简单的二阶微分方程

简单的二阶微分方程第一页，共四十三页，编辑于2023年，星期五一、可降阶的二阶微分方程解第二页，共四十三页，编辑于2023年，星期五方程的特点：方程右端不显含未知函数y.方程的解法：,则将它们代入方程得令第三页，共四十三页，编辑于2023年，星期五第四页，共四十三页，编辑于2023年，星期五第五页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解代入原方程得原方程通解为[例3]第六页，共四十三页，编辑于2023年，星期五[例4]设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线．分析

第七页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解

将此两式相除，得取原点O到点A的距离为定值于是有建立坐标系如图所示，设曲线方程为由题意得

第八页，共四十三页，编辑于2023年，星期五，两端积分，得将初始条件代入①式，解得代入①式，得再将将代入上式，并积分得将初始条件代入②式，解得将代入②式，解得曲线方程为第九页，共四十三页，编辑于2023年，星期五小结1.可降阶的高阶微分方程2.不显含y的二阶微分方程3.不显含x的二阶微分方程第十页，共四十三页，编辑于2023年，星期五思考题求微分方程的通解.第十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期五思考题解答第十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期五思考题解答第十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期五练习题第十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解受力分析二、二阶线性微分方程第十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期五物体自由振动的微分方程强迫振动的方程对于象这样的微分方程，我们给出如下定义:第十六页，共四十三页，编辑于2023年，星期五程称为二阶线性微分方程.称为二阶线性齐次微分方程.称为二阶线性非齐次微分方程.1．二阶线性微分方程的定义形如这样的微分方程/第十七页，共四十三页，编辑于2023年，星期五2．二阶线性齐次微分方程解的结构问题:第十八页，共四十三页，编辑于2023年，星期五例如线性无关;线性相关.第十九页，共四十三页，编辑于2023年，星期五特别地:例如第二十页，共四十三页，编辑于2023年，星期五3．二阶非齐次线性微分方程解的结构第二十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期五三、二阶常系数线性微分方程形如这样的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程．形如这样的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程．例如是二阶常系数齐次线性微分方程；是二阶常系数非齐次线性微分方程．／第二十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期五1．二阶常系数齐次线性微分方程解法将其代入上方程,得∴特征方程特征根第二十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期五（1）有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为第二十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期五（2）有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第二十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期五（3）有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第二十六页，共四十三页，编辑于2023年，星期五的特征方程是的通解第二十七页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解的特征方程为解得故所求微分方程的通解为[例1]第二十八页，共四十三页，编辑于2023年，星期五

[例2]求微分方程的特解.解的特征方程为解得所求微分方程的通解为将分别代入上两式，解得所求微分方程的特解为第二十九页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解特征方程为解得故所求通解为[例3]第三十页，共四十三页，编辑于2023年，星期五小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.第三十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期五练习题

第三十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期五二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程通解结构两种类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.2．二阶常系数非齐次线性微分方程解法第三十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期五设非齐方程特解为代入原方程第三十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期五综上讨论设是非齐次方程的解，第三十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解对应齐次方程的通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为[例1]第三十六页，共四十三页，编辑于2023年，星期五第三十七页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解对应齐次方程的特征方程[例2]对应齐次方程的通解特征根原方程通解为第三十八页，共四十三页，编辑于2023年，星期五解特征方程[例3]对应齐次方程的通解特征根原方程通解为第三十九页，共四十三页，编辑于2023年，星期五小结(待定系数法)第四十页，共四十三页，编辑于2023年，星期五思考题写出微分方程的待定特解的形式.设的特解为设的特解为则所求特解为特征根思考题解答第四十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期五练习题第四十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期五通过本课题学习，学生应该达到：1．会求可降阶的二阶微分方程、二阶常