2021年河南省郑州市第一高级中学高二数学理期末试卷含解析

2021年河南省郑州市第一高级中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】F3：类比推理．【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：32.如图所示，F为双曲线的左焦点，双曲线C上的点与关于y轴对称，则的值是(

)

A.9

B.16

C.18

D.27参考答案：C3.已知

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：D4.方程表示的曲线是（

）A．两条互相垂直的直线

B．两条射线

C．一条直线和一条射线

D．一个点参考答案：C5.在钝角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，已知，，则△ABC的面积为（

）A.3 B.6 C. D.参考答案：C【分析】由正弦定理可得，再利用二倍角公式可求，再利用余弦定理求出后可求的面积.【详解】由正弦定理，得，由，得（舍），由余弦定理，得，即，解得.由，得，所以的面积，故选C.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.6.

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（

）

A．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0）

D.(-1,-4)参考答案：B略8.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据题意，设，为的图象上两点，由导数的几何意义可得为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，，分析函数的图象变化的趋势即可得答案．【详解】根据题意，设，为的图象上两点，

则为函数在处切线的斜率，

为函数在处切线的斜率，

，

由函数图象分析可得：函数为增函数，但增加的越来越慢，

则

故选【点睛】本题考查函数导数的几何意义，关键是掌握导数的定义，属于基础题．9.若过点的直线与圆有公共点，则直线斜率的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b2+c2﹣bc=4，则△ABC的面积的取值范围是（）A．（，] B．（0，] C．（，] D．（，）参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，结合A的范围可求A，可得B+C=，由正弦定理可得b=sinB，c=sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC=sin（2B﹣）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵a=2，b2+c2﹣bc=4，∴cosA==，∴由A为锐角，可得：A=，sinA=，B+C=，∵由正弦定理可得：，可得：b=sinB，c=sin（﹣B），∴S△ABC=bcsinA=×sinB×sin（﹣B）=sinB（cosB+sinB）=sin2B﹣cos2B+=sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC=sin（2B﹣）+∈（，]．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有

种。参考答案：24

12.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．参考答案：13.曲线与所围成的封闭图形的面积为

．参考答案：

14.直线y=a分别与曲线y=2（x+1），y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为．参考答案：【考点】IS：两点间距离公式的应用．【分析】设A（x1，a），B（x2，a），则2（x1+1）=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），则2（x1+1）=x2+lnx2，∴x1=（x2+lnx2）﹣1，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+1，令y=（x﹣lnx）+1，则y′=（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数的最小值为，故答案为：．15.根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称：（１）

由个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形；（２）

一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形．

参考答案：（１）五棱柱；

（２）圆锥．16.如图是函数的大致图象，是两个极值点，则等于

．参考答案：略17.已知函数y＝f(x)是R上的偶数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.参考答案：2－x＋1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的定义域是,函数在上的值域为,全集为,且求实数的取值范围。参考答案：19.“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛，假设甲乙两人都是等可能地做这三种手势.（Ⅰ）列举一次比赛时两人做出手势的所有可能情况；（Ⅱ）分别求一次比赛中甲胜、乙胜、和局的概率，并说明“石头、剪刀、布”这个广为流传的游戏的公平性.参考答案：（1）一次比赛所有可能出现的结果用树状图表示如下：（2）由上图可知，一次试验共出现9个基本事件，记“甲乙不分胜负”为事件，“甲取胜”为事件，“乙取胜”为事件，则事件、、各含有3个基本事件，则，由此可见，对于甲乙两人游戏公平.20.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，根据椭圆的几何性质得出2a+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．①…因为以AB为直径的圆过点C，所以．由，得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．将①代入上式，解得或m=3（舍）．…所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=则有=．…设，则．所以当时，S△ABC取得最大值．…【点评】本题考查椭圆的方程和三角形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.已知数列…计算s1，s2，s3，s4根据计算结果，猜想sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。参考答案：解：；；；。猜想证明：（1）当n=1时，左边＝右边＝，猜想成立。（2）假设当时，猜想成立，即：那么，当时，22.（本小题满分12分）一组数据,,,,的平均数是,是这