核心素养视角下的概念教学

核心素养视角下的概念教学——函数的零点课堂教学与反思高俊翔（上海市南洋模范中学，上海200032）摘要：概念教学是课堂教学的重要环节，也是培养学生数学学科核心素养的重要途径之一.本文以“函数的零点”概念课出发，在“理解数学、理解教学、理解学生”的基础上，从核心素养的视角来谈谈高中数学概念课的设计、感悟与思考.关键词：概念教学；核心素养；函数零点；数形结合引言数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1].笔者基于APOS理论对高中数学概念课进行了研究，明晰了概念学习要经过“活动”（概念情境引入）、“过程”（概念定义形成）、“对象”（概念本质理解）和“图式”（概念系统联结）等四个阶段，同时在研究的过程中深刻体会到概念课对于学生数学核心素养提升的价值，也尝试在“理解数学、理解教学、理解学生”[2]的基础上，从核心素养的视角来设计高中数学概念课.“函数的零点”一课教学内容选自上海教育出版社普通高中教科书数学必修第一册.函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在经历了指数函数和对数函数的研究过程之后，函数的应用更加突出了函数与方程的相互关系，这是“二期课改”教材中力图潜在地渗透但没有明确指出的.随着课程标准的调整，现有教材也将这部分内容作为一个重要组成部分，试图通过精心的选择内容，使学生明白如何从分析的角度审视方程与不等式.在函数的零点与方程的解的转换过程中，逐步渗透化归与转化思想、函数与方程思想和数形结合思想，以此帮助学生通过直观想象进一步领悟函数的本质，提升学生核心素养.本文以“函数的零点”一课的设计和教学为例，借此谈谈概念课教学的设计、感悟与思考.教学过程旧知新问、形成概念首先引导学生完成表格的填写，利用之前学过的函数、、，让学生发现方程的解与函数图像与轴交点横坐标的关联，从而并引出函数零点得概念.从而完成本课的第一个核心任务：发现函数零点的数的意义和形的特征.师：我们之前学习了函数的概念和函数的一些性质，如函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值.那么我们在具备了这些知识之后，我们可以试着用函数的观点来看待一些问题了.接下来请同学们来求解下表中的方程，并画出函数的图像函数方程函数的图像师：从方程的根和对应函数的图像上，同学们能够发现什么关联呢？生：对比方程的根，就是相应函数图像与轴交点的横坐标.设计意图：此环节为“活动”和“过程”阶段.在不等式部分学生已了解二次函数与方程、不等式的联系，而对于利用函数来研究不等式，虽然学生已有这样的经历，但以形助数的意识需要在不同的阶段进行强化、渗透，循序渐进.因此，基于学生的认知，以熟悉的函数为例，在表格的完成过程中体会函数的零点与方程的根、图象交点的关系，进而抽象概括给出一般函数零点定义，体会用函数观点来引领代数知识的学习路径，为后续一般方程根的探究求解提供了思路.运用概念、建立关联在学习了函数零点的概念，了解了方程的根和函数与轴交点的关联之后，通过运用函数零点的概念，来求解方程和不等式，进一步建立方程、不等式和函数之间的紧密联系.例1：解方程：生1：利用初中学习的因式分解来求解方程，将方程转化成，再进行因式分解，得到，即方程的解为师：还有其他什么解法吗？生2：可以从函数的角度来看，记对于任意给定的，当时，根据不等式的性质，可得因此，故函数在定义域上是一个严格增函数又由，所以方程的解为师：有了例题1的帮助，我们能否解决例题2呢？例2：解不等式生2：借用问题2的过程，记对于任意给定的，当时，根据不等式的性质，可得因此，故函数在定义域上是一个严格增函数又由，可知在上，当且仅当时成立因此不等式的解集为设计意图：此环节为“对象”的初级阶段.在理解零点概念的基础上给出例1，生1所给出是初中阶段学习的因式分解方法，并未将方程的解与函数的零点结合起来.而生2是将方程与函数关联起来，体现了对函数零点的代数理解，即方程的解.并从函数的角度出发，利用了我们之前学过的函数的单调性来帮助求解方程.之后，进一步用例2，引导学生体会转化的思想，让学生进一步体会对函数零点几何属性，为后续“对象”的进阶阶段做好充分的铺垫工作.转化问题、理解本质通过将例2进行进一步变形为更加复杂的情况，让同学们逐步引导学生寻找出函数在区间内存在零点的方法，即函数零点存在定理.同时，借助学生自问自答的几点思考问题，进一步清晰零点存在定理在使用中所需要注意的条件.例3：方程是否有整数解？说明理由师：显然这里是一个方程是否有整数解的问题，利用上面“方程的根和函数的零点”的关联，我们能否把这个问题，转换成到函数的角度去思考呢？生：记对于任意给定的，当时，根据不等式的性质，可得因此，故函数在定义域上是一个严格增函数又由，由单调性可知，当；而当因此，任一整数一定不是函数的零点，从而方程没有整数解.师：很好，那么方程是否有实数解呢？生：函数在定义域上是一个严格增函数，且，，所以函数一定有零点，且在之间师：请同学们看一下在零点存在定理的叙述，在我们使用这个定理时有什么是需要注意的地方吗？请同学们来看一下一下对零点存在定理的几个思考？思考1：如果在区间上，函数的图像是一段连续曲线，并且，那么在区间上一定有零点吗？思考2：如果在区间上，函数的图像不是一段连续曲线，并且，那么在区间上一定有零点吗？思考3：如果在定理中加入什么条件，则在区间仅存在一个零点？思考4：如果在区间上，函数的图像是一段连续曲线，且在区间上至少有一个零点，那么是否一定有吗？思考5：如果在区间上，函数的图像是一段连续曲线，且，那么在区间上就没有零点吗？设计意图：此环节为“对象”的进阶阶段.通过问题的层层递进，引导学生找到总结找寻一般函数区间内存在零点的方法，即函数零点存在定理，并加以完善.同时追问几个思考，明晰了定理的充分不必要性.从代数（方程的根）、几何（函数图象与轴交点的横坐标）两个角度加深对函数零点的理解，实现了函数的零点与方程的解的贯通，也就为方程根的求解提供了新的路径.概念应用、建立联系在了解函数零点存在定理的基础上，引入方程的根的近似值这一问题，促使学生对于零点存在定理作出进一步的思考，逐步形成二分法的思想，从而对前面的知识学习加以巩固.师：方程的解是离4近，还是离5近呢？生：利用函数，通过的正负号，可以作出判断.师：那么能否用这个方法解决例题4呢？例4：解方程（精确到）生：在确定了区间上一定有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零点，而含有零点的区间的长度变为原先的一半.反复执行这种“一分为二”的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从而容易求得其近似值了.步骤144.55（-27）（1.125）（36）244.254.5（-27）（-13.734）（1.125）34.254.3754.5（-13.734）（-6.5097）（1.125）44.3754.43754.5（-6.5097）（-2.7444）（1.125）54.43754.468754.5（-2.7444）（-0.8228）（1.125）学生完成二分法表格，并求出近似解.设计意图：此环节为“图式”阶段.经过一定时间的学习，回到方程的近似解的问题上，让学生体会代数法受限的情况下，转变思维角度，进一步利用函数思想构造函数，结合函数零点存在定理，逐步形成将区间“一分为二”的操作，完成二分法的解题思路.通过这一过程的学习，将方程的解，不等式的解集，函数的零点进行了更为深入的联系，在学生的头脑中逐步形成综合的心理图式，也为后续复杂函数零点与方程的根作好充分的铺垫.课堂小节、提高认识师：今天我们从一些具体的函数，方程和函数的图像入手，了解了方程的解和函数图像与轴交点的横坐标的关系，知道了函数零点的定义.了解了零点，它既有数的意义，又有形的特征.然后，我们又用函数的观点来求解了方程和不等式，并在理解了函数零点存在定理的基础上，又运用了二分法来解决了函数的近似零点.一个概念、一个定理和一种方法：函数的零点、函数零点存在定理和二分法.两种角度：函数零点，即方程的根，函数图象与轴交点的横坐标.两种思想：函数与方程的思想，数形结合的思想.设计意图：组织学生从知识和方法上进行小结，提升学生对新知总结性的全面认识，可以有效地帮助学生认识知识生成的来龙去脉和其中蕴含的思想方法，也能加深学生对知识和方法的更好地理解.教学反思（一）理解数学，找寻核心素养固着的载体数学学科的终极培养目标是“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，而课程标准则把“三会”具体化为六个核心素养，即“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”.而要能够把核心素养落到实处，必须通过有机的载体加以渗透，因此，理解教材的编写意图显得尤为重要，只有做到了这一点，才能进一步思考“如何用好教材教”.作为概念课，则是核心素养固着的有机载体，在本节课函数零点的概念生成、函数零点存在定理的归纳和完善过程中，促进学生思维的发展，能有效提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等能力.只有意识到这些知识和方法承载的育人价值，才能让活动组织和问题凝练得以进一步实施.（二）理解教学，组织核心素养落实的活动基于对教材核心素养角度的理解，教师需要进一步梳理以发展学生数学素养为导向的教学意识，组织学生能够有效参与的教学活动，发挥学生的主体性，借助独立思考、自主学习、合作交流等学习方式，让学生实现思维重点、难点的突破，感悟知识中蕴含的数学基本思想和方法，实现教与学的和谐统一，在这个统一体中努力实践数学思想的感悟与内化[3].本节课的函数零点概念并不是学生学习的重点和难点，函数零点概念所蕴含的数形结合、转化与化归、函数与方程等思想，以及函数的零点存在定理的生成与完善，才是学生思维和经验进一步提升和突破的难点.因此教学过程中教师以学生已有的知识和能力为基础，充分发挥学生的主体性，组织构建知识的有机整体，实现融会贯，使收获的知识更加全面.（三）理解学生，凝练核心素养提升的问题发展学生核心素养，最终的手段是问题的设计和解决，教师要结合对于核心素养的理解设计合理的情境和问题，让学生有解决问题的欲望和兴趣；能让学生选择合理的方法解决问题，在此过程中实现方法的理解和掌握；能在解决问题后进行反思总结，发展理性思维，提升思维品质.本节课在学生函数零点概念基本理解的基础上逐步通过例题的设计，在解决问题的过程中逐步强化了对函数零点的双重理解，即代数和图形，建立了函数与方程之间的联系，同时在利用图形方法解决过程中，通过不