

①P（QM）=1；

②如果3和C是两个互斥事件，则尸（8UC|/）=p（61/）+P（C|A）.

③设公和6互为对立事件，则尸向⑷=1-尸（81，）.

④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：0«P⑻⑷41.

知识点三：全概率公式

1、定义：一般地设&4,4…4是一组两两互斥的事件，41）42四--114=0,且p（4）＞°,

p（8）=fp（4）p（6|4）

'=1,2,3,4…〃，则对任意的事件8=0,有,=!，我们称此公式为全概率公式.

2、全概率公式的理解

全概率公式的直观意义：某事件8的发生有各种可能的原因％（i=L2,3,4…〃），并且这些原因两两互

斥不能同时发生，如果事件8是由原因4所引起的，且事件4发生时，氏4：必同时发生，则尸（8）与

P（R八fp（84）=£p（4）P⑻4）

有关，且等于其总和I

“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率0（'4）,或已知各原因4发生的概率

0（4）及在4发生的条件下B发生的概率尸（814）.通俗地说，事件B发生的可能性，就是其原因4发生

的可能性与已知在4发生的条件下事件8发生的可能性的乘积之和.

第二部分：典型例题剖析

I

题型一：相互独立事件的概率

典型例题

乂TI本期M维'IX供纱为恒仪刎际

例题1.（2022•北京丰台•高二期中）如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8,

任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x.若设事件｛="x为奇

数”，事件8="x为偶数"，事件C="x为3的倍数”，事件。=“x43”，其中是相互独立事件的

是（）

A.事件A与事件£B.事件8与事件C

C.事件A与事件。D.事件。与事件。

例题2.（2022•湖北•应城市第一高级中学高二阶段练习）袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1

个黑球，从中不放回地摸球两次，用A表示事件“第1次摸得白球”，8表示事件“第2次摸得白球”，

则A与8是（）

A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件

例题3.（2022•上海杨浦•高三期中）已知力、8是独立事件，尸（力）=0.3,尸（8）=0.5,则0（/05）=

例题4.（2022•全国•高一课时练习）掷一枚骰子一次，判断“出现偶数点”与“出现3点或6点”是

不是相互独立事件.

同类题型归类练

1.（2022,河南•郑州十九中高二开学考试）掷一枚骰子，记事件N表示事件”出现奇数点"，事件8表示事

件"出现4点或5点"，事件C表示事件"点数不超过3",事件。表示事件"点数大于4",有下列四个结论：

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①事件/与8是独立事件；②事件8与C是互斥事件；③事件C与。是对立事件；④.其中

正确的结论是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.（2022•广东江门•高一期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件4="第一枚硬币正面向上"，事件8=

"第二枚硬币反面向上"，下列结论中正确的是（）

A./与8为相互独立事件B.4与B互为对立事件

P（4）=P⑻

C./与8为互斥事件D.

3.（2022•江西・景德镇一中高二期中（理））下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）

A.掷一枚骰子一次，事件出现偶数点"；事件N"出现3点或6点”

B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件加"第一次摸到白球"，事件N

"第二次摸到白球"

C.一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件正｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝,

事件N=｛一个家庭中最多有一个女孩｝

D.一个家庭中有三个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件小｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝,

事件N=｛一个家庭中最多有一个女孩｝

4.（多选）（2022•全国•高二单元测试）掷一枚骰子，记事件/表示事件"出现奇数点”，事件8表示事件

"出现4点或5点"，事件C表示事件“点数不超过3",事件。表示事件”点数大于4",则（）

A.事件/与8是独立事件B.事件8与C是互斥事件

C.事件。与。是对立事件D.DoAcB

题型二：条件概率

典型例题

例题1.（2022•吉林•长春吉大附中实验学校高二阶段练习）从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两

个数，事件N="有一个数是奇数“，B="另一个数也是奇数”，则尸（用/）=（）

1

212

A.3B.5C.2D.3

（2022•全国•高二课时练习）已知"用"）=《，则|P（/8）=（）

例题2.

34]2_6_

A.4B.5C.25D.25

例题3.（2022•北京丰台•高二期末）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰

子向上的点数为1”为事件A,“两枚骰子的点数之和等于6”为事件8,则P（同"）=（）

1

A.3B.6C.12D.36

例题4.（2022•河南濮阳•高三阶段练习（理））袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别

标有数字4,5,6.每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.设事件A为

“三次记下的号码之和是15”，事件8为“三次记下的号码不全相等”，则，（用"）=（）

622_1

A.7B.，C.27D.7

例题5.（2022•全国•高三专题练习）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以N表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一

球，以8表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（）

尸（4）=：=1P⑻合口「（m

A.5B.5C.25D.2

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同类题型归类练

1.（2022•吉林油田第十一中学高二期末）某射击队员练习打靶，已知他连续两次射中靶心的概率是0.4,

单独一次射中靶心的概率是0.8.在某场比赛中，该队员第一次已经中靶，则第二次也中靶的概率是（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

331

P（AB）=—P（A）=-P（B）=_p（niA\-

2.（2022・陕西•绥德中学高二阶段练习（文））已知10,5,5,则尸（圻句-

（）

±±21

A.50B.2C.I。D.4

3.（2022・广东•高三阶段练习）某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1,2,3的大小、质地

完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定"三

次记下的号码都是2"为一等奖.已知小张摸球"三次记下的号码之和是6”,此时小张能得一等奖的概率为

（）

212_

A.6B.C.7D.27

4.（2022•全国•高三专题练习）甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3

种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件N="甲选择农夫山泉"，事件5="甲和乙选择

的饮品不同"，则P（M'）=（）

1112

A.4B.2c.3D.3

5.（2022•江西•芦溪中学高二开学考试）有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从

中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）

252

A.3B.5C.9D.3

题型三：全概率公式的应用

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典型例题

例题1.（2022•全国•高三专题练习）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%,乙厂

产品占40%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的

概率是（）

A.0.92B.0.93C,0.94D.0.95

例题2.（2022•江苏南京•高二阶段练习）学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某

餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅

就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）

A.0.18B.0.28C,0.42D.0.65

例题3.（2022•全国•高三专题练习）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现

1

有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为茄，

现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0Q8,则甲厂生产该芯片的次品率为（）

XJ_J_J_

A.5B.10C.15D.20

例题4.（2022•全国•高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为

0.5,知道正确答案时，答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目

的概率为.

例题5.（2022•全国•高三专题练习）两批同种规格的产品，第一批占30%,次品率为5%；第二批占

70%,次品率为4%,将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为

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同类题型归类练

1.（2022•全国•高二课时练习）有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,

0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为（）

A.0.65B.0.075

C.0.145D.0

2.（2022•福建・