天津滨江中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析

天津滨江中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A． B． C．1 D．2参考答案：C考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选C．点评：本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．2.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2?a4=9，则loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值为（）A．6 B． 5 C． ﹣6 D． ﹣5参考答案：分析： 据等比数列的性质可知a2?a4=a32，再利用对数的性质即可得到答案．解答： 解：∵各项均为正数的等比数列{an}中，a2?a4=9，∴a3=3，∴loga1+loga2+loga3+loga4+loga5=log（a1a5）+log（a2a4）+loga3=5loga3=﹣5故选：D点评： 本题主要考查了等比数列的性质．即若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则aman=apaq．3.定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为(

)A．0

B．2

C．3

D．6参考答案：D略4.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A．

Ｂ．

Ｃ．1 Ｄ．3参考答案：D5.下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好参考答案：B【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．6.

集合=(

）A．

B．{1}

C．{0,1,2}

D．{-1,0,1,2}参考答案：C7.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性都相同的是参考答案：D为奇函数，单调递增.8.（5分）（2006?北京）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．参考答案：C考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：压轴题．分析：由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．解答：解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，logax＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．点评：本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．9.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（

）A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②参考答案：D10.已知复数满足，为虚数单位，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．参考答案：92【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由a54=2014，可得a1+53d=2014，即+d=38，d＞0，且为正整数，可得a1是53的倍数，a1，a54，ak成等比数列，则a542=a1ak=2×2×19×19×53×53，分类讨论，可得结论．【解答】解：∵a54=2014，∴a1+53d=2014，∴+d=38，d＞0，且为正整数，∴a1是53的倍数，∵a1，a54，ak成等比数列，∴a542=a1ak=2×2×19×19×53×53（1）若a1=53，53+53d=2014，d=37，（2）若a1=2×53，106+53d=2014，d=36，（3）若a1=4×53，212+53d=2014，d=34，ak=19×19×53=4×53+34（k﹣1），k不是整数，舍去（4）a1=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19∴公差d的所有可能取值之和为37+36+19=92．故答案为：92．【点评】本题考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想，确定a1是53的倍数是关键．12.已知a，b为不共线的向量，设条件M：；条件N：对一切，不等式恒成立．则M是N的

▲

条件．参考答案：答案：充要13.在不等式组所表示的平面区域内,求点（）落在∈[1，2]区域内的概率是

．参考答案：14.已知，则=________．参考答案：15.展开式中，项的系数为

；所有项系数的和为

．参考答案：55；192；16.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为

件.参考答案：180017.已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A.以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，的一个内角为60°，则C的离心率为______.参考答案：【分析】由题意可得PA⊥PB，又，△APQ的一个内角为60°，即有△PFB为等腰三角形，PF＝PA＝a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．【详解】如图，设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，∵△APQ的一个内角为60°∴∠PAF＝30°，∠PBF＝60°?PF＝AF＝a+c，?PF1＝3a+c，在△PFF1中，由余弦定理可得．?3c2﹣ac﹣4a2＝0?3e2﹣e﹣4＝0?，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知的两边长分别为，，且O为外接圆的圆心．（注：，）（1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长；（2）求的值．

参考答案：解答：（1）由正弦定理有，

∴，∴，，

……3分

且B为钝角，∴，，

∴，

又，∴；

……6分（2）由已知，∴，

即

……8分

同理，∴，…………10分

两式相减得，即，∴．

……12分略19.设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）当时，数列满足，，求数列的通项公式．参考答案：（Ⅰ）证明：因为,则， 所以当时，，整理得．-----------------4分 由，令，得，解得． 所以是首项为，公比为的等比数列．

-----------------6分（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，则， 由，得，

-----------------8分当时，可得＝，

-----------------10分 当时，上式也成立．

∴数列的通项公式为．

-----------------12分

【解析】略20.（本小题满分14分）

设函数，其中．

(I)若函数图象恒过定点P，且点P在的图象上，求m的值；

(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；

(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：略21.已知点，点，点，动圆与x轴相切于点A，过点B的直线与圆相切于点D，过点C的直线与圆相切于点E（D、E均不同于点A），且与交于点P，设点P的轨迹为曲线.（1）证明：为定值，并求的方程；（2）设直线与的另一个交点为Q，直线CD与交于M、N两点，当三点共线时，求四边形MPNQ的面积.参考答案：(1)证明见解析，方程为.(2).分析：（1）根据圆的切线性质可得，，从而根据椭圆的可得结果；（2）直线与曲线联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得四边形的面积为.详解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC|＝|PE|＋|PC|＋|AB|＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC|所以点P的轨迹G是以B，C为焦点的椭圆（去掉与x轴的交点），可求G的方程为＋＝1(y≠0)．

（2）由O￠，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，又由直线CE，CA为圆O￠的切线，可知CE＝CA，O￠A＝O￠E，所以△O￠AC≌△O￠EC，进而有∠ACO￠＝∠ECO￠，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)

(i)当点P的坐标为(0，)时，∠PBC＝60°，∠BCD＝30°，此时直线l1的方程为y＝(x＋1)，直线CD的方程为y＝－(x－1)，由整理得5x2＋8x＝0，得Q(－，－)，所以|PQ|＝，由整理得13x2－8x－32＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，|MN|＝|x1－x2|＝，所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝．

(ii)当点P的坐标为(0，－)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为．综上，四边形MPNQ的面积为．点睛：求椭圆标准方程的方法一般为定义法与待定系数法,定义法是若题设给条件符合椭圆的定义，直接写出方程；也可以根据条件确定关于