新教材数学人教A版选择性课件3321抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质必备知识·素养奠基标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

范围x≥0,y∈R_____,__________,__________,_____x≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)对称轴x轴____________焦点坐标

准线方程x=-x=____y=____y=顶点坐标O(0,0)离心率e=__1x轴y轴y轴【思考】(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同?提示:抛物线的离心率等于1,只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心,也没有渐近线.(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少?提示:这条线段是抛物线的通径,长度为2p,借助于通径可以画出较准确的抛物线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)抛物线焦点到准线的距离等于p. ()(2)抛物线的范围是x∈R,y∈R. ()(3)抛物线是轴对称图形. ()提示:(1)√.抛物线焦点到准线的距离等于+=p.(2)×.抛物线的方程不同,其范围就不一样,如y2=2px(p>0)的范围是x≥0,y∈R,故此说法错误.(3)√.抛物线y2=±2px(p>0)的对称轴为x轴,抛物线x2=±2py(p>0)的对称轴为y轴,故此说法正确.2.抛物线y=-x2的焦点坐标为 ()A. B.(-4,0)C. D.(0,-4)【解析】选D.因为抛物线y=-x2,所以x2=-16y,所以抛物线的焦点坐标为(0,-4).3.已知过抛物线y2=ax(a>0)的焦点且垂直于x轴的弦长度为2,则实数a的值为 ()【解析】选B.由题意可得焦点F,将x=代入抛物线方程可得y2=,解得y=±,所以a=2.关键能力·素养形成类型一由抛物线的几何性质求标准方程【典例】1.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是 ()22=8y22=±16y2.已知双曲线C1:(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为

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【思维·引】1.利用待定系数法设出方程,根据p的几何意义求得p的值.2.求出双曲线的渐近线后,利用抛物线的焦点到渐近线的距离为2,求参数p.【解析】1.选D.顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py(p>0),由顶点到准线的距离为4,知p=8,故所求抛物线的方程为x2=16y或x2=-16y.2.因为双曲线C1:(a>0,b>0)的离心率为2,所以==2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.所以抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2,所以p=8,所以所求的抛物线方程为x2=16y.答案:x2=16y【内化·悟】1.抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?是不是中心对称图形?提示:有一条对称轴;不是中心对称图形.2.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?提示:参数p影响抛物线开口大小,p值越大,抛物线的开口越开阔,p值越小,开口越扁狭.【类题·通】用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程.【习练·破】若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到焦点的距离为8,到x轴的距离为6,则抛物线C的方程是

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【解析】根据抛物线定义,准线方程为y=-,由题意可得8=6+,解得p=4,故抛物线C的方程是x2=8y.答案:x2=8y类型二焦点弦问题【典例】是过抛物线C:y2=4x焦点的弦,且|AB|=10,则线段AB的中点横坐标为 ()2.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.【思维·引】1.由已知利用抛物线焦点弦的性质即可求得线段AB的中点横坐标.2.(1)写出直线方程,把直线方程和抛物线方程联立求得坐标,利用弦长公式求得弦长.(2)利用抛物线定义结合焦点弦的长度求得中点横坐标.【解析】1.选A.因为抛物线C:y2=4x,所以p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过抛物线的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=10,则x1+x2=8,所以AB中点的横坐标为2.(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=,又F,所以直线l的方程为联立消去y得4x2-20x+9=0,解得x1=,x2=,故|AB|=

=2×4=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以M到准线的距离等于【内化·悟】焦点弦有哪些性质?提示:已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:(1)y1y2=-p2,x1x2=.(2)|AB|=x1+x2+p,|AF|=x1+.(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【类题·通】1.抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.焦半径公式P(x0,y0)为抛物线上一点,F为焦点.①若抛物线y2=2px(p>0),则|PF|=x0+;②若抛物线y2=-2px(p>0),则|PF|=-x0;③若抛物线x2=2py(p>0),则|PF|=y0+;④若抛物线x2=-2py(p>0),则|PF|=-y0.2.过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.【习练·破】已知抛物线y2=16x的焦点为F,准线交x轴于点P,过F的直线l交抛物线于M,N两点,若PM⊥PN,求|MN|.【解析】由题意可得抛物线的焦点F(4,0),准线方程为x=-4,P的坐标(-4,0),由题意设直线l的方程:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),直线与抛物线联立可得:y2-16my-64=0,可得y1+y2=16m,y1y2=-64,所以x1+x2=m(y1+y2)+8=16m2+8,x1x2==16,由PM⊥PN,可得=0,即(x1+4,y1)·(x2+4,y2)=x1x2+4(x1+x2)+16+y1y2=0,即16+4(16m2+8)+16-64=0,解得m2=0,所以x1+x2=8,由抛物线的性质,到焦点的距离等于到准线的距离可得|MN|=x1+x2+p=8+8=16.【加练·固】已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2=5的两个交点之间的距离为4.(1)求p的值;(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为2的直线与抛物线交于A,B两点,求|AB|.【解析】(1)设交点为M,N.易知M(1,2),N(1,-2),代入y2=2px得2p=4,p=2.(2)由(1)知,抛物线C1:y2=4x,焦点F(1,0).直线AB的方程为y=2(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+p=5.类型三抛物线性质的应用【典例】已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.【思维·引】求出A,B的坐标,求得|AB|的长度,利用△OAB的面积列方程求得.【解析】由题意知,抛物线方程为y2=2px(p≠0),焦点F,直线l:x=,所以A,B两点的坐标分别为,,所以|AB|=2|p|,因为△OAB的面积为4,所以··2|p|=4,所以p=±.所以抛物线方程为y2=±x.【内化·悟】在什么条件下,抛物线的内接三角形为等腰三角形?提示:与x轴垂直的直线与抛物线交于两点,这两点与点O构成的三角形必为等腰三角形.【类题·通】利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.

【习练·破】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A是抛物线C上任意一点,且|AF|min=1.(1)求抛物线C的方程;(2)设经过点(0,2)、倾斜角为的直线l与抛物线C交于M,N两点,抛物线C的准线与y轴交于E点,求△MEN的面积.【解析】(1)由抛物线定义及|AF|min=1,可得2p=4,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)可得l方程为y=x+2,将y=x+2与x2=4y联立,消y得x2-4x-8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=4,x1x2=-8,所以S△MEN=【加练·固】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.【解析】抛物线的焦点F,因为抛物线关于x轴对称,|OA|=|OB|,所以△ABO为等腰三角形,所以A,B两点关于x轴对称,设A(x0,y0),则B(x0,-y0),因为△ABO的垂心恰为抛物线的焦点,所以BF⊥OA.则kBF·kOA=-1,即·=-1.又因为=2px0,所以x0=p,所以直线AB的方程为x=.课堂检测·素养达标1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p= ()【解析】选D.因为椭圆的焦点为(±,0),抛物线的焦点为,由已知可得,解得p=8.2.若抛物线x2=8y上一点P(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍,则y0= ()【解析】选D.因为P(x0,y0)到焦点的距离d=y0+2,则y0+2=2y0,解得y0=2.3.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为

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【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所