2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图

2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图

第一部分：知识点精准记忆

一、直线、射线、线段

1.直线的性质：1)两条直线相交，只有一个交点；2)经过两点有

且只有一条直线，即两点确定一条直线；

3)直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线.

2.线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间

线段的长度叫两点间的距离.

3.线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=~AB；

AB=2AC=2BC.

4.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关

系：平行和相交.

5.垂线的性质：1)两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，

则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2)

①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线

上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

6.点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂

足之间线段的长度叫做点到直线的距离.

二、角

1.角：有公共端点的两条射线组成的图形.

2.角平分线

(1)定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等

的角的射线

(2)性质：若OC^ZAOB的平分线，贝!JNAOC=N3OC=；N4O3,

ZAOB=2ZAOC=2/B0C.

3.度、分、秒的运算方法：1。=60，，r=60",1。=3600".1周角=2

平角=4直角=360。.

4.余角和补角

1）余角：Nl+N2=9（Td1与N2互为余角；2）补角：Z1+Z2

=180。〜1与N2互为补角.

3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

5.方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏

西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少

度.当方向角在45。方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北

方向.

三、相交线

1.三线八角

1）直线。被直线/所截，构成八个角（如图）.

N1和N5,N4和N8,N2和N6,N3和N7是同位角；N2和N8,

/3和N5是内错角；N5和N2,N3和N8是同旁内角.

2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模

型，主要是下面两类：

D

⑴D(2)

A_____BAB

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的

关系，如上图：

2.垂直

1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直

线互相垂直.

2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短.

3.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫

做这点到这条直线的距离.

4.邻补角

1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，

具有这种关系的两个角，互为邻补角.

2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含

数量关系，数量上两角的和是180。，位置上有一条公共边.

3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线

相交形成四对邻补角.

5.对顶角

1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一

个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角.

2）性质：对顶角相等.但相等的角不一定是对顶角.

四、平行线

1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2.平行线的判定

1）同位角相等，两直线平行.2）内错角相等，两直线平行.3）同

旁内角互补，两直线平行.

4）平行于同一直线的两直线互相平行.5）垂直于同一直线的两直线

互相平行.

3.平行线的性质

D两直线平行，同位角相等.2）两直线平行，内错角相等.3）两

直线平行，同旁内角互补.

4.平行线间的距离

1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的

长度，叫做这两条平行线的距离.

2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段

相等.

五、五种基本作图：

1.作一条线段等于已知线段。,—；-----'

已知：如图，线段a.（已知）

求作：线段AB,使AB=a.A，a左P

作法：（作线段等于已知线段）

（1）作射线AP；

（2）在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。

2.求作一个角等于已知角N/WON.（SSS）

（1）作射线。阳（2）在图（1）上，以。为圆心，恰当的长为半

径作弧，交0M于点4交ON于点8；（3）以。,为圆心，。八的长为

半径作弧，交于点C；（4）以C为圆心，以的长为半径作弧，

交前弧于点。；（5）过点。作射线。刀.则NCOQ就是所要求作的角.

3.作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.（______

求作：MN的垂直平分线.M°

作法：（1）分别以MN为圆心，大麻可相线段为半径画弧，（作线段的、点）

相交于PQ；

（2）连接PQ交MN于0.

则PQ就是所求作的MN的垂直平分线

4.过一点作已知直线的垂线；X

如下图，已知△A8C,求作：BC边上的高/K

B7—r^c：

分析作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂gIh

线.斗

作法如下图①以点八为圆心，适合的长度为半径画弧，交直线CB

于G、H两点；

②分别以G、H为圆心，以大于IGA的长为半径画弧，两弧交于EE

2L

占・

/、、、，

③作射线AE,交直线CB于。点，则线段4?就是所要求作的△48C

中8c边上的高.

5.作已知角的角平分线。（SSS）人

已知：如图，ZA0B,

?

求作：射线0P,使NA0P=NB0P（即0P平分NA0B）。Q

NB

作法：（1）以0为圆心，恰当的长度为半径画弧，/更名班小娃、

（作角平分线）

分别交0A,0B于M,N；

（2）分别以M、N为圆心，大于」MN为半径画弧，两弧交NA0B内

2

于P;

（3）作射线OP。则射线OP就是NA0B的角平分线。

第二部分：考点典例剖析

考点一：图形的展开与折叠、三视图

【例1-1】（2021•浙江金华・统考中考真题）将如图所示的直棱柱展开,

下列各示意图中不可熊是它的表面展开图的是（）

【例1-2］（2022・海淀）如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（）

【例1-3］（2021•顺义）如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪

开一条棱，则得到的平面展开图不可能是下列图中的.（填

序号）

考点二：直线、线段与射线

【例2-1］（202文登区）下列说法错误的是（）

A.直线他和直线S4表示同一条直线

B.直线/W比射线长

C.线段A5和线段以表示同一条线段

D.过一点可以作无数条直线

【例2-2】（2022•河北）星期日，小丽从家到书店购买复习资料，已

知从家到书店有四条路线，由上到下依次记为路线4、bhL如图所

示，则从家到书店的最短路线是（）

A.kB.12C.4D.乙

考点三：角

【例3-1］（2022•河北）如图，ZAOB=ZCOD,贝ij（）

B

OC

A.Z1=Z2B.Z1<Z2

C.Z1>Z2D.无法比较N1与N2的大小

【例3-2］（2022岱岳区）如图ZAOB,以OB为边作NBOC,使NBOC=IZAOB,

那么下列说法正确的是（）

B.ZAOB=ZAOCZAOC=3ZAOB

C.ZAOC>Z.BOCD.ZAOC=ZAOB

考点四：平行与垂直

【例4-1］（2022北京顺义）如图,直线a〃b,点B在直线a上,AB1BC,

若Nl=40°,则N2的度数为（）

A.40°B.50°C.80°D.140°

【例4-2］（2021•台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放,

若Nl=47°,则N2=()

A.40°B.43°C.45°D.47°

【例4-3］（2020•衡阳）一副三角板如图摆放,且AB//CD,贝ijNl的度数

为

A

B

考点五.基本作图

【例5-1]（2021•阿坝州）如图，在A4BC中，NBAC=70°,ZC

=40°,分别以点Z和点。为圆心，大于的长为半径画弧，

2

两弧相交于点M,N,作直线交于点。，连接NQ,则N

8/。的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【例5-2].（2021•陕西）如图，已知△43C,AB>AC.请在边AB

上求作一点尸，使点尸到点3、。的距离相等.（尺规作图，保留

作图痕迹，不写作法）

考点六：复杂作图

【例6-1]（2021•长春）在△48。中，NBAC=90：ABWAC.用无

刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使为等腰三角

形.下列作法不正确的是（）

【例6-2]（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留

作图痕迹.

已知：NO及其一边上的两点B.

求作：RtAJ5C,使NC=90°,且点。在NO内部，/BAC=/

O.

考点七：应用与设计作图

【例7-1]（2021•河池）如图，NC4Z）是△4BC的外角.

（1）尺规作图：作NC4。的平分线/£（不写作法，保留作图痕迹,

用黑色墨水笔将痕迹加黑）；

（2）若AE〃BC,求证：AB=AC.

在△/8C中，AB、BC、ZC三边的长分别为«、历、A，求这

个三角形的面积.

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形

的边长为1）,再在网格中画出格点（即△NBC三个顶点都

在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求△48。的高，而

借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；

思维拓展：

（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法.若△NBC三边

的长分别为遥a、木历a、JFa（Q>0）,请利用图②的正方形网格

（每个小正方形的边长为Q）画出相应的△/3C,并求出它的面积；

探索创新：

第三部分：中考真题

一.选择题

1.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，把一块三角板4BC的直角

顶点3放在直线上，Z,C=30°,AC\[EF,则41=（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

2.（2021•浙江台州•统考中考真题）小光准备从Z地去往3地，打开

导航、显示两地距离为37.7km,但导航提供的三条可选路线长却分

别为45km,50km,51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（）

A,两点之间，线段最短B,垂线段最短

C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线

3.（2022•浙江金华•统考中考真题）如图，圆柱的底面直径为高

为/C,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到8处，现将圆柱侧面沿

力C"剪开"，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

4.（2022•浙江台州•统考中考真题）如图，已知41=90。，为保证两

条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）

A.Z2=90°B.Z3=90°C.Z4=90°D.Z5=90°

5.（2022•浙江杭州•统考中考真题）如图，已知力BIICD,点E在线段

40上（不与点4,点。重合），连接CE.若回。=20。，西£C=50。,

则明=（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

6.（2020•浙江金华・统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件

边缘的垂线a和b,得到a〃心理由是（）

A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

B.在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线

C.连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

7.（2021•浙江杭州•统考中考真题）如图，设点P是直线矽卜一点,PQ1I,

垂足为点Q,点7是直线2上的一个动点，连接PT,则（）

A.PT>2PQB.PT<2PQC.PT>PQD.PT<PQ

8.（2021•浙江金华・统考中考真题）某同学的作业如下框，其中团处填

的依据是（）

如图，已知直线d%，,3,,4•若乙1=42,则乙3=44.

请完成下面的说理过程.

解：已知乙1=42,士

根据（内错角相等，两直线平行）,得h〃l2.

再根据（回________）,得乙3=44.

A.两直线平行，内错角相等B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，同旁内角互补

9.（2020•浙江衢州•统考中考真题）过直线/外一点尸作直线/的平行

线，下列尺规作图中错误的是（）

1.（2022•山东省聊城市）如图，△国酿中，若

乙豳回=80。，4函回=70°,根据图中尺规作

图的痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.4回瓯=40°

B.瓯=如目

2

C.团回二团回

D.ZJm=25°

2.（2022•辽宁省营口市）如图，在△豳回中，瓯=豳，A,

4目=36。，由图中的尺规作图得到的射线与豳交于

点国，则以下推断错误的是（）

A.00=00

B.豳=00

c.z.m=108°

D.00=-200

3.（2022•贵州省黔西南布依族苗族自治州）在△回函中，用尺规作图,

分别以点回和回为圆心，以大于扫目的长为半径作弧，两弧相交于点

团和且作直线酿交猊于点回，交豳于点回，连接酿.则下列结论不一定

正确的是（）

A.团团=回国B.团团=回回

C.00=豳D.△豳回=Z000

（•湖南省）如图，在△回函中，按以下步骤作

4.图20：22力।

5.①分别过点回、回为圆心，大于*回的长为半径A<D―

画弧，两弧交于回、目两点；xl/

6.②作直线国目交酿于点注Q3

7.③以点因为圆心，酿长为半径画弧交酿于点囿连接函、物.

8.（2022•湖南省）如图，在△团豳中,函平分N国国,

以点因为圆心，以任意长为半径画弧交射线函,

酿于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两

弧交于点回，作射线酿，交酿于点囿连接酬，以下说法错误的是（）

A.回到能］,函边的距离相等B.盟平分心酬回

C.因是△回函的内心D.回到方回，回三点的距离相等

9.（2022•广西壮族自治区）如图，是求作线段函中、

点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是，/9、、

A.Z0=45°

B.豳=2E

C.酿二团团

D.001酿

10.（2022•青海省西宁市）如图，zm=60°,以点因为圆心，适当长为

半径画弧，交函于点回，交酿于点团分别以点回，回为圆心，大于:豳

的长为半径画弧，两弧在4团雷的内部相交于点回，画射线画；连

接酿，酿，豳，过点回作酿1酿于点回，酿,酬于点国则以下结论

错误的是（）

A.△苑E是等边三角形B.豳=酿

c.△m=^mD.四边形豳团回是菱形

11.（2022•辽宁省盘锦市）如图，线段酿是半圆回的直径.分别以点回和

点因为圆心，大于扫回的长为半径作弧，两弧交于囿国两点，作直

线回回，交半圆回于点回，交雷于点回，连接函，豳，若回回=1,贝崛团的

长是（）

A.2V3B.4C.6D.3应

12.（2022•四川省广元市）如图，在△国团中，团团=6,酿=8,4回=90°,

以点回为圆心，雷长为半径画弧，与雷交于点回，再分别以回、回为

圆心，大于:胆的长为半径画弧，两弧交于点回、0,作直线豳，分

别交函、览于点回、2则酿的长度为（）

.5

A.-B.3C.242

2D谓

二.填空题

13.（2022・西藏）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹:

14.Q）分别以点回,回为圆心，大于翘的长为半径作弧，两弧相交于囿

日两点，作直线酿；

15.（2）以点因为圆心，适当长为半径画弧，分别交酿，览于点回，跖

再分别以点回，团为圆心，大于齐回的长为半径画弧，两弧在乙豳团的

内部相交于点囱，画射线雷，交直线豳于点固已知线段酿=6,

ZM=60°,则点回到射线酿的距离为.

16.（2022•江苏省连云港市）如图，在支E窗中，乙豳回=150。.利用尺规

在酿、团团上分别截取函、雷，使函=酿；分别以回、团为圆心，大

于川的长为半径作弧，两弧在4回函内交于点回；作射线回回交雷于

点固若加=0+1,则瓯的长为.

17.（2022•内蒙古自治区通辽市）如图，依据尺规作图的痕迹，求乙团的

度数_______

18.（2022•辽宁省丹东市）如图，在酿△函回中，

Z0=90°,酿=4,豳=8,分别以回，回为

圆心，以大于处的长为半径作弧，两弧

相交于点回和点回，直线酿与酿交于点回，

则能］的长为.

19.（2022•山东省枣庄市）如图，在矩形酿酿中，按以

下步骤作图:①分别以点回和因为圆心，以大于齐回

的长为半径作弧，两弧相交于点回和昆②作直线

猊分另U与豳，雕1,雷交于点回，目，固若能］=5,

00=3,则况］=

20.（2022•四川省成都市）如图，在△曲3中,按以下步骤作图：①分

别以点回和回为圆心，以大于六国的长为半径作弧,两弧相交于点回和

0；②作直线回国交边窗于点固若跑1=5,回团=4,4回=45°,则瓯的

长为.

A

2L（2022•广东省）如图，△览回中，z.m=zm.

Q）作点回关于酿的对称点民（要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹）

（2）在Q）所作的图中，连接酿，豳，连接酿，交酿于点胤

求证：四边形函回回是菱形；

22.（2022•内蒙古自治区赤峰市）如图，已知回回△回覆1中，乙能咽=90。,

函=8,RE=5.

（1）作曲的垂直平分线，分别交函、豳于点回、0；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接雷，求△回函的周长.

B

23.（2022•福建省）如图，函是矩形的型的对角线.

（1）求作。2使得O团与胆相切（要求：尺规作图，不写作法，保留

作图痕迹）；

（2）在Q）的条件下，设酿与。回相切于点囿00100,垂足为固若直线

函与。回相切于点回，求tan乙豳团的值.

24.（2022•山东省烟台市）如图，。回是△回团回的外接圆，ZOT=45°.

Q）请用尺规作出。