2022-2023学年上海市南汇区第一中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年上海市南汇区第一中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面为正方形，侧面PAD与底面ABCD垂直，M为底面所在平面内的一个动点，若动点M到点C的距离等于点M到面PAD的距离，则动点M的轨迹为A．椭圆

B．抛物线

C．双曲线

D．直线参考答案：B略2.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为(

) A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线OP相较于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（

）

A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线一支参考答案：D5.下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

1

D.参考答案：C略7.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：①若；

②若；③若；

④若，则其中正确命题的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略7.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．8.已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于()A、

B、

C、

D、参考答案：B9.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（

）A、63

B、108

C、75

D、83参考答案：A10.已知幂函数是增函数，而是幂函数，所以是增函数，上面推理错误是A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理的方式错误导致错D．大前提与小前提都错误导致错

参考答案：A根据题意，由于“幂函数是增函数”的前提是幂指数大于零，那么推理的大前提是错误的，虽然说“而是幂函数”作为小前提成立，但结论不成立，所以选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=

.参考答案：19212.若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是，则圆锥的体积是_______。参考答案：解析：设圆锥的底面半径为，母线为，则，得，，得，圆锥的高13.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是

．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．14.一组数据xi(1≤i≤8)从小到大的茎叶图为：4|01334

678，在如图所示的流程图中是这8个数据的平均数，则输出的s2的值为________．参考答案：715.已知集合，则集合=__________________.参考答案：16.已知a，b都是正实数，则的最小值是

.参考答案：17.若实数,则目标函数的最大值是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在展开式中,求（I）含的项；（II）所有二项式系数之和.参考答案：（1）（2）略19.（12分）（2015秋?成都校级月考）已知曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．①求证：不论a取何实数，曲线C必过一定点A②当a≠2时，求证：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上并写出此直线方程．③若a=1时，动点P到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，求点P的轨迹M，并指出曲线M与曲线C的公共点个数．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．

【专题】直线与圆．【分析】①曲线C即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示一个圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y），由题意可得=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．再根据a=1时，圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得点P的轨迹M与曲线C的公共点个数为2．【解答】解：①证明：曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得，故曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示以（2a，﹣a）为圆心、半径等于|a﹣2|的圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y）到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，即=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．a=1时，曲线C即（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，是以F2（2，﹣1），半径等于R2=的圆．再根据F1F2=2，大于半径之差而小于半径之和，故点P的轨迹M为圆F1，故曲线M与曲线C的公共点个数为2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，轨迹方程的求法，圆和圆的位置关系，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．21.如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．参考答案：因为AB是圆O的直径，所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°．在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从而BE＝EP，因此∠1＝∠3．又因为B、P为圆O上的点，所以OB＝OP，从而∠2＝∠4．因为BC切圆O于点B，所以∠ABC＝90°，即∠1+∠2=90°，从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°．所以OP⊥PE．22.（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.⑴求证：直线平面；⑵若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

参考答案：方法一：（1）证明：取的中点，则，故平面又四边形正方形，∴，故平面∴平面平面,∴平面（2）解：由底