2022-2023学年湖北省荆门市西湖中学高二数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖北省荆门市西湖中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=2x﹣y仅在点（1，k）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出平面区域，变形目标函数平移直线y=2x，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的平面区域（如图阴影），变形目标函数可得y=2x﹣z，平移直线y=2x可知，当直线仅经过点A（1，k）时，截距﹣z取最大值，z取最小值，结合图象可得需满足斜率k＞2故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．2.如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p，q均为真命题 B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题 D．p，q中至多有一个为真命题参考答案：B【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题“￢（p∨q）”为假命题，可得命题p∨q为真命题，进而得出结论．【解答】解：∵命题“￢（p∨q）”为假命题，∴命题p∨q为真命题，∴p，q中至少有一个为真命题．故选：B．3.函数f（x）=的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）==≤=，故函数f（x）=的最大值为，故选：B4.在下图中，直到型循环结构为（

）参考答案：A无5.若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则方程y＝x表示的不同直线条数为()A．11

B．12 C．13

D．14参考答案：C6.在中，a=15，b=10，A=，则等于（

）A． B． C． D．参考答案：A略7.已知点，则直线的倾斜角是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C8.在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且.，则的最小值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.在区间[－3,2]上随机选取一个实数x，则满足x≤1的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若变量x，y满足约束条件

,

则z=2x-y的最大值为()

A．-2

B．4

C．6

D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由下列命题构成的复合命题中，若“或”为真，“且”为假，“非”为真，则其中正确的是

.①

5是偶数，

2是奇数

②

，

③

，

④

，

参考答案：②

略12.若将复数表示成

（a，b?R，i是虚数单位）的形式，则．参考答案：113.已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有

▲

个参考答案：6个14.已知，若，则

．参考答案：-315.的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，则实数的值为

.参考答案：1或0.116.若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ=_________．参考答案：略17.直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为．参考答案：x=3或3x﹣4y﹣1=0【考点】圆的切线方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可． 【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1， 则圆心坐标为（2，0），半径R=1 若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件． 若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3）， 即kx﹣y+2﹣3k=0， 圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0， 综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0， 故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列{an}中，，an+1=．（1）计算a2，a3，a4并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）根据，an+1=可求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜想数列{an}的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】解：（1）∵，an+1=．∴a2==，a3==，a4==猜想数列{an}的通项公式为an=（2）①n=1时，a1==满足通项公式；②假设当n=k时猜想成立，即，则==，当n=k+1时猜想也成立．综合①②，对n∈N*猜想都成立．19.(本题满分14分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆C上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆C的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于，求椭圆C的离心率及其方程．

参考答案：解：设椭圆的方程为，则椭圆的右顶点，上顶点.令，得，所以.因为点与中心的连线平行于右顶点与上顶点的连线，所以，-------------6分由得，解得，.

--------------------------------8分从而，所以，；

----------------------10分又因为，解得，，

-----------------12分所以所求椭圆的标准方程为，离心率为.

----------------14分

20.将十进制数30化为二进制.参考答案：把一个十进制的数转换为相应的二进制数，用2反复去除欲被转换的十进制数30，直到商是0为止，所得余数（从末位读起）就是该十进制数30的二进制表示.所以21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．解答：解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，故点A到平面PBC的距离等于．点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．22.已知函数f（x）=mx3+2nx2﹣12x的减区间是（﹣2，2）．（1）试求m、n的值；（2）求过点A（1，﹣11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程；（3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由题意知：f'（x）=3mx2+4nx﹣12＜0的解集为（﹣2，2），所以，﹣2和2为方程3mx2+4nx﹣12=0的根，由韦达定理知，即m=1，n=0．（2）∵f（x）=x3﹣12x，∴f'（x）=3x2﹣12，∵f（1）=13﹣12?1=﹣11当A为切点时，切线的斜率k=f'（1）=3﹣12=﹣9，∴切线为y+11=﹣9（x﹣1），即9x+y+2=0；（当A不为切点时，设切点为P（x0，f（x0）），这时切线的斜率是k=f'（x0）=3x02﹣12，切线方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），即y=3（x02﹣4）x﹣2x03因为过点A（1，﹣11），﹣11=3（x02﹣4）﹣2x03，∴2x03﹣3x02+1=0，（x0﹣1）2（2x0+1）=0，∴x0=1或，而x0=1为A点，即另一个切点为，∴，切线方程为，即45x+4y﹣1=0所以，过点A（1，﹣11）的切线为9x+y+2=0或45x+4y﹣1=0．（3）存在满足条件的三条切线．设点P（x0，f（x0））是曲线f（x）=x3﹣12x的切点，则在P点处的切线的方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）即y=3（x02﹣4）x﹣2x03因为其过点A（1，t），所以，t=3（x02﹣4）﹣2x