2021-2022学年云南省曲靖市大水井中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年云南省曲靖市大水井中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线上一点P的横坐标为1，则点P到该抛物线的焦点F的距离为（）A．B．C．2D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线可得：=．利用抛物线的定义即可得出．【解答】解：由抛物线可得：=．∵抛物线上一点P的横坐标为1，∴点P到该抛物线的焦点F的距离=1+=．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A.－4 B.－3 C.－2 D.－1参考答案：B本题考查平面向量的数量积。由题意得：，即，解得；选B。3.下列各式中，最小值等于的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（

）（A）

（B）

（C） （D）参考答案：C略5.，则的值等于

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知向量，则向量a,b夹角为

参考答案：B【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知得+2=0，则4-222cos=0,所以cos=-,=【思路点拨】根据向量的数量积，求出角。7.已知函数f(x)的图象如图所示，是函数f(x)的导函数，且是奇函数，给出以下结论:①；

②；③；

④.其中一定正确的是(

)A.①③

B.①④

C.②③

D.②④参考答案：B8.已知变量满足条件，则目标函数的最大值是(

)

A．2

B.3

C．4

D．5参考答案：D略9.已知等差数列中，，公差，若，，则数列的前项和的最大值为π

5π

10π

15π参考答案：D10.函数的零点个数为

（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则

．参考答案：【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。答案：112.已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），若∥，则x的值为

．参考答案：5考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量共线，它们的坐标满足x1y2﹣x2y1=0，解方程求得x的值．解答： 解：由两个向量共线的性质可得（x﹣1）×1﹣2×2=0，解得x=5，故答案为5．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．13.在数列中，有，则通项=

。参考答案：14.设满足则的最小值为

_______

参考答案：【答案解析】2

解析：满足约束条件的平面区域如图示：

由图得当过点B（2，0）时，有最小值2．

故答案为：2．【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入中，求出的最小值．15.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则tanB=________.参考答案：【分析】由已知等式结合余弦定理，求出角，进而求出的值.【详解】，，则.故答案为:【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.16.设函数的反函数是，且函数过点，则

.参考答案：答案：217.设，定义为不小于实数的最小整数（如，），若，则满足的实数的取值范围是__________；若，则方程的根为__________．参考答案：；∵，∴，故，设，则，，∴原方程等价于，即，从而，∴或，相应的为，，故所有实根之和为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|=2，△PF1F2的面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．可得m2+n2=，m+n=2a，=1，联立解出即可得出．（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n，与椭圆方程联立化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，代入直线y=x+m上，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．∴m2+n2=，m+n=2a，=1，解得a=2，又c=，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆C的方程为：=1．（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n．联立，化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，△=64n2﹣20（4n2﹣4）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=．y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=．线段AB的中点在直线y=x+m上，∴+m，解得n=m，代入，可得＜，解得，∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、得出问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知直线l的方程为ρsin（θ+）=，圆C的方程为（θ为参数）．（1）把直线l和圆C的方程化为普通方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值．参考答案：解：（1）线l的方程为ρsin（θ+）=，即sinθ+cosθ=，化为直角坐标方程为x+y﹣2=0．把圆C的方程为（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系，消去θ，化为普通方程为x2+y2=1．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，半径为1，故圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用和角的正弦函数公式、以及x=ρcosθ、y=ρsinθ，即可求得该直线的直角坐标方程．（2）把圆C的方程利用同角三角函数的基本关系，消去θ，化为普通方程．解答：解：（1）线l的方程为ρsin（θ+）=，即sinθ+cosθ=，化为直角坐标方程为x+y﹣2=0．把圆C的方程为（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系，消去θ，化为普通方程为x2+y2=1．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，半径为1，故圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=．点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．20.如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比．参考答案：证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，∴BC⊥平面AEBF，……………（2分）又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF.……………（3分）∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，∴AF⊥平面BCF.……………（5分）又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.………………（6分）（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵和均为等腰直角三角形，且90°，∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.延长EB到点H，使得BH=AF，又BCAD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点.………………（9分）又BE=，∴EG=，又，，故..………………（12分）21.已知函数存在两个极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）设x1和x2分别是f（x）的两个极值点且x1＜x2，证明：．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数f（x）有两个极值点等价于其导函数f'（x）在（0，+∞）有两个零点，分类讨论求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证，两边同时取自然对数得，由f'（x）=0得，得．所以原命题等价于证明．【解答】（Ⅰ）解：由题设函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx﹣ax，故函数f（x）有两个极值点等价于其导函数f'（x）在（0，+∞）有两个零点．当a=0时f'（x）=lnx，显然只有1个零点x0=1．…（2分）当a≠0时，令h（x）=lnx﹣ax，那么．若a＜0，则当x＞0时h'（x）＞0，即h（x）单调递增，所以h（x）无两个零点．…（3分）若a＞0，则当时h'（x）＞0，h（x）单调递增；当时h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以．又h（1）=﹣a＜0，当x→0时→﹣∞，故若有两个零点，则，得．综上得，实数a的取值范围是．

…（6分）（Ⅱ）证明：要证，两边同时取自然对数得．…（7分）由f'（x）=0得，得．所以原命题等价于证明．…（8分）因为x1＜x2，故只需证，即．…（9分）令，则0＜t＜1，设，只需证g（t）＜0