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文档简介
第6次课§1.5
极限存在准则两个重要极限简明扼要复习上一次课内容(3分钟左右)§1.5
极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1.夹逼准则(1)如果"
x
˛
N
(xˆ0
,d0
)(或
x
>
M
),有g
(x
£
f
(x
£
h(x
,(2
lim
g
(xxfi
x0
xfi
x0(xfi
¥
)
(xfi
¥
)=
A,
lim
h(x
=
A,xfi
x0(xfi
¥
)那么
lim
f
(x
存在,
且等于A.分析(1
g
(x
£
f
(x
£
h(x
,
(2lim
g
(xxfi
x0xfi
x0=
A, lim
h(x
=
A,xfi
x0
lim
f
(x
=
A.xfi
x0lim
g
(x
=
A
xfi
x0\
"
e
>
0,
$d
>
0,"
x
˛
N
(
x0
,d
),
A
-e
<
g(
x)
<
A
+e.lim
h(x
=
A
\
"
e
>
0,
$d
>
0,"
x
˛
N
(
x0
,d
),
A
-
e
<
h(
x)
<
A
+e."
x
˛
N
(
x0
,d0
),
g
(x
£
f
(x
£
h(x
,\
"
e
>
0,
$d
>
0,"
x
˛
N
(
x0
,d
),
A
-e
<
f
(
x)
<
A
+
e.证xfi
x0
xfi
x0
lim
g
(x
=
A, lim
h(x
=
A.\
"
e
>
0,
$d1
>
0,
当0
<
x
-
x0
<
d1时,
有
g
(x
)-
A
<
e;
A
-
e
<
g
(x
)<
A
+
e$d2
>
0,
当0
<
x
-
x0
<
d2时,
有
h(x
)-
A
<
e;
A
-
e
<
h(x<
A
+
e
0
<
x
-
x0<
d0,有g
(x
<
f
(x
<
h(x\
取d
=
min{d1
,
d2
,
d0
},
当0
<
x
-
x0
<
d时,xfi
x0
f
(x
)-
A
<
e
lim
f
(x有
A
-
e
<
g
(x
<
f
(x
<
h(x
<
A
+
e=
A(1
yn
£
xn
£
zn
(n
=
1,
2,),(2 lim
yn
=
lim
zn
=
A,nfi
¥
nfi
¥
lim
xn
=
A.nfi
¥例1111).+n2
+
1n2
+
2+
+求lim(nfi
¥解11n2
+
1n2
+
n+
+nn2
+
n又limnfi
¥=
1,nlimnfi
¥n2
+
1=
1,由夹逼定理得111lim(nfi
¥+)
=
1.n2
+
1n2
+
2n2
+
n+
+,n2
+
nn<n2
+
1n<n2
+
n11=limnfi
¥1
+
n11=
limnfi
¥1
+
n2例2求lim
n
1
+2n
+3n
.nfi
¥n
3
£
n
1
+
2n
+
3n
£
n
3
·
3n=
3n
3解:
n
3n
£
n
1
+
2n
+
3n
£
n
3
·3n3
=
n
3n
£
n
1
+
2n
+
3n
£
n
3
·3n
=
3n
3lim 3
n
3
=
3nfi
¥\
lim
n
1
+
2n
+
3n
=
3.nfi
¥例3
证明:
limcos
x
=
1xfi
02解:
0
£
1
-
cos
x
=
2sin2
x
<2x
2且limx
fi
0xfi
0\
lim(1
-
cos
x
=
0
limcos
x
=
1xfi
0x2
x
2=2<
2
2
=
0sin
x
£
x2.
重要极限一(1)sin
xxlimxfi
0=
12设单位圆O,
圆心角—
AOB
=
x,
(0
<
x
<
p
)于是有sin
x
=
BD,
x
=
弧AB,
tan
x
=
AC
,过A点作单位圆的切线,得DACO.扇形OAB的圆心角为x,D
OAB的高为BD
,记住此公式x
cos
x
<
sin
x
<
1,2上式对于-p
<x
<0也成立.即当0
<
x
<
p
时,
有cos
x
<
sin
x
<
1;2
x
limcos
x
=
1,xfi
0lim1
=
1,xfi
0xxfi
0\
lim
sin
x
=
1.x
1sin
x
cos
x
1
<<
BD
<弧AB
<AC\
sin
x
<
x
<
tan
xxx
fi
0例4
(1)求lim
tan
x
.x
x
cos
xxfi
0xfi
0lim
tan
x
=
lim
sin
x
1解1limx
fi
0x
x
fi
0
cos
x=
lim
sin
x=
1.xx
fi
0(2)求lim
arcsin
x
.解
令t
=
arcsin
x,
x=sint,ttfi
0
sin
t=
1.原式=lim例5x2xfi
0求lim
1
-cos
x
.解2sin2
xx2原式=limxfi
0sin
2122xlimx
fi
02
=
x
2
2
1x
2
sin
2
=lim
2
x
fi
0
x
2
1212=12=
.x
3xfi
0例6求lim
tan
x
-sin
x
.3x解limx
fi
0xx
2x
fi
0x
fi
0lim
1
-
cos
x=
lim
tan
xx
2x
fi
0=
12lim
1
-
cosx
=
1
.前例6xx
2tan
x
-
sinx
=lim
tan
x1
-
cos
x
x
fi
0
x2sin
1sin
xxfi
0例7
求lim
x
.x2
sin
1xx
sin
1xxfi
0sin
x
xfi
0
sin
x解
lim
x
=
limxlim
x
sin
1xxfi
0
sin
xxfi
0=
lim=
0.xfi
x0sin
(x
-
x0x
-
x0例8 求
lim
.f
(x
)uxfi
x0ufi
0sin
f
(x
sin
ulim
=
lim
=
1.f
(x
)xfi
x0
lim
sin
f
(x=
1.一般地:lim
f
(
x)
=
0xfi
x0令u
=
f
(
x
),
x
fi
x0
u
fi
0,
故xfi
x0ufi
0解
令u
=
x
-
x0
,
当x
fi
x0时,
u
fi
0,故lim
sin
(x
-
x0
=
lim
sin
u
=
1.x
-
x0
ux
fi
0
sin
nx(m
、n
„0
).例9求lim
sin
mxsin
nxx
fi
0
sin
nx
mx
nxx
fi
0lim
sin
mx
=
lim
sin
mx
mx
nx解lim
mx
limnxmxx
fi
0x
fi
0nx
x
fi
0
sin
nx=
lim
sin
mxn=
1
m
1n=
m
.解 令
t
=
p
-
x
x
=
p
-
t
,x
fi
p
tan
5
xt
fi
0t
fi
0lim
sin
3
x
=
lim
sin
(3p
-
3
tsin
(p
-
3
t=
limtan
(5p
-
5
t
)tan
(p
-
5
t
)tan
5
tt
fi
0=
-
lim
sin
3
ttan
5
xx
fi
p例10求
lim
sin
3
x
.35sin
3ttan
5t5tt
fi
0=
-
lim
3t
5=
-
3
.tan
5
x
3
x5
x
tan
5
x
5x
fi
p
t
fi
0,x
fi
px
fi
plim
sin
3
x
=
lim
sin
3
x3
x
5
x
=
3x
fi
p3
1
+
x
2
-
1例10求lim
1
-
cos
2
x
.2x2xfi
0lim
1
-
cos
x
=
1xlimxfi
0n
1
+
x
-1
1=n322(2x)2xx21
-
cos
2x
4
x21
+
x
-
1解原式=limxfi
012
3=
1
4
=
6..xfi
1
cos
p
x1
-
x2例11
求lim2解
令1
-
x
=
u,
x
=
1
-
u;
当x
fi
1时,
u
fi
0,sin
u2pufi
0=
2lim
2
p2usin
p
u=
2
limufi
04=
.p2xfi
12p
u
2原式=
lim
(1
+
x)(1
-
x)
ucos
p
x
ufi
0
cos
p
(1
-
u)=2
lim单调增加有上界2.单调有界准则如果数列{xn
}满足条件
x1
£
x2£
xn
£
xn+1
£,x1
‡x2‡xn
‡xn+1
‡,单调减少有上界有上界,即$M
,"n,有xn
£
M有下界,即$m,"n,有xn
‡m准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.nfi
¥证10证明有下界证明:lim
xn存在并求此极限值.a
xn2xn
2a
-
xn
=
-2
xn
又因
xn+1
-
xn
=
xn
+axn
2
n-1
n-1
x
=
1
x
+所以数列{xn
}有下界a
.2a
2
+
b2
‡
2ab
a
+
b
‡
ab()1
ax
+2
n
x
n
n
=1,
2,
3,,
a
>
0例12
x1
>
0,
且xn+1
=a
-
x2所以
xn+1
£
xn
,
数列{xn
}单调减少.xn-1n-1
a‡
x
=
a
,1n由已知x
>
0及递推公式知x
>
0,20
证明有单调减1
=
n
£0
.2
xnnfi
¥令lim
xn
=
A,
A
=
1
A
+
a
,2
A
nfi
¥故根据单调有界准则lim
xn存在.2naxnfi
¥
nfi
¥
n-1n-1
得
lim
x
=
lim
1
x
+
A
=
–
a
,nfi
¥所以
lim
xn
=
a
.axn
2
n-1n-1
对等式
x
=
1
x
+两边取极限因xn
>0,nfi
¥故lim
xn
=
A
‡
0.
A2
=
a例4
证明数列{xn
}:x1
=
3,
x2
=
3
+
3
,
x3
=nfi
¥极限lim
xn存在,并求此极限.解10
由数学归纳法证明数列的单调性.x1
=
3
<
3
+
3
=
x2
,假设xn-1
<
xn
,
由数列的递推关系式得xn
=
3
+
xn-1
<
3
+
xn
=
xn+1
,故数列{xn
}单调增加.
xn
<
xn
+1
,3
+
3
+
3
,,xn
=
3
+
xn-1xn
>
3,20证明数列有上界.nnxnnfi
¥由10
、20知lim
x
存在.nn
x2
<
3
+
xn
{x
}有上界.nxn
=
3
+
xn-1
<
3
+
x3n
x
<
3
+1
<
3
+1
=
3
+1(
x
>
3
)nfi
¥令lim
xn
=
A,nfi
¥
nfi
¥
lim
xn
=
lim 3
+
xn-1
A
=
3
+
A
A2
-
A
-
3
=
0
A
=
1
–
13
,2nfi
¥因为
xn
>
0,
且lim
xn存在,nfi
¥则lim
xn
=
A
‡
0,2n=
A
=
1
+
13
.所以
lim
xnfi
¥2nlim
xnfi
¥=
A
=
-1
+
5
.问:此种解法是否正确?为什么?nfi
¥解 由所给数列知一般项存在如下递推关系例5
设x1
=
1,
x2
=
1
-
1
,
x3
=
1
-
1
-
1
,求lim
xn
.xn
=
1
-
xn-1
,令
lim
xn
=
A
lim
xn
=
lim 1
-
xn-1nfi
¥
nfi
¥
nfi
¥2
A
=
-1
–
5
A
=
1-
A
A2
+
A
-1
=
0nfi
¥事实上,所给数列为:x1
=
1,
x2
=
0,
x3
=
1,
x4
=
0,.显然,limxn不存在.不正确注:通过递推公式两边取极限来求数列极限,必须要求数列的极限存在,否则其作法
是错误的.x1
=
1,
x2
=
1
-
1
,
x3
=
1
-1
-
1
,1x(2) lim(1
+xfi
¥)x
=
e1nnn1!
n
2!
n!n2
nnn
1
n(n-x
=(1+
)
=1++1) 1
++
n(n-1)(n-2)(n-n+1)
1=
1
+1
+
1
(1
-
1
)
++
1
(1
-
1
)(1
-
2)(1
-
n
-1).2!
n
n!
n
n
n1
n=
enfi
¥
n
首先证明:lim
1
+1n+1n+1x
=
1
+=
1
+
1
+
1
(1
-
1
)
+2!
n
+
11n
+
112
n
-
1+(1
-)(1
-n
+
1n
+
1)(1
-
)n!
n
+
1112)n+(1
-)(1
-(n
+
1)!
n
+
1n
+
1n
+
1)(1
->
xn
,
xn+1n\{x
}是增的;<
1
+
1
+
1
+
+
12!
n!122n-1<
1
+
1
+
1
+
+2
1
n1-
2
=1+
1-
1<3,\{xn
}是有界的;nfi
¥\limxn存在.nnfi
¥记为
lim(1
+
1
)n
=
e(e
=
2.718281828459045)n2!
n
n!
n
n
nx
=
1
+
1
+
1
(1
-
1
)
++
1
(1
-
1
)(1
-
2
)(1
-
n
-
1).
1
n-1=
3
-
2
"
x
>
1
,$n,
使n
£
x
<n
+1,n
nnnfi
¥nfi
¥nfi
¥lim(1
+
1
)而
lim(1
+
1
)n+1
=
lim(1
+
1
)n1
11)n+1nfi
¥nfi
¥lim(1
+nfi
¥)n
=
lim(1
+lim(1
+)-1
=
e,n
+
1
n
+
1n
+
1xxfi
+¥\
lim
(1
+
1
)x
=
e.由夹逼定理得1
x=
elim
1
+xfi
+¥
x
(1
+
1
<
1
£
1
n
+1
x
n11
+
1
<
1
+
1
£
1
+
1
n
+1
x
n1)n
<
(1
+
1
)n
(1
+)n
<
(1
+
1
)n
£
(1
+
1
)xx
xx n
+1n
+11n=
e,(1
+)n
<
(1
+
1
)n
£
(1
+
1
)x
£
(1
+
1
)x
£
(1
+
1
)n+1n
+1
x
x
n令t
=-x,x
txfi
-¥t
fi
+¥\
lim
(1
+
1
)x
=
lim
(1
-
1)-t1)
t=
lim
(1
+t
fi
+¥t
-
111=
lim
(1
+t
fi
+¥)t
-1
(1
+t
-
1t
-
1)
=
e.xxfi
¥\
lim(1
+
1
)x
=
e,1t令x
=1lim(1
+
x)
xxfi
01lim(1
+
x)
x
=
exfi01xxlim(1
+
)xfi
¥=
exxfi
-¥lim
(1
+
1
)x
,)
=
e.t1t=
lim(1
+t
fi
¥)
tt=
lim
(t
fi
+¥t
-
1例14xx
fi
¥求lim(1
-1
)x
.解1]-
x
-1-x原式
=
lim[(1
+
)xfi
¥.1e=
e-1
=例15xfi
¥2
+
x(1)求lim(3
+x
)2
x
.1)-4=
lim[(1
+xfi
¥)x+2
]2
(1
+x
+
2x
+
22=
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