2023年上海市静安区高三高考二模数学试卷含详解

2023届静安区高三二模考试数学试卷2023.04

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号

的空格内直接填写结果.】

1.若集合A={2,log?a},B={a,b},且Ac6={()},则Au8=.

2.已知{““}是公比为q的等比数列，且的、对、4成等差数列，则.

3.若复数Z=/y(i为虚数单位)，则|z-i|=.

4.已知41,2),8(6,-1)两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.

5.已知ae(O,i),且3cos2a—8cosa=5,则cosa=.

6.已知ABC中，sinA=3sinCcos3,且AB=2,则..ABC面积的最大值为.

X

7.已知函数〃x)=3(a>0)为偶函数，则函数〃x)的值域为.

8.已知向量a=(1,6),且4,b的夹角为(«+^)-(2«-3/2)=4,则b在&方向上的投影向量等于.

9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其

中脂肪含量以占体重(单位：kg)的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下

个体编号体重x(kg)脂肪含量y(%)

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：.（结果中回归系数保留三位小数）

10.如图，正方体ABC。-A4GA中，E为AB的中点，尸为正方形BCG用的中心，则直线EF与侧面BgC/所

成角的正切值是.

11.今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指

标X是服从正态分布N（500,2.5?）的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包

装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为%（结果保留一位小数）（已知

中（1卜0.8413,＜】＞（2卜0.9772,中（3卜0.9987.中（%）表示标准正态分布的密度函数从一8到》的累计面积）

12.若10'_10'=10，其中x，ywR,则2x-y的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）【每题有且

只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，

否则一律得零分.】

13.若直线/的方向向量为“，平面a的法向量为"，则能使/〃a的是（）

A.a=（1,0,0）,n=（-2,0,0）B.«=（1,3,5）,n=（1,0,1）

C.a=（1,-1,3）,〃=（0,3,1）D.«=（0,2,1）,/?=（-l,0,-1）

14.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的R山g”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天

轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客

从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转，分钟后，游客距离地面的高度为/?米,

A=-28cos+78.若在切4时刻，游客距离地面的高度相等，贝也+〃的最小值为（)

A.6B.12C.18D.24

15.设直线小尤-2尸2=0与4关于直线/：2x-y-4=0对称，则直线4的方程是()

A.1lx+2y-22=0B.1\x+y+22=0

C.5x+y-l1=0D.10x+y-22=0

16.函数y=%lnx()

A.严格增函数

B.在(0,：)上是严格增函数，在+上是严格减函数

C.严格减函数

D.在(0,［上是严格减函数，在(g,+8)上是严格增函数

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写

出必要的步骤.】

17.已知各项均为正数的数列｛%｝满足4=1,4=2",一+3(正整数”，2)

⑴求证：数列｛4+3｝是等比数列;

(2)求数列｛凡｝的前〃项和S“.

18.如图，在五面体ABCDE/中，M_L平面ABC。，AD//BC//FE,AB1.AD,若AD=2,AF=AB=BC=FE=\.

(1)求五面体A8COEF的体积；

(2)若M为EC的中点，求证：平面CDEL平面4WD

22

19.已知双曲线r：5一当=1(其中”>0/>0)的左、右焦点分别为K(-C,0)、F2(c,0)(其中c>0).

arb

(1)若双曲线厂过点(2,1)且一条渐近线方程为丫二日工；直线/的倾斜角为在y轴上的截距为-2.直线/与该

双曲线「交于两点4、B,M为线段AB的中点，求AMR5的面积；

(2)以坐标原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线「在第一象限的交点为P.过户作圆的切线，若切线的斜率为

-石，求双曲线「的离心率.

20.概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.

(1)随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学

第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少

用过一次的球).每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球

个数为蜃求随机变量^的分布和期望.

(2)由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑

瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定

的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28

人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息

写出下面这张2x2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进

行独立性检验.(显著性水平a=0.05)

习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计

脑瘤部位在左侧的病人ab42

脑瘤部位在右侧的病人Cd46

总计a+cb+d88

参考公式及数据：/其中'n=a+b+c+d,P^%1>3.841)«0.05

21.已知函数f(x)=；x2-(a+i)x+a]nx.(其中。为常数)

⑴若a=—2,求曲线y=〃x)在点(2J(2))处的切线方程；

(2)当”<0时，求函数y=/(x)的最小值；

(3)当()Wa<l时，试讨论函数y=/(x)的零点个数，并说明理由.

1.{0,1,2}

【分析】

依题意可得OeA且0e8,即可求出〃、b的值，从而求出集合A、B,再根据并集的定义计算可得.

【详解】

因为4={2,log2”},B={a,h},且AcB={0},

所以OGA且OwB,显然。＞0,所以log2（a=（）且6=0,所以。=1,

所以A={2,0},8={1,0},

所以A8={0,1,2}.

故答案为：{0,1,2）

2.1

【分析】

根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.

【详解】

在等比数列{q}中，生，/，&成等差数列，贝

即2a2g2=2+。2/，而%#。，整理得/-2/+1=0,得（相_1）2=0,

所以/=L

故答案为：1.

3.75

【分析】

根据复数的除法化简复数z,再结合复数的运算得|z-i|的值.

【详解】

Z=T1T=湍志所以|z-i|=|l-2i|=J『+（_2）2=E

故答案为：旧.

片+《=1

4.H11-

~2T

【分析】

讨论焦点在x轴和在了轴上两种情况，设出椭圆的标准方程，再利用条件建立方程组，求出48,即可得到结果.

【详解】

当焦点在1轴上时，设椭圆的标准方程为—+jy=l(«>Z?>0),

4

1--

+nn

-2~122

得

解I

1a--n=-

又因A(l,2),网6,-1)在椭圆上，所以;3­

-2

-

第+从

此时，故舍弃.

当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为靛+京=1（。>。>0）,

~+~j~2=11111y2%2_i

又因4（1,2）,B（省,-1）在椭圆上，所以:b,解得“2=:,从=?,所以椭圆的标准方程为TT+TT”

—+77=123~y

I。b~

22

21三_[

故答案为：TT+TT=.

7T

【分析】

由二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】

由3cos2二一8cosa=5,W6cos2a-3-8coscr=5，

即3cos2。一4cos。-4二0,

,2

解得cosa=-1或cosa=2,

因为ae（O,乃），cosae（-l,l）,

2

所以cosa=-1.

2

故答案为：

6.3

【分析】

利用正弦定理，角转边得到。=6cosB,再利用面积公式得到SA8c=3sin28,从而求出结果.

【详解】

因为sinA=3sinCcosB,且AB=2,由正弦定理得：a=3ccosB=6cosB,

所S人铲=­acs\nB=—•(6cosB)-2sinB=3sin2B<3,

c22

故答案为：3.

【分析】

利用偶函数的定义求出”=应，则〃x)=6型，设f=(a)，a>0),利用基本不等式，即可求出结果.

2,+1

【详解】

函数/(力=&(a>0)是偶函数，

ax2rr

----=—=。=>a=72

2r+la

.♦"(力=需］,易得〃x)>0,

设r=(0)'(f>O),

则尸？71=口町，

IH—

t

当且仅当f=[即t=i时，等号成立，

t

所以0<f4，

2

所以函数的值域为.

故答案为：(o[.

8V当

【分析】

根据所给条件利用向量数量积运算求出山|，再由投影向量的定义求解即可.

【详解】

a=(l,⑹，.而=2,

(a+b).(2a-3Z?)=2|a|2-a-/>-3|Z?|2=8-2|Z7|cosy-3|/>|2=4,

••・山=1，

在&方向上的投影向量为由cosg二=91(1，扬=()，当.

5\a\2244

故答案为：，，手)

9.y=0.186x+11.571

【分析】

根据表格数据，结合最小二乘估计求解相关数据，即可得回归方程.

【详解】

由表格数据可得：

1010

1010

口=21175,^x,2=64622,

，=1

元=与一=79.4y==26.3/=li=i

1010

nxy

设回归直线方程为'=鼠+机其斜率和截距的最小二乘估计公式分别为力=号———T»6=y一8,

nx^

/=!

io

WX»-io取

21175-10x79.4x26.3

所以3=/--------»0.186,-凉=26.3-0」855x79.4B11.571,

64622-10x79.42

故回归方程为y=0.186x+l1.571.

故答案为：y=0.186A+11.571.

10.变

2

【分析】

连接BF,得到即为EF与平面B8CC所成的角，在直角△EFB中，即可求解.

【详解】

如图所示，连接所,

在正方体ABCD-AAG"中，可得£B,平面BCC圈,

所以NEFB即为EF与平面8片GC所成的角,

设正方体ABCD-ABGR的棱长为2,贝ijEB=1,8F=忘,

在直角△£：尸B中，tanZ£FB=—=—.

BF2

故答案为：正.

2

11.95.4（或95.5都对）

【分析】

根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案.

【详解】

因为X是服从正态分布/V（500,2.53）,

所以p(X>505)=尸(X<495)=1-①(2卜1—0.9772=0.0228,

则P(495<X<505)=1-2*0.0228=0.9544«95.4%或95.5%.

故答案为:95.4或95.5.

12.21g2+I

【分析】

由题可得2x-y=2x-lg(10'-10),后通过导数求出/(x)=2^-1g(10'-10),x>1最小值即可得答案.

【详解】

=10可知y=lg(10v-10),X>1.则2x-y=2x-lg(10*-10).

1020

设/(x)=2x-1g(10*—10),x>1,则f'(x)=2——=—，

'，''')10v-1010,-10

令(卜)>0nx>lg20n/(x)在(lg20,y)上单调递增，

/'(x)<0=1<x<lg20=在(1,1g20)上单调递减.

故/(x)“而=/(1g20)-21g20-1=21g2+1,即2x-y的最小值为21g2+1

.故答案为：21g2+l

13.C

【分析】

由/〃a,则直线/的方向向量为a与平面a的法向量为〃互相垂直，利用向量数量积为0逐项分析即可.

【详解】

由/〃a,则直线/的方向向量为d与平面。的法向量为"互相垂直，

选项A：a=(l,0,0),n=(—2,0,0)=>«-«=1x(—2)+0x0+0x0^0,

故选项A不正确；

选项B：a=(1,3,5),〃===lxl+3*0+5xlH0,

故选项B不正确；

选项C：a=(1,—1,3),〃=(0,3,1)=a.〃=1xO+(—l)x3+3x]=0,

故选项C正确；

选项D：a=(0,2,l),〃=(T,(),-l)na〃=()x(-l)+2x()+lx(-l)H(),

故选项D不正确；

故选：C.

14.B

【分析】

利用正弦型函数的性质分析即可.

【详解】

由〃=-28cos+78可知,

当f=0时，^rnin=-28COS-x0j+78=50,

irt=-28cos(-^x6j+78=106,

当丁=n=f=6时，**

o

若在4,4时刻，游客距离地面的高度相等,

则由对称性可知此时t,+12的最小值为4+汁=12.

故选：B.

15.A

【分析】

根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线4上一点，即可求解.

【详解】

2=。，得x=2

联立

2x-y-4=0y=0'

_1

2

取直线4：x-2y-2=0上一点,设点（0,-1）关于直线］:2x-y-4=0的对称点为（“,〃），则，a

2x----4=0

22

1211

解得：a=?力=-5,

直线4的斜率％=-日，所以直线4的方程为尸-

整理为：llx+2y-22=0.

故选：A

16.D

【分析】

求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.

【详解】

解：已知y=xlnx,x>0,则y'=lnx+x・，=lnx+l,

x

令y'=0,即lnx+l=0,解得％=♦

e

当ovxv1时，y<0,所以在（o,1

上是严格减函数,

e

当时,y>o,所以在L1+s］上是严格增函数,

e

故选：D.

【点睛】

导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和

数形结合思想的应用.

17.(1)证明见解析

⑵S,=2"+2-3〃-4

【分析】

(1)由题意转化条件得。,,+3=2(a,i+3)(〃22),结合4+3=4=0即可得证;

(2)由题意可得4+3=2"”，进而可得q=2"”-3,由分组求和法即可得解.

【详解】

(1)证明：已知递推公式4=2《I+3,两边同时加上3,

得：％+3=2(4T+3)("N2),

因为a〃>0,a“+3>0,

所以马姜=2(〃22),

又％+3=4片0,

所以数列｛/+3｝是以6+3=4为首项、以2为公比的等比数列.

(2)由(1)%+3=4X2"T=2"”，则%=2"“-3(〃eN"),

所以=q+---nci„=2~—3+23—3H---F2||+|—3

(22+23+---+2,,+1)-3/2

—-----_3〃=2,,+2-3/7-4.

1-2

18.(1)|

(2)证明见解析

【分析】

(1)取AO中点N,连接EMCN,易证得ENL平面ABC。，五面体A3CDE户的体积=棱柱ABF-NCE的体积+

棱锥E-CDN的体积，分别求出棱柱钻尸-NCE的体积和棱锥£-CDN的体积即可得出答案.

(2)证法1：以4为坐标原点，以AB，A£>，AF为x，％z轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可

证得CE1ADCELMZ),即可得出CE_L平面AM。，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得

AMICE,MNLCE即可得出CEJ_平面AMO,再由面面垂直的判定定理即可证明;

【详解】

(1)因为AD=2,AF=AB=BC=FE=1,取AO中点N,连接EN,CN,

因法AD/IBC//FE,所以ENaAF,EN=AF=1,CN=AB=1,

又以"L平面ABCQ,AVu平面ABC。，FA^AN,

所以EN_L平面ABC£>,又因为即M_LAV,ABr>FA=A,

AB,E4u平面E4B,所以AN1平面E4B,

所以ABF-NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，

高等于1,三棱锥E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积.

(2)证法1：以A为坐标原点，以AB,A£),人尸为x，7z轴正半轴建立空间直角坐标系.

点C(l,l,0),0(0,2,0),趴0,1,1),知(；1,；)，

所以A0=(0,2,0),MC=,l,-1\cE=(-1,0,1)

所以CEJ.ARCE1MD,AD\MD=D,A。,MDu平面AMD,

所以CE_L平面AMD,又CEu平面CDE,所以平面CDE±平面AMD

证法2：因为AC=AE=0，所以/XACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以A"_LC£；

同理在△NCE中，MNA.CE,(N为4。中点)又AM、MNu平面AM。，

AMcMN=M,所以CE_L平面AWQ,又CEu平面CQE,

平面C£>£_L平面AMD

19.(1)2A/3;

⑵④.

【分析】

(1)由双曲线「过点(2,1)且一条渐近线方程为y=可得双曲线方程，将直线/与双曲线方程联立可得M

坐标，即可得答案；

(2)方法一：将圆方程与双曲线方程联立，可得PCN，+('，后由切线斜率为-出可得

CC

\7

Wj+c；=g=3e“一8e?+4=0,即可得答案；

b

方法二：设切线与x轴交于E点，由题目条件可得NPEO=二，结合NOPE=工，可得

32

ZPOE=,APOF,=与，后由余弦定理可得吐呐，进而可得。，即可得答案.

66

【详解】

(I)双曲线「£-《=1渐近线方程为y=±2x,已知一条渐近线方程为>=变「所以a=J%,双曲线「经

crba2

41

过点(2,1),所以--~~2=1，

b2

解得6=24=1.所以双曲线「：土_/=1.

直线/的倾斜角为:，则斜率为1,又/在y轴上的截距为-2,则/方程为：y=X-2,代入双曲线方程得：召-8x+10=0,

设两点A、B坐标分别为ex”y)、(々，)’2)，M(x,y),

则,+X2=8nx=4,y=2.又阳用=26,

则△例巴用的面积=gMK|.y=；x2Gx2=2G.

(2)方法一：由题可知圆方程为：x2+/=c2,将其与双曲线方程联立：

f2.22______

Xy=c,b2,从

\x2v2=X~+F*=C=X=--------，y=一,

---2_=1a-cc

[a2b2

即[—」+G,£•],又切线斜率为一石，则k=—­—：=坐

Ptcc)opca旧+c：3

=3伫一/)=qJ2c2-a?=3c4+4a4-Sa2c2=0n364—8/+4=0,解得e?=2,所以双曲线厂的离心

率为五；

方法二：设切线与x轴交于E点，因切线斜率为-0,可知NPEO=(,

又NOPE=则NPOE=2，/2。耳=川.注意到|。月=|。耳|=|。闾=0,则在；P。6中，由余弦定理，

266

|p©=^|p<?|2+\OFf-2\PO\\OF^cos=也-应c=":亚c，

2

在片中，由余弦定理，

1^1=同。『+|。武-21Poi10KleOS£=也+怎=

则〃=；(1叫一怛胃)==e=：=亚.

20.(1)分布列见解析，1

(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系

【分析】

(1)由题可知4可取的值为0,1,2,后结合题目条件可得分布列与相应期望；

(2)由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算比较其与3.841大小即可判断长时间使用手机与是

否得脑瘤有无显著关系.

【详解】

(1)第一次训练时所取的球是从6个球(3新，310)中不放回取出2个球，所以€可取的值为0,1,2.

则分布列如下

g012

32

p⑷

555

131

贝I」期望为£《)=0、§+以,+2/^=1；

(2)由题目条件可得列联表如下：

习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计

脑瘤部位在左侧的病人142842

脑瘤部位在右侧的病人19